ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 5, с. 836-845
УДК 519.642
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВИНЕРА—ХОПФА1)
© 2015 г. А. Г. Барсегян, Н. Б. Енгибарян
(375019 Ереван, пр-т Баграмяна, 24/5, Ин-т математики) e-mail: anibarseghyan@mail.ru;yengib@instmath.sci.am Поступила в редакцию 26.06.2014 г. Переработанный вариант 06.10.2014 г.
Предлагается метод усреднения ядра численно-аналитического решения неособых уравнений Винера—Хопфа. Применением способа дискретизации, примыкающего к методу полос, интегральное уравнение сводится к дискретному уравнению. Получены такого вида оценки, обеспечивающие равномерную сходимость метода. Развиваются два способа решения дискретных уравнений. Первый из них основан на редукции этих уравнений конечнодиагональ-ными системами, решение которых по норме сходится к решению исходного уравнения. Второй способ основан на одной модификации проекционной теоремы Г. Бэкстера, позволяющей заменить сильно сходящуюся процедуру редукции сходящейся по норме. Библ. 11.
Ключевые слова: неособое интегральное уравнение, дискретное уравнение Винера—Хопфа, конструктивное решение, редукция, сходимость по норме, факторизация, проекционный метод.
DOI: 10.7868/S0044466915050063
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим интегральное уравнение Винера—Хопфа (ИУВХ) (см. [1]—[4]):
œ
f(x ) = g(x ) + ¡K(x - t)f( t ) dt, (1)
0
где
K e L1 (-да, да), g e E. (2)
Здесь E — одно из банаховых пространств Lp (0, да), 1 <p < да и С0[0, да).
Пусть I — единичный оператор в E. Фигурирующий в (1) интегральный оператор K Винера— Хопфа
œ
Kf(x) = JK(x - t)f(t)dt, K e L1 (-да, да), (3)
0
ограничен в пространствах E. Имеет место оценка
œ
WK\E J |K(x )| dx < + да. (4)
-œ
Известно также, что оператор K вида (3) с ненулевым ядром некомпактен в пространствах E. Уравнение (1) назовем неособым, если I — K обратим в E.
Возможности численных методов общей теории интегральных уравнений (см., например, [5]—[7]) в вопросе решения уравнения (1) сильно ограничиваются по следующим основным при-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке ГКН МОНРА в рамках науч. проекта № SCS 13-1A271.
чинам: бесконечность промежутка интегрирования в (1); некомпактность оператора К; возможная неограниченность или негладкость ядерной функции К; нарушение сверточной структуры уравнения при переходе к редукционному уравнению методами механических квадратур.
Все еще узок круг тех классов уравнений (1), которые численно "хорошо" решаются методом Винера—Хопфа или другими специальными методами теории ИУВХ.
В настоящей работе предлагается метод усреднения ядра (МУЯ) численно-аналитического решения неособых интегральных уравнений Винера—Хопфа (ИУВХ). Использование одной модификации метода полос (см. [8]) сводит ИУВХ к дискретному уравнению Винера—Хопфа:
Ъ = Ъ + X а - т Чт, ■> = 1 2'
(5)
Получена оценка для погрешности редукции, обеспечивающая равномерную сходимость метода в общем случае неособых уравнений (1). Приводятся два способа приближенного решения дискретного УВХ. Первый из них основан на замене матрицы системы (5) бесконечной конеч-нодиагональной матрицей, с равномерной (по норме) оценкой погрешности. Тогда задача сводится к уравнению с рациональным символом. Второй способ опирается на проекционную теорему Г. Бэкстера (см. [1]) с одним существенным дополнением, позволяющим заменить сильно сходящуюся процедуру редукции на сходящуюся по норме.
2. ОПИСАНИЕ МУЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Х1(0, да) 2.1. Неособое уравнение (1)
Рассмотрим неособое уравнение (1) в пространстве Ь = Х1(0, да). Случай других пространств из семейства Е будет рассмотрен в разд. 3.
Введем равномерную таблицу узлов {2шк}, 1 < т < да, на [0, да) с шагом 2Н. Обозначим через цт среднюю точку т-го интервала [2(т — 1)й, 2тк):
цт = (2т - 1)к. (6)
Введем функции
2/к
Щ г) = | К(х - г) йг, 1 < / < да.
