№ 1
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 541.64, 536, 622.692.4.058
© 2014 г. ЛОГИНОВ В.С., СИМОНОВА О.С., СИМОНОВ Д.А.1
ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ АКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ ФУРЬЕ (Fo < 0,01)
Получены приближенные аналитические решения для активных элементов классической формы (пластина, цилиндр, шар) при граничных условиях первого и третьего родов. Они могут быть использованы для оценки начальной стадии тепловых процессов при изменении тепловыделения во времени.
Многие элементы энергетического оборудования (турбогенераторы силовые трансформаторы, ускорители заряженных частиц и т.д.) работают в нестационарных условиях. Такие условия возникают при изменении во времени электрической нагрузки, пуске или остановке оборудования. Тепловое состояние оборудования в переходных режимах зависит от начальной стадии процесса, расчет такой стадии — сложная аналитическая и численная задача. В работе [1] дается простой метод оценки теплового состояния плоского элемента без внутренних источников теплоты.
В данной работе предложена методика оценки теплового состояния активного элемента классической формы (пластина п = 0, цилиндр п = 1, шар п = 2) на начальной стадии теплового процесса с учетом интенсивного во времени тепловыделения.
Постановка задачи
Пусть требуется решить нестационарную задачу теплопроводности:
= X А (я" М + ро(ро), Ро > 0, 0 < Я < 1; (1)
дРо Я"ЗЯ\ дЯ)
при краевых условиях
6(Я,0) = 1; (2)
0(0, ро) *«>, ¿М^ = 0; (3)
дЯ У ;
9(1, Ро) = 0. (4)
Здесь 9(Я, Ро) = Т т)—— — безразмерная температура; т),Т0,Тс — соответственно,
Т0 - Тс
температуры: текущая, начальная и на границе активного элемента; Я = — безразмерная координата; ^ — соответственно, текущая координата, толщина или радиус элемента; Ро = ят/^1 — число Фурье; а — коэффициент температуропроводности;
1Томский политехнический университет, Россия, г. Томск. 112
Расчет нестационарного температурного поля в активном элементе
Наименование
Расчетные формулы
0 Пластина (п)
Граничное условие первого рода
Граничное условие третьего рода
е(й, Ро) 0 < й < 1
1 + |Ро(Бо')¿Бо-Д 1 - ехр[-(1 й)|
е(й, Бо) 0 < й < 1
1 +
| Ро (Бо') ¿Ро'
1--—-ехр I -11 + В^ТБо I- УРо
(5п)
(8п)
1 Цилиндр (ц)
Граничные условия первого рода
е(й, Бо) 0 < й < 1 е(й, Бо) 0 < й < 1
1 + (1 + л/Ро) | Ро( Бо')¿Бо'
' - Ч
1 +
-| Г
|Ро(Бо')¿Бо' | 1 - ехр[
Граничное условие третьего рода
е(й, Бо) 0 < й < 1
1 +
ГРо(Ро')¿Ро' \ 1 - ех^-(1-Й)1
! I 1 + 2В1УРо I- ТБо J
(5ц)
(7ц)
(8ц)
2 Шар (ш)
Граничные условия первого рода
е(й, Ро) 0 < й < 1 е(й, Ро) 0 < й < 1
111 + [(1 + л/Ро)2 + л/Ро] |Ро(Ро')¿Ро'V 1 - ехр[-(1 й
1 +
| Ро (Ро') ¿Ро'
{1 - ехр[-(1 -й)/(зТРо)]}
л/Ро -У (5ш)
(7ш)
Граничное условие третьего рода
е(й, Ро) 0 < й < 1
1 +
| Ро( Ро') ¿Ро'
1 - 3 ШУ^ ехр Г-(-ЬйЛ
1 + 3 В^ТРо I-
(8ш)
Ро(Ро) = (т)^2/ЦТ0 - Тс) — безразмерная функция Померанцева, зависящая от числа Фурье, она предполагается непрерывной функцией от времени.
Следуя [1], находим общее решение дифференциального уравнения (1), оно имеет вид
Го
0(й,Ро) = — \ С1Ро - |Ро(Р°^Ро'|й" ехр(-й/Х0)ай 1 ехр(й/Х0) + С2. йП I п 1о I
(5)
Константы интегрирования С и С2 определяются из краевых условий, после подстановки которых в решение (5) записывается окончательное решение для конкрет-
п
Ро
Ро
0
Ро
Ро
0
ного активного элемента. Оно справедливо в области 0 < Я < 1. Эти решения приведены в табл. 1.
