АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 3, с. 346-352
УДК 55146321
ПРИБЛИЖЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЭТОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
© 2007 г. Ä. Г. Воронович
NOAA/Earth System Research Laboratory, Broadway 325, Boulder, Colorado, 80305 E-mail: alexander.voronovich@noaa.gov Поступила в редакцию 06.09.06 г.
В работе дается обзор приближения касательной плоскости (ПКП) Л.М. Бреховских. Подчеркивается преимущество ПКП по сравнению с методами, основанными на анализе интегральных уравнений для поверхностных источников. Приводится общая формула для амплитуды рассеяния скалярных плоских волн при произвольном граничном условии. Показывается, как прямое обобщение ПКП приводит к приближениям, включающим правильное описание брэгговского рассеяния и позволяющим избежать использования двухмасштабной модели.
PACS: 43.30.Hw
ВВЕДЕНИЕ
В 1951 г. Л.М. Бреховских [1] предложил метод расчета рассеяния волн на неровных поверхностях, получивший название приближения касательной плоскости (ПКП). До этого времени единственный имевшийся метод был основан на теории возмущений, которая требует малости высоты неровностей по сравнению с длиной волны. Разумеется, это требование является слишком ограничительным для нужд подводной акустики килогерцовых частот. Метод касательной плоскости явился фундаментальным продвижением в теории рассеяния волн на неровных поверхностях. Теория возмущений, описывающая брэгговское рассеяние, является одним из двух "классических" методов в общей теории рассеяния; вторым "классическим" подходом является квазиклассическое приближение, которому и соответствует ПКП.
Если теория возмущений представляет собой низкочастотную асимптотику решения задачи рассеяния, то ПКП является высокочастотной асимптотикой. В 1962 г. Б.Ф. Курьянов [2] для задачи рассеяния звука на морской поверхности предложил двухмасштабную модель, являющуюся комбинацией двух упомянутых выше подходов. В 1966 г. И.М. Фукс [3] обобщил двухмасштабную модель на случай рассеяния электромагнитных волн (в англоязычной литературе двухмасштаб-ная модель была независимо предложена в [4] в 1968 г.). Формальное применение результатов ПКП к случаю малых по сравнению с длиной волны неровностей приводит к выражению, по форме похожему на результат теории возмущений. Именно, амплитуда рассеяния в базисе плоских
волн оказывается пропорциональной спектральной компоненте неровностей, вычисленной на разности горизонтальных проекций рассеянной и падающей волн. Этот факт не является неожиданным и является общим следствием чисто геометрических соображений. Однако коэффициент при спектральной компоненте оказывается вычисленным, вообще говоря, неправильно. Правильный результат получается лишь в случае рассеяния вперед, т.е. в окрестности зеркального направления. Это вполне соответствует условию применимости метода касательной плоскости, требующему, чтобы горизонтальный масштаб рассеивающей поверхности существенно превосходил длину волны. В случае крупномасштабной плавной поверхности рассеяние на большие углы экспоненциально мало, и разница в преэкспонен-циальных факторах является несущественной.
По этой причине формулы двухмасштабной модели оказываются зависящими от значения параметра, разделяющего спектр неровностей на мелкомасштабную компоненту, которая учитывается по теории возмущений, и крупномасштабную, которая рассматривается при помощи ПКП. С развитием методов дистанционного зондирования возникла потребность в более точных методах расчета рассеяния, которые, в частности, не вносили бы неопределенности, связанной с выбором параметра разделения масштабов. Целью настоящей статьи является обзор некоторых методов, решающих поставленную задачу, и являющихся непосредственным обобщением ПКП. Содержание статьи в значительной степени опирается на результаты, изложенные в [5-7].
ФОРМУЛА ГЕЛЬМГОЛЬЦА И АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ
Мы будем предполагать, что неровная поверхность представляет собой некомпактную, в среднем плоскую гладкую поверхность (типа неровной поверхности моря), расположенную в некоторой окрестности уровня г = 0 и разделяющую однородное пространство на верхнюю и нижнюю половины. Источники предполагаются расположенными в верхнем полупространстве вдали от неровной поверхности; создаваемое этими источниками падающее скалярное поле будет обозначаться и1", и рассеянное поле будет обозначаться и*°. Вектор единичной нормали к поверхности пЯ, Я е Ек считается направленным в сторону верхнего полупространства и является по отношению к нему внутренней нормалью. Функция Грина волнового уравнения имеет вид:
0(Я) _ ехр(1кЯ ) _ 0(Я)---4пЯ~ _
-Ц Iехр [ 1 кг + iqk\z\ ]—, (1)
8 п
Чк
где К волновое число, (г, г) являются горизонтальной и вертикальной проекциями радиус-вектора Я, к - горизонтальный волновой вектор и
Чк
_ л/К2 - к2, 1т дк > 0
(2)
является вертикальным волновым числом.