2(] - 1) к
Имеем
Ц(Пт ) = а - т,
где
(2/+ 1)к
а =а
(к) = | К(х) йх, -да < / <'
(7)
(8)
(2/ - 1)к
Из оценки (4) и формул (8) следует неравенство
^ = X N < ^.
Рассмотрим дискретное УВХ (5) (см. [1], [2], [9]), где
2/к
2(/ - 1)к
(9)
| 8(г)йг,
(10)
а числа а} определяются согласно формулам (8). Из g е Ь1(0, да) следует, что вектор q = е /1. Как обычно, через /1 = I обозначается ^-пространство последовательностей х = (хк= 1, облада-
да
т
да
Хда I I
Ш . Имеет место неравенство \\q\h< которое обращает-
к = 1
ся в равенство в случае g > 0.
Ниже покажем, что при достаточно малых значениях к система (5) имеет единственное решение (уу) е I. Вектором (уу) определяем приближенное решение / е Ь уравнения (1), по формуле
да
~/(х) = g(x) + £К(х - п)ъ. (11)
1 = 1
2.2. Оценка погрешности. Обоснование МУЯв Ь1(0, да) Наряду с К рассмотрим следующий интегральный оператор 1¥ь:
да
^Дх) = ¡^ (х, о/( о а,
0
с ядром Щ,(х, 0 "горизонтально-полосатой" структуры:
^(х, 1) = К(х - Пт) при 1 е [2(т - 1)к, 2тк), Пт = (2т - 1)к, т = 1, 2, ... .
Имеем
а
m = 1
(12)
Ж,(х, t) = £ Дх - )xm(t), (13)
где Xm(t) — характеристическая функция интервала [2(m — 1)h, 2mh). Легко проверить, что
да
| Wh(x, t)|dx . (14)
о
Поэтому Wh действует в L, причем
\Wh\L <|i. (15)
Введем интегральный модуль непрерывности ядерной функции K:
да
ю(5, K) = sup f \K(х) - K(х -1)|dx, 5 > 0. (16)
И <8 J
—да
Из свойства абсолютной непрерывности интеграла Лебега (см., например, [10]) следует, что
ю(5, K) —- 0, 5 —- 0+. (17)
Лемма 1. Справедлива оценка
||K- Whh <®(h, K). (18)
Доказательство. Пусть ф = Kf, у = Whf, f е L. Имеем
да 2mh да 2 mh
ф(х) - у(х) = £ J K(х - t)f(t)dt - £ J K(x - nm)f(t)dt,
m = 12(m - 1)h m = 12(m - 1)h
да
откуда получаем
да 2тк
|ф(х) - у(х)|< X | К(х- г) -К(х- Пт)\\/(г)\йг,
т = 1 2(т - 1)к
интегрируя которое от 0 до да, приходим к неравенству
да 2тк
||ф -£ < X | ®(к, К)|/(г)|йг = ю(к, К)|И|£.
т = 1 2(т - 1)к
Здесь использован тот факт, что на каждом интервале [2(т — 1)к, 2тк) изменения 1 выполняется неравенство |(х — 1) — (х — пт)| < к. Лемма доказана.
Из оценки (18) и свойства (17) следует, что 1¥к равномерно (по норме) сходится в Ь к К при к —»- 0+. Выберем значение к > 0 настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
(I- К)-1||ь\т - К||I < 1, (19)
тогда существует обратный оператор (I — 1¥к )-1 в Ь и имеет место равномерная сходимость
(I - Щ )-1 —- (I - К)-1 при к 0+. (20)
Наряду с (1) рассмотрим следующее усеченное уравнение:
да
/(х) = g(x) + Щк(х, г)/(г)йг. (21)
0
Выберем теперь число к > 0 так, чтобы выполнялось неравенство
||(I- Щ)-1||£ < 21 (I- К)"Ц£. (22)
Из неравенств (19) и (22) стандартным способом получается следующая оценка близости решений уравнений (1) и (21):
||/- ~Аь < 2ц||(I- К)"Ц£ю(к, К)\\Й1 < 2 I- К)Ц!ю(к, К)\\^. (23)
2.3. Сведение уравнения (21) к алгебраической системе Из уравнения (21), согласно формуле (12) имеем
да
/(х) = g(х) + X К(х - Пт)Ут, (24)
т = 1
где
2тк
Ут = | /(г)йг, т > 1, (25)
2(т - 1)к
а пт определяются согласно (6). Интегрируя (24) от 2(/ — 1)к до 2/к,] = 1, 2, ..., приходим к дискретному УВХ (5) с бесконечной тёплицевой матрицей А = (а/ - т)дат = 1, где е /1 определяется согласно (10), а вектор (а/) — согласно (8).