— = (n + 1) — Г—1 + Po(Fo), Fo > 0, R > 0. 3Fo 'dRSdRJ '
(6)
При Я ^ 0 по условию (3) 59/5Я = 0 и согласно дифференциального уравнения (1) имеем неопределенность вида 0/0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим
= (n + nA(^ + Po(Fo), Fo > 0, R > 0. dFo dR Ш)
(1')
Используя краевые условия (2)—(4) и [1], получим окончательное решение задачи (1')-(4):
Fo Irr
-(1 - R
0 (R, Fo) =
1 + J Po(Fo')^Fo'
1 - exp
R > 0.
(п + 1)ТБо_
Для конкретных активных элементов в табл. 1 приведены их расчетные зависимости Анализ решения (7): 1. Если Бо ^ 0, 0(Я, Бо) ^ 1; 2. При Я ^ 1, Бо ф 0, 0(1, Бо) ^ 0;
" Бо
1 + |Ро(Бо-¡1 - ехр
(7)
3. Если R ^ 0, Fo Ф 0, 9(0, Fo) ^
-1
(n + 1)VfÖ
d0
при Fo — да,--> -
dR
Fo
1 + J Po(Fo')^Fo'
1
4. Если Po(Fo) = 0, то 0(R,Fo) =1 - exp
(n + 1)>/Fo
-(1 - R)
exp
-1
(n + 1)VFo
— 0;
(п + 1>УБо_'
Влияние внешнего теплообмена
Для решения этого вопроса граничное условие (4) представим в виде граничного условия третьего рода 59(1, Бо) 5К
! + Bi0(1, Fo) = 0,
(4')
где 9(R, Fo) = Тт) Тж, Тж
4 ' rrу rrу J Ж
Т0 - Тж
температура окружающей среды; Po(Fo) =
Чу
- Тж)
функция числа Померанцева в зависимости от числа Фурье; В1 = аX — число Био; а — коэффициент теплообмена.
Следуя изложенному выше и [1], находим окончательное решение задачи (1)—(4'). Оно имеет вид
Бо
9(R, Fo) =
1 + J Po(Fo')üfFo'
Г [- (1 - R)/(n + 1)VfÖ]j [ 1 + V(n + 1)Bb/F0 j,
R > 0.
(8)
Расчетные зависимости для конкретных активных элементов приведены в табл. 1. Анализ решения (8): 1. При Бо ^ 0 0(Я, 0) ^ 1;
2. Если Я ^ 1, В1 ^ от, то 0(1, Бо) ^ 0;
3. При Я ^ 1, В1 ^ 0, то Бо ^ 0, 0 ^ 1;
50
4. Если R ^ 0, Bi Ф 0, то Fo ^ да,
dR
0.
Пример 1. Определить температуры в телах классической формы (n = 0 — пластина, n = 1 — цилиндр, n = 2 — шар) в координате R = 0,4 для безразмерного числа Фурье Fo = 0,0001; 0,001, 0,002; 0,01; 0,02. Тело нагрето до температуры Т = 473 К (200°C), и в начальный момент времени оно помещено в тающий лед Tc = 273 K (0°C).
Изменения во времени безразмерной температуры в пластине
Я = 0,0 Я = 0,4
Бо е(Я, Бо) Расчет, [3], ф-ла (30) епр(Я, Бо) Расчет по (8) Е, % е(Я, Бо) Расчет, [3], ф-ла (28) епр(Я, Бо) Расчет по (7) Е, %
0,0001 1,000 1,000 0,000 1,000 1,000 0,000
0,0010 1,000 1,000 0,000 1,000 1,000 0,000
0,0020 1,000 1,000 0,000 1,000 1,000 0,000
0,01 1,000 1,000 0,000 1,000 0,998 0,020
0,02 1,000 0,999 0,085 0,997 0,986 1,103
0,04 0,9992 0,993 0,594 0,966 0,950 1,656
0,1 0,9493 0,958 -0,882 0,819 0,85 -3,78
Решение. Например, для шара п = 2, Бо = 0,02, Я = 0,4. По (7) вычисляем
пр ехр Г-(1 - Я)/^] ехр Г-(1 - 0,4)Л/002~
9пр(Я, Бо) = 1--Г , -+ = 1--^-^-+ = 0,91.