Формула Гельмгольца позволяет выразить значение волнового поля в любой точке верхнего полупространства Я* через значения поля и его нормальной производной на неровной поверхности
го \ "о ч ГЭ0(Я - Я* ) ^ _1_ и(Я*) _ и (Я*) - J-дП-иа^я +
(3)
+
Iо(Я - Я* ^^•
Поверхность обычно принимается совпадающей с физической границей. Последнее, однако, не является обязательным. Если предположить, что является некоторой воображаемой поверхностью в безграничном однородном пространстве без рассеивающих границ, то поле и вдали от любого распределения источников будет совпадать с и1", и сумма двух последних членов в (3) должна обратиться в нуль. По этой причине (3) можно переписать также в следующем виде:
т \ \ ГЭ 0 (Я - Я* Ь I
и(Я*) _ и (Я*) -1-д"-(и - и +
(4)
+
10( Я - Я.)(&-Ш
однородному волновому уравнению и условию излучения (поскольку источники этого поля должны быть расположены в верхнем полупространстве). Таким образом, сушествуют такие распределения дипольных и монопольных источников на поверхности которые в сумме не излучают в верхнее полупространство, и выбор плотности монопольных и дипольных источников в формуле Гельмгольца (3), вообще говоря, не является однозначным. В частности, можно положить иех' = и1", что приведет к замене в (3) полного поля на рассеянное поле. Если выбрать в качестве иех' граничное значение решения уравнения Гельмгольца в нижнем полупространстве, отвечающее граничному условию иех' = и, где и есть полное поле, получившееся в результате решения задачи рассеяния в верхнем полупространстве, то второй член в (4) исчезнет, и поле в верхнем полупространстве будет создаваться только монопольными источниками. Точно так же может быть устранено в (4) и третье (монопольное) слагаемое.
Обратимся теперь в решению задачи рассеяния, когда на поверхности задано определенное граничное условие, и мы интересуемся значениями поля в верхнем полупространстве. Полное решение задачи предполагает знание соответствующей функции Грина. Функция Грина, однако, содержит в себе излишнюю информацию, поскольку вдали от поверхности она обязана удовлетворять однородному уравнению Гельмгольца и условию излучения. Поэтому для построения функции Грина, зависящей от шести аргументов (компоненты векторов положения источника и точки наблюдения) достаточно знать амплитуду рассеяния в базисе плоских волн, которая зависит от четырех аргументов, которыми являются горизонтальные проекции волновых векторов падающей и рассеянной волн. Амплитуда рассеяния (АР) вводится при помощи следующего представления для полного поля:
+
и _ —!=-ехр [ 1к0г - 1Ч0г] + 7Чо
151 (к, к0) —^гехр [ 1кг - 1Чкг]Ок,
4Чк
(5)
где ось г предполагается направленной вертикально вверх и
Ч0 _ Чк0
_ л/К2-к0,
1тЧ0 > 0.
(6)
Плотности дипольных и монопольных источников иех' и Эuext/Э"R в уравнении (4) могут являться граничными значениями любого волнового поля, удовлетворяющего в нижнем полупространстве
Факторы Чо'2, Ч-12, в (5) приводят в более симметричной записи конечных формул; данная нормировка отвечает волнам с единичной плотностью вертикальной компоненты векторов потока энергии. Поскольку произвольное падающее поле может быть разложено в суперпозицию плоских волн, выражение для функции Грина получа-
ется из £(к, к0) после соответствующих интегрирований по к и к0.
Очевидно, (5) удовлетворяет волновому уравнению при произвольной АР. Для вычисления АР необходимо использовать граничное условие. Технически наиболее простым и в то же время важным для акустики океана является граничное условие Дирихле, требующее обращения в нуль на поверхности полного поля. Подставляя в (5) г = к(г), где функция к(г) описывает форму неровной поверхности, и приравнивая результат нулю, мы получим уравнение, из которого £(к, к0) может быть легко вычислена в случае малых возвышений к в виде (вообще говоря, асимптотического) ряда по степеням возвышений1. В общем случае результат гласит:
£( к, ко) = В (к, к )8( к - к о) -
-2'(дкдо)ШВ(к, ко)к(к - ко) + + (дкдо)1/21В 2 (к, к о; £) к (к - X) к (X - ко) ¿X Здесь
(7)
к(к) = |к(г)ехр(-' кг)
¿/г (2 п) 2
(8)
представляет собой Фурье-компоненту возвышений, и коэффициенты В, В2 не зависят от к и полностью определяются граничными условиями. В частности, для задачи Дирихле оказывается:
В(к, к) = -1, В2(к, ко; X) = 2^.
(8)
Если подставить в (3) представление для функции Грина в виде суперпозиции плоских волн и сравнить результат с определением (5), то получится следующее общее выражение для АР:
S(к, ко) = [ехр [-'кг - 'дкк(г)] X
2 дк J
X
(дк - кVк)и - /V1 + (Vк)2-ди-
дп^
/г
(9)
(2 п)
2
Если бы граница представляла собой плоскость, то значение рассеянного поля и его нормальной производной на определялось бы по формулам:
Т^ Отч ехр [ ' ко г - /до к( г)] и = У( д ) —
до
дис . (NОТ, ехр[/ког - дк(г)]
дП- = Г(д >-Ж-•
(10)
где д{Ы) является взятой с обратным знаком проекцией волнового вектора падающей волны на нормаль к плоскости. Очевидно, в данном случае мы имеем:
„( N)
до + ко V к + (V к )2
(11)
ПКП заключается в использовании соотношений (10), (11) локально в каждой точке неровной поверхности, тем самым аппроксимируя эту поверхность в каждой точке касательной плоскостью (откуда и на
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.