ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, том 49, № 4, с. 426-433
УДК 532+533+517.9
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, СВОЙСТВА И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
© 2015 г. А. Д. Полянин
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Москва
polyanin@ipmnet.ru Поступила в редакцию 17.12.2014 г.
Исследуется нестационарное уравнение осесимметричного пограничного слоя с градиентом давления, записанное для функции тока. Показано, что рассматриваемое уравнение можно свести к уравнению плоского пограничного слоя с переменной вязкостью, зависящей от продольной координаты. Описан ряд новых точных решений с обобщенным и функциональным разделением переменных, допускающих представление в элементарных функциях. Все решения содержат несколько (от двух до пяти) произвольных функций. Приведены формулы, позволяющие обобщать точные решения уравнений нестационарного осесимметричного пограничного слоя, включая в них дополнительные произвольные функции. Полученные результаты справедливы для любой формы обтекаемого тела вращения (или круглой трубы переменного сечения).
Б01: 10.7868/80040357115040132
ВВЕДЕНИЕ КЛАСС РАССМАТРИВАЕМЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Уравнения гидродинамического пограничного слоя играют важную роль и широко используются для математического моделирования процессов химической и нефтехимической технологии [1, 2], включая процессы конвективного массо- и теплообмена, и различных природных явлений.
Точные решения уравнений пограничного слоя способствуют лучшему пониманию качественных особенностей стационарных и нестационарных течений при больших числах Рейнольдса (устойчивость, неединственность, пространственная локализация, режимы с обострением и др.). Они с успехом могут использоваться в качестве тестовых задач, позволяя эффективно оценивать область применимости и точность численных, асимптотических и приближенных аналитических методов решения соответствующих гидродинамических задач.
2. Ламинарное нестационарное плоское движение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое с градиентом давления описывается нелинейным уравнением третьего порядка [3, 4]:
+ ЖуЖху - ЖХЖУУ = V Жууу + Г(г, х), (1) где Ж — функция тока, t — время, х и у — продольная и поперечная координаты (направлены по касательной и по нормали к обтекаемой поверхности), Г (г, х) = - рх/ р — заданная функция, р — давление, р — плотность жидкости, V — кинематическая вязкость жидкости, индексы t, х, у обозначают соответствующие частные производные. Продоль-
ная и поперечная компоненты скорости жидкости и1 и и2 выражаются через функцию тока по формулам:
и = Жу, и2 = -Жх.
Точные решения и некоторые преобразования уравнения (1), а также различные задачи плоского гидродинамического пограничного слоя, рассматривались во многих работах (см., например, [3—22]). В стационарном случае (при = 0) инвариантные и неинвариантные точные решения этого уравнения приведены в [3—6, 9, 11, 12, 14, 16, 19—21]. Точные решения и преобразования нестационарного уравнения плоского пограничного слоя (1) можно найти в [7, 8, 10, 13, 15, 17, 18, 20, 22-24].
3. В данной работе будем рассматривать уравнение, описывающие ламинарное нестационарное осесимметричное движение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое на поверхности тела вращения (вблизи поверхности круглой трубы переменного сечения) [3, 5]:
Жу + ЖуЖху - ЖхЖуу -
(2)
- [1пг(х)]хШШуу = VЖууу + Г(г,х),
где х и у — продольная и поперечная координаты (соответствующие орты eх и ey направлены по касательной и по нормали к поверхности тела вращения), г = г (х) — безразмерный радиус сечения, перпендикулярного к оси вращения, задающего форму обтекаемой поверхности, остальные обозначения введены как в уравнении (1). Продольная и поперечная компоненты скорости жидко-
сти U1 и U2 выражаются через функцию тока Wпо формулам:
U! = Wy, U2 = -Wx - [ln r(x)]'xW.
Уравнение (2) при r(x) = const совпадает с (1). Наличие в левой части уравнения (2) функции r(x) ф const значительно усложняет его анализ. Отметим, что для некоторых частных зависимостей r(x) редукции уравнения с тремя независимыми переменными (2), приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям в частных производных с двумя независимыми переменными, описаны в [25] (для анализа использовалась модификация прямого метода Кларксона-Круску-ла [20, 26, 27]).
Далее рассматривается общий случай уравнения (2) при произвольной зависимости r (x). Допустимый вид функции давления F(t, x), как обычно, определяется в ходе анализа.
НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
РЕШЕНИЯ С ОБОБЩЕННЫМ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Введя новые переменные
z = r(x)y, w = r(x)W, (3)
преобразуем уравнение (2) к следующему виду:
Wtz + WzWxz - WxWzz = Vr 2(x)Wzzz + F(t, x). (4) Это уравнение можно трактовать как уравнение нестационарного плоского пограничного слоя с переменной вязкостью
V е = Vr 2(x),
которая зависит от продольной координаты x; функция давления F(t, x) при этом не меняется.
2. Замена
x
$ = JV \s)ds (5)
0
приводит уравнение (4) к следующему виду [25]:
g&wtz + wzw'tz - w^wzz = vwzzz + f(t,& (6)
где введены обозначения
g© = r-\xm f(Ф = r-\x«:))F(t, x®).
Замечание 1. Объединение двух преобразований (3) и (5) называется преобразованием Степанова—Манглера [5]. Это преобразование переводит уравнение стационарного осесимметрично-го пограничного слоя (2) (при wt = 0) в уравнение стационарного плоского пограничного слоя (1).
