ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 8, с. 1302-1313
УДК 519.632.4
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ СЕТОК НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ1)
© 2013 г. Е. А. Волков
(119991 Москва, ул. Губкина, 8, Матем. ин-т РАН) Поступила в редакцию 14.03.2013 г.
Рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения Лапласа на прямоугольнике, когда на трех сторонах прямоугольника заданы граничные условия I рода, на четвертой стороне граничные значения ищутся из условия их совпадения на параллельной средней линии прямоугольника со следом решения получаемой краевой задачи I рода. Дано простое доказательство существования и единственности решения этой задачи. Предлагается сеточный метод, который при условии, что заданные на трех сторонах граничные значения имеют вторую производную, удовлетворяющую условию Гёльдера, дает равномерное приближение на квадратной сетке решения рассматриваемой задачи со вторым порядком относительно шага сетки. Метод может быть применен для приближенного решения аналогичной нелокальной краевой задачи для уравнения Пуассона. Библ. 12.
Ключевые слова: нелокальная краевая задача в прямоугольной области, разностный метод решения, сходимость сеточных решений.
Б01: 10.7868/80044466913080140
ВВЕДЕНИЕ
В работе А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [1] поставлена нелокальная краевая задача о нахождении на прямоугольнике функции по ее заданным непрерывным граничным значениям на трех сторонах прямоугольника, которая обладает следующими свойствами. Во-первых, эта функция является гармонической в открытом прямоугольнике. Во-вторых, она непрерывна на замкнутом прямоугольнике. В-третьих, искомая функция принимает на четвертой стороне прямоугольника и на средней линии прямоугольника, параллельной этой стороне, совпадающие (при их наложении) значения.
В первом разделе настоящей статьи эта функция получена в виде решения первой краевой задачи (1.4) на прямоугольнике при найденной специальным способом непрерывной функции ф, задающей граничные значения на четвертой стороне прямоугольника. Таким образом, неизвестные на четвертой стороне граничные значения искомой функции были определены раньше, чем сама функция целиком.
Центральную роль в решении рассматриваемой проблемы играет полученное соотношение (1.12) для функции ф, выполнение которого является необходимым и достаточным условием для того, чтобы решение краевой задачи (1.4) обладало тремя заданными свойствами (см. теорему 1).
Доказана теорема 2 существования и единственности непрерывной функции, для которой выполняется соотношение (1.12).
Получено представление (1.18) для найденной функции ф, в котором в качестве первого слагаемого служит функция а0, являющаяся следом на средней линии прямоугольника решения краевой задачи (1.4) при нулевом граничном условии на четвертой стороне прямоугольника. Второе слагаемое, т.е. функция у, есть предел бесконечной последовательности непрерывных функций (см. (1.13), (1.15)).
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00744) и программ "Ведущие научные школы" (проект НШ-6431.2012.1) и "Современные проблемы теоретической математики" ОМН РАН.
Второй раздел статьи посвящен приближенному решению рассматриваемой нелокальной краевой задачи методом сеток. При этом предполагается, что заданные на трех сторонах прямоугольника граничные значения имеют вторую производную, удовлетворяющую условию Гёльде-ра. Никакие условия согласования для граничных значений в вершинах прямоугольника, кроме требования непрерывности, не задаются. При этом смешанные вторые производные у решения в окрестности вершин прямоугольника могут быть неограниченными.
Основную часть второго раздела занимают трудоемкие оценки погрешности промежуточных результатов. Мы ограничимся здесь указанием действий, которые выполняются при реализации метода.
Во -первых, решается система сеточных уравнений (2.1) и фиксируется функция с1
(см. (2.2)), которая равномерно приближает на сетке функцию с0 со вторым порядком относительно шага сетки к.
Во-вторых, вычисляются элементы \|/1, п = 1, 2, ..., последовательности (2.5) до номера п =
= [21п к-1/1п2] + 1, которые приближают функцию у на сетке с погрешностью, некоторая часть которой, согласно оценке (2.31), быстро убывает с ростом п, а остальная ее часть равномерно ограничена величиной 0(к2), не зависящей от п. При отмеченном выше п эта погрешность целиком равна 0(к2). Выбору п посвящено также замечание 2 в конце статьи. Вычисления в итерациях (2.5) целесообразно проводить экономным способом Вазова (см. [2], [3]).