Я2 0,42
Погрешность расчета по сравнению с точным значением [3] равна
е = ММ-е!!(Мо) = 1-0.91. 1оо% = 8,98%.
0Я> Бо) 1
Если Я = 0, то по (8): 0пр(К,Бо) = 1,0; е = 0,0%. Для цилиндра п = 1, Бо = 0,02, Я = 0,4,
р(др0) = 1 _ ехр[-(1 - ЛУ-у/Бо]
и = о,964; е = 3,59%.
Я
Для Я = 0, Бо = 0,02 , 0пр(Я,Бо) = 1,0; е = 0,0%.
цпр
Для пластины п = 0, Бо = 0,02, Я = 0,4 получаем 0пр(Я,Бо) = 0,986; е = 1,103%. При Я = 0 0пр(Я,Бо) = 1,0; е = 0,0%.
т, с
Рис. 1. Изменение температуры во времени
Изменения во времени безразмерной температуры в шаре
R = 0,0 R = 0,4
Fo 6(R, Fo) Расчет, [3], ф-ла (35) епр^, Fo) Расчет по (8) Е, % e(R, Fo) Расчет, [3], ф-ла (34) e^R, Fo) Расчет по (7) Е, %
0,0001 1,000 1,000 0,000 1,000 1,000 0,000
0,0010 1,000 1,000 0,000 1,000 1,000 0,000
0,0020 1,000 1,000 0,000 1,000 1,000 0,000
0,01 1,000 0,964 3,6 1,000 0,985 1,500
0,02 1,000 0,905 9,5 0,993 0,910 8,980
В табл. 2 приведены результаты расчетов по (7), (8) и дано сравнение полученных результатов с точными значениями [3].
50
В стационарном режиме -= 0, Fo
dFo
да, 0(К) ^ 1, т.е. температура элемента в
обо
любой точке равна Tc.
Пример 2. Определить изменение во времени максимальной температуры в обмотке малогабаритного индукционного ускорителя заряженных частиц. Решение. Известно тепловыделение
N2"
Чи (т) = 4qu0
То
где т0 = 10 n . На рисунке 1: 1 - qu0 = 4,05 • 10; 2- qu0 = 4,05 • 107; 3- qu0 = 4,05 ■ 108 Вт/м3; R = 0,048 м; срр = 3,47 • 106 Дж/(м3 К); X = 1,56 Вт/(мК); Bi = 0,788; T0 = 28,4°C; T0 =
31,2°C.
T(x, т) = T0 +ф(х) -ф(0) -
T0 - Toc +ф(т) -<p(0)
exp
(1 - X)"
VFO .
(9)
1 + 1/(ВЬ/ро) где X = х/г; ф(т) = ^(т')Л'; ф(0) = 0.
Из рис. 1 видно, что при изменении тепловыделения на несколько порядков для исследуемого промежутка времени, имеет место хорошее согласие численного и аналитического расчетов.
Вывод. Впервые получены приближенные обобщенные зависимости распределения температур для тепловыделяющих элементов (пластина, цилиндр, шар). Они справедливы для начальной стадии теплового процесса при малых числах Фурье (Бо < 0,01).
Работа выполнена по государственному контракту № 14.740.11.0101.
ЛИТЕРАТУРА
1. Логинов В.С., Шабунина О.С. Приближенные методы оценки теплового состояния элемента при малых ^о < 0,02) и больших ^о > 0,1) числах Фурье // Изв. РАН. Энергетика. 2011. № 1. С. 70-74.
2. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов В.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.
3. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 600 с.
Поступила в редакцию 13.VI.2013
Loginov V.S., Simonova O.S., Simonov D.A.
APPROXIMATE ESTIMATE OF ACTIVE ELEMENTS THERMAL CONDITION AT SMALL FOURIER NUMBER (Fo <0,01)
Approximate analytical solutions for the active elements with classical shape (plate, cylinder, sphere) with the boundary conditions of the first and third kinds. They could be used to estimate the initial stage of thermal processes when the heat generation is being changed during a period of time.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.