3. Далее будут получены решения уравнения (4) с обобщенным разделением переменных вида
п
™ = X V х)ф, (д- (7)
¡=1
Функции у¡(1, х) и у (г) определяются в ходе анализа выражения, полученного после подстановки (7) в уравнение (4). В решении (7) чаще всего используются функции
Ф,(г) = zm (т = 0,1,2), ф,(г) = ехр(А,¡г), ФI(г) = со8(Рг-г), ф,(г) = этфг), где X, и Р,- являются искомыми параметрами.
Замечание 2. Различные модификации метода обобщенного разделения переменных, основанные на поиске решений вида (7), подробно излагаются в [20, 28, 29]. В этих книгах приводится множество нелинейных УрЧП и систем УрЧП, допускающих обобщенное разделение переменных.
Помимо решений с обобщенным разделением переменных в статье рассматриваются решения с функциональным разделением переменных вида
п
4 = Ф(у), V = Xх)ф;.(г). (8)
¡=1
Функции х), ф¡(г) и Ф(у) определяются в ходе анализа после подстановки в уравнение (4) выражения (8). В частном случае Ф(у) = V решение (8) совпадает с (7).
Будут построены также некоторые более сложные решения, обобщающие (7) и (8).
Замечание 3. Точные решения вида (7) и (8) нестационарных уравнений плоского пограничного слоя (1) приведены в [13, 15, 17, 20]. Стационарные и нестационарные решения с обобщенным и функциональным разделением переменных двумерных и трехмерных уравнений Навье-Сток-са, а также некоторые другие точные решения, можно найти в [20, 22, 30-37] (о моделях и точных решениях гиперболических и дифференциально-разностных уравнений Навье-Стокса см. [38-41]).
ФОРМУЛЫ, ПОЗВОЛЯЮЩИЕ ОБОБЩАТЬ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Уравнения нестационарного осесимметрично-го пограничного слоя характеризуются важными нетривиальными свойствами, которые описаны ниже.
Свойство 1. Пусть 41(1, х, г) — решение уравнения (4). Тогда функция
41 = 4(1, х,0 х)йх + р(1), С = г + х), (9)
где ф(?, x) и p(t) — произвольные функции, также является решением этого уравнения.
Данное свойство доказывается прямой проверкой и является обобщением результатов [20], полученных для частного случая r(x) = const.
Свойство 2. Пусть W (t, x, y) — решение уравнения нестационарного осесимметричного пограничного слоя (2). Тогда функция
1
W = W(t, x,n) +
r(x)
Jr(x^(t, x)dx + p(t)
(10)
\= ^r 2(s)ds, Z = z + Ф(t, x),
(12)
Свойство 4. Пусть жД, г) — решение уравнения стационарного плоского пограничного слоя (11). Тогда функция
w = ^{w.fcn) + f J>(t,x)dx + p(t)},
2 = Jr 2(s)ds, n = r(x)y + ф(t, x),
(14)
д д
П = У + Ф& х), где х) и р(г) — произвольные функции, также является решением этого уравнения.
Это свойство доказывается прямой проверкой.
Свойства 1 и 2 позволяют обобщать точные решения, включая в них дополнительные произвольные функции. В последующих разделах будут приведены примеры использования Свойства 1 для обобщения точных решений.
Важно подчеркнуть, что Свойства 1 и 2 носят общий характер и справедливы для любых функций г(х) и ¥(г, х), определяющих уравнения (2) и (4).
ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ (2)
И (4) С ПОМОЩЬЮ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
При ¥ (г, х) = ¥ (х) комбинация преобразований (5) и (9) позволяет выявить другие важные свойства уравнений пограничного слоя.
Свойство 3. Пусть ж8(2„ г) — решение уравнения стационарного плоского пограничного слоя
- = у Жгг + /©• (11)
Тогда функция
ж = жД, О + | | ф(г, х)йх + р(г),
где ф(г, х) — произвольная функция двух переменных, р(г) — произвольная функция, является решением нестационарного уравнения (2) со стационарной функцией давления (13).
Свойства 3 и 4 доказываются непосредственной проверкой и позволяют получать точные решения нестационарных уравнений пограничного слоя (4) и (2), исходя из известных точных решений [6, 12, 14, 16, 20] стационарного уравнения плоского пограничного слоя (11).
Рассмотрим несколько простых иллюстративных примеров.
Пример 1. Стационарное уравнение (11) при /(2) = 0 имеет точное решение [20]:
W.&Z) = ^ + ~
+ 2 '
где С1, С2 — произвольные постоянные. В силу Свойства 3 нестационарное уравнение (4) при ¥ (г, х) = 0 для произвольной функции г (х) допускает точное решение
w(t, x, z) =
1
z + Ф((^)
6v Jr 2(s)ds + C1
+
++11^+р(),
где ф(г, х), р(г) — произвольные функции. Из Свойства 4 следует, что соответствующее точное решение уравнения нестационарного осесимметрич-ного пограничного слоя (2) имеет вид
W((,x,y) =
1
1
r(x) I r(x)y + ф(t, x)
6v
J;r 2(s)ds + C1
где ф(г, х) — произвольная функция двух переменных, р(г) — произвольная функция,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.