В-третьих, находится решение и 1 системы сеточных уравнений (2.36), которое является приближением на сеточном прямоугольнике решения рассматриваемой нелокальной краевой задачи для уравнения Лапласа. Равномерную оценку погрешности результата дает неравенство (2.38), правая часть которого при п = [21п к-1/1п2] + 1 является величиной 0(к2).
Изложенный метод может быть применен для приближенного решения аналогичной нелокальной краевой задачи для уравнения Пуассона на прямоугольнике. Связанные с этим немногочисленные изменения указаны в замечании 1, расположенном в конце статьи.
В.А. Ильин и Е.И. Моисеев в работе [4] доказали существование и единственность классического решения нелокальной краевой задачи для оператора Пуассона на прямоугольнике, когда значения искомой функции на одной из сторон прямоугольника являются линейной комбинацией значений этой функции на нескольких сечениях прямоугольника, параллельных рассматриваемой стороне. В предположении, что решение этой задачи четырежды непрерывно дифференцируемо на замкнутом прямоугольнике, установлена сходимость решения аппроксимирующей разностной задачи к решению дифференциальной задачи со скоростью 0(к2) как в
2
равномерной метрике, так и в разностной метрике Ж2.
Две основательные работы А.Л. Скубачевского [5], [6] посвящены созданию общей теории нелокальных краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений. В этих работах имеется обширная библиография.
1. поиск решения нелокальной краевой задачи
Обозначим через С0 линейное пространство функций одной переменной x, которые определены и непрерывны на отрезке 0 < x < 1 и обращаются в нуль в точках x = 0 и x = 1. Для функций f е С0 введем норму
|| f К = max| f(x )|.
L 0 < x < 1
Нормированное таким образом пространство С0 является полным в смысле сходимости по норме.
Пусть
R = {(x, y) : 0 <x < 1, 0 < y < 2} (1.1)
есть открытый прямоугольник, ym, m = 1, 2, ..., 4, — его стороны, включая концы, пронумерованные по часовой стрелке, начиная со стороны, расположенной на оси у.
На трех его сторонах у7', ' = 1, 2, 3, заданы непрерывные функции: ф2 = ф2(х), 0 < х < 1, фк = фк(у), 0 < у < 2, к = 1, 3. Предполагается, что
ф1 (2) = ф2 (0), ф3 (2) = ф2 (1) (1.2)
и, кроме того,
фк(0) = фк( 1) = 0, к = 1, 3. (1.3)
Рассмотрим краевую задачу
Дм = 0 на Я,
(1.4)
т т 4
и = ф на у , т = 1, 2, 3, и = ф на у ,
где Д = д2/дх2 + д2/ду2 — оператор Лапласа, ф = ф(х) е С0 — какая-либо функция.
При любом выборе функции ф е С0 краевая задача (1.4) имеет единственное классическое решение и = и(х, у), которое является гармоническим в открытом прямоугольнике Я и непрерывно
на замкнутом прямоугольнике Я (см. [7]).
Наша цель — найти функцию ф е С0, при которой выполняется равенство
и(х, 0) = и(х, 1), 0 < х < 1, (1.5)
где и — решение краевой задачи (1.4), и тем самым фактически решить поставленную нелокальную краевую задачу.
Условия (1.2) и (1.3) для заданных функций фт, т = 1, 2, 3, гарантируют непрерывность решения задачи (1.4) в вершинах прямоугольника Я. Условие (1.3), которое может быть несколько расширено (см. замечание 3 в конце статьи), является необходимым для выполнения равенства (1.5).
Зададим линейный оператор В, действующий из С0 в С0 следующим образом. Пусть/ е С0, т(х, у) — решение задачи Дирихле
Д -м = 0 на Я,
т 4 (1.6)
м = 0 на ут, т = 1, 2, 3, м = / на у .
Полагаем
Б/(х) = м (х, 1) е С°,
т.е. В/— след решения задачи Дирихле (1.6) на отрезке у0 = {(х, у) : 0 < х < 1, у = 1} с Я. В задаче (1.6) граничные значения на трех сторонах у1, у2, у3 равны нулю, а на стороне у4, лежащей на оси х, совпадают с функцией /.
Поскольку на границе Г прямоугольника Я выполняется неравенство
(х, у )|< -I / ||С„( 2 - у), (х, у )еГ,
а линейная функция является гармонической, то на основании принципа максимума имеем