Матрицы мы будем рассматривать как операторы, действующие в соответствующих вектор-н^тх пространствах. Через J обозначается единичная матрица требуемого размера.
Ниже мы рассмотрим вопрос существования и единственности решения системы (5). Здесь
мы сталкиваемся со следующим явлением: обратимость оператора I — К в Ь(0, да) автоматически не гарантирует обратимость J — А слева в /1 (т.е. единственность решения уравнения (5)).
Ниже будет использовано условие обратимости I — К в пространствах Е в следующей форме: операторы I — К и I — к1 обратимы в X, (26)
где К — оператор, транспонированный к исходному оператору К:
да
Кт/(X) = К г - X)/(г) йг. (27)
0
Имеет место оценка, аналогичная (4), с той же самой ц:
1К1 £ <ц. (28)
Лемма 2. При достаточно малых значениях к > 0 оператор J—А обратим в 11. Доказательство. Пусть
ю(к, К) < 21(I- К)"IIх1, (29)
а (а) определяется согласно (8). Тогда числа (ут), определяемые через (25), удовлетворяют уравнению (5). Очевидно, что путем подходящего выбора сводного члена g уравнения (1), по формулам (10) можно получить произвольный вектор (д) е /1, поэтому при произвольном (д) е /1 существует решение (у() е /1 уравнения (5). Здесь показано, что оператор J — А обратим справа в /1.
Для доказательства обратимости J — А слева рассмотрим транспонированный оператор I — К1. Ему соответствует матрица J — Ат. Имеет место очевидное равенство ю(к, К) = ю(к, К). Из условия (26) обратимости I — К в X согласно доказанному выше следует, что при достаточно малых значениях к дискретный оператор Винера—Хопфа J — Ат будет обратим в /1 справа, что влечет за собой обратимость J — А слева (см., например, [1, гл. 1, § 7]). Лемма доказана. Таким образом, справедлива
Теорема 1. Пусть выполнены условия (26), число к > 0 удовлетворяет условиям (19), (29) и соответствующим условиям для оператора I — к1 , а числа (ау) и (ду) определяются согласно формулам (8) и (10) соответственно. Тогда система (5) имеет единственное решение в /1. Имеют место оценки (23)
погрешности, где функция / = /к определяется по формуле (11).
Способы приближенного решения дискретного УВХ (5) будут изложены ниже в разд. 4, 5.
2.4. Влияние погрешности в определении вектора (ук) на функцию / Обозначим через (ук) некоторое приближенное решение системы (5), удовлетворяющее усло-
вию
да
X Ьк - Ук| <8.
к = 1
Определим приближенное решение / уравнения (1) по формуле (24), в которой ук заменены на У к:
/(х) = g(X) + X К(х " Пт)Ут.
т = 1
Имеет место следующая легко проверяемая оценка:
-/I <ц8,
где ц определяется согласно (4).
да
3. УРАВНЕНИЕ (1) В ПРОСТРАНСТВАХ Е
Рассмотрим теперь уравнение (1) в случае, когда g задается, а / ищется в одном из 5-про-странств Е.
Воспользуемся следующими двумя уравнениями, играющими важную роль в теории ИУВХ:
Ф
(x) = K(x) + JK(x - 0Ф+(t)dt, (30)
Ф—(x) = K(-x) + JK(t-x)Ф_(t)dt, Ф± e L1(0, да). (31)
0
Из условий (26
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.