УДК 521.174
ПРЕЦЕССИЯ УЗЛОВ ОРБИТ ЮПИТЕРА И САТУРНА ОТ ВЗАИМНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ: МОДЕЛЬ ДВУХ КОЛЕЦ
© 2014 г. Б. П. Кондратьев
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия
e-mail: work@boris-kondratyev.ru Поступила в редакцию 13.05.2013 г.
Поставлена и на наглядной динамической модели решена задача о прецессии плоскостей орбит Юпитера и Сатурна под действием взаимного гравитационного возмущения. По методу Гаусса орбиты планет представлены материальными круглыми кольцами, пересекающимися по диаметру под малым углом а. На кольца переносятся массы планет, большие полуоси и углы наклона орбит. Новым является то, что каждому кольцу придан момент вращения, равный орбитальному угловому моменту планеты. Доказано, что вопреки сложившемуся мнению, орбитальный резонанс 5 : 2 не препятствует применению модели колец, причем период усреднения дополнительной возмущающей силы T « 1332 л. оказывается заметно больше общепринятого («900 л.). Найдены взаимная потенциальная энергия колец и момент гравитационных сил между кольцами. Впервые составлена и решена система дифференциальных уравнений пространственного движения колец Гаусса. Установлено, что возмущающий момент сил вызывает прецессию и синхронный поворот плоскостей орбит Юпитера и Сатурна. При этом противоположные узлы орбит на плоскости Лапласа совпадают и движутся вековым образом в попятном направлении с одинаковой скоростью 25.6''/г. и периодом ТЮ = ТС « 50687 лет. Эти результаты близки к полученным в общей теории возмущений (25.93''/г.), что подтверждает адекватность разработанной модели. Установлено, что векторы угловых скоростей орбитальных колец движутся против часовой стрелки по круговым конусам и описывают на небесной сфере кружки радиусами Pi « 0.8403504° (Сатурн) и в2 ~ 0.3409296° (Юпитер) вокруг точки, отстоящей от полюса эклиптики на 1.647607°. DOI: 10.7868/S0320930X14040069
ВВЕДЕНИЕ
В небесной механике для изучения вековых возмущений применяются три подхода.
Первый (аналитический метод Лагранжа) основан на разложении возмущающей функции в ряд до второго порядка включительно по малым значениям эксцентриситетов и углов наклона орбит. Именно этим методом Лаплас доказал замечательную теорему об устойчивости (в первом приближении) Солнечной Системы. Выяснилось, что в эволюции орбит планет и их спутников важную роль играют резонансы. Неожиданные эволюционные закономерности были открыты для орбит планет-гигантов. На больших масштабах времени противоположные узлы орбит Юпитера и Сатурна на плоскости Лапласа совпадают и движутся вековым образом. Направление движения узлов попятное и скорость равна
Q. - 25.93"/г.
(1)
(Стокуэлл, в книге Шарлье, 1966). Выяснилось, что в вековой эволюции орбит Юпитера и Сатурна главную роль играют взаимные возмущения, и в первом приближении можно ограничиться изу-
чением упрощенной двупланетной задачи Солнце—Юпитер—Сатурн. Эта задача сводится к исследованию эволюции оскулирующих элементов орбит Юпитера и Сатурна под действием взаимного гравитационного возмущения. Характерным является синхронное движение узлов и периодические колебания в противофазе эксцентриситетов и наклонений орбит Юпитера и Сатурна: период изменения взаимного наклона орбит равен Т~ 51000 л., а эксцентриситетов Т~ 70000 л. (Мюррей, Дермотт, 2009). Метод Лагранжа весьма объемный, и не случайно в современной монографии Мюррея и Дермотта на с. 282 вопрос о движении узлов предложено (в качестве задачи) решать не только прямым, но и косвенным способом, через формулу для скорости движения узлов орбиты спутника под действием возмущения от сжатой с полюсов центральной планеты:
Q = -n
3 J . £ У - 27 J 22 f £
8
(2)
где Яр — средний радиус планеты, /2 — главная четная гармоника потенциала сжатой планеты, а — большая полуось орбиты спутника. Авторы предла-
гают (с. 283) приспособить формулу (2) для оценки скорости прецессии орбиты Сатурна от кольца орбиты Юпитера, используя для этого моменты инерции круглого кольца и взяв в качестве /2 эффективное значение второй гармоники
^ ей- = т]а]
2 2И&Е1
. Тогда из (2) следует формула
Й = —п1
3 ы^
4 М 0
Г Я' 2 — 27 í и л М2 2 Г -' 4
V Я1 32 V М 0 у V Я1
(3)
ратна скорости движения планеты на данном участке ее траектории и элемент массы равен
йт = -
т(\ - е )2
йи
2п
(1 + е ео8 и)
(4)
где и — угол истинной аномалии, e — эксцентриситет орбиты. В частном случае e = 0 кольцо превращается в однородный круглый обруч с пространственным потенциалом
где индекс "1" относится к Сатурну, а "2" — к Юпитеру. Однако формула (3) дает для прецессии узлов орбиты Сатурна неприемлемые результаты: период ТС ~ 139162 л. и скорость узлов всего 9.3"/г., последняя заметно меньше классической величины (1). Кроме того, формула (3) не позволяет найти прецессию узлов орбиты Юпитера. Поэтому обратимся ко второму методу в небесной механике.
Второй метод (а точнее, группа методов) связан с прямым численным интегрированием уравнений движения как для всего семейства планет Солнечной системы (см., например, ^а8каг, 1988, Ипатов, 1999)) так и разных усеченных ее вариантов. Было создано много специальных вычислительных алгоритмов, что позволило подтвердить и уточнить выводы теории. Численное интегрирование в рамках задачи Солнце—Юпитер—Сатурн проводилось в работе (Кузнецов, 2010). Установлено, что долготы перицентров орбит изменяются вековым образом. Сложнее обстоит дело с исследованием движения узлов орбит. При численном подходе характер движения узлов зависит не только от порядка применяемого метода Хо-ри—Депри, но и от того, на какой плоскости рассматривается движение узлов. Наиболее простой вид движение узлов имеет на плоскости Лапласа. Если же брать плоскость эклиптики, то в первом приближении узлы Юпитера и Сатурна либриру-ют с амплитудами 13° и 33° соответственно, и лишь во втором приближении характер эволюции узлов меняется на вековой. Численные методы имеют не только достоинства, но и недостатки. Так, для интерпретации их результатов зачастую приходится прибегать к наглядным механическим моделям.
Третий подход (истоком которого служит метод Гаусса) создан для изучения вековых возмущений первого порядка. Метод выделяется своей наглядностью и основан на предположении, что возмущающее воздействие внешнего тела М1 на второе тело массой М2 эквивалентно влиянию силового поля материального гравитирующего кольца (кольца Гаусса), полученного при распределении первой массы по эллиптической орбите. Одномерная плотность вещества на кольце Гаусса об-
Ф = -
2вМ
(
П (Я + г)
2 , 2 + Х3
К
4Яг
(Я + г )2
+ х
(5)
з у
В общем (невырожденном) случае пространственный потенциал эллиптического кольца Гаусса был получен в работе (Кондратьев, 2012).
Задача "кольцо Гаусса—планета (или спутник)" сводится к расчету движений возмущенного тела в потенциале кольца Гаусса. Более сложной является задача о движении материальной точки в гравитационном поле системы колец (см. Вашковьяк, 1985; Вашковьяк М.А., Вашковьяк С.Н., 2012).
В данной статье, развивая схему Гаусса для изучения вековых возмущений первого порядка между двумя планетами, разработана динамическая модель взаимодействия "кольцо—кольцо". В этой модели обе орбиты планет заменяются круглыми кольцами. На кольца переносятся основные характеристики планет: их массы, большие полуоси орбит, углы наклона. Каждому кольцу мы приписываем также спиновый момент вращения, равный орбитальному угловому моменту соответствующей планеты. Мы покажем, что с помощью такой модели удается наглядно представить и правильно описать прецессию плоскостей орбит Юпитера и Сатурна под действием взаимного гравитационного возмущения.
Здесь следует соблюдать осторожность, так как в случае Юпитера и Сатурна естественным препятствием к применению данной модели двух колец может стать наличие орбитальные резонанса 5 : 2, обнаруженного еще Лапласом. Действительно, при резонансе появляются дополнительные
локальные возмущения1 и возникает вопрос обоснования самой модели колец. Данная работа построена так. Вначале решается вопрос обоснования модели колец с учетом дополнительного дол-гопериодического усреднения в движении обеих планет. Затем в аналитическом виде получены взаимная потенциальная энергия колец и возмущающий момент гравитационных сил между ними. Для проверки этих характеристик модели рассмотрены вспомогательные колебания колец, где вводится понятие "срединной" плоскости. Это от-
1 Вопросу обоснования модели колец при орбитальных ре-зонансах ниже мы уделяем особое внимание.
Рис. 1. Схема соединений двух планет при неостром резонансе 5 : 2. Сплошными линиями показаны соединения первого цикла, пунктиром — соединения второго цикла.
крывает путь к решению главной задачи: выводу и решению системы динамических уравнений прецессии узлов орбит планет на плоскости Лапласа. Изучаются кинематические следствия прецессии. Результаты работы сравниваются с результатами других авторов и кратко обсуждаются.
ДЛИННЫЙ ПЕРИОД ВОЗМУЩАЮЩЕЙ
СИЛЫ ПРИ КВАЗИРЕЗОНАНСЕ 5 : 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
При орбитальном резонансе возникают дополнительные возмущения между орбитами планет, которые необходимо строго учитывать на сравнительно небольших интервалах времени. В литературе ранее нередко высказывалось мнение, что при наличии резонансов метод с "размазыванием" массы планеты в кольцо не работает (см., например, (Альвен, Аррениус, 1979), с. 47). Однако с таким мнением нельзя безоговорочно согласиться. У реальных орбит есть отклонения от строгого резонанса, что открывает возможность дополнительного усреднения локальных возмущений. Ясно, чем острее резонанс, тем длиннее должен быть период усреднения дополнительных возмущений. В нашем случае резонанс 5 : 2 также соблюдается лишь приблизительно и не является острым, поэтому вопрос заключается в том, на каких временах дополнительные возмущения можно усреднить. Знание соответствующего масштаба времени открывает путь к применению модели двух колец. Поясним сказанное.
Из наблюде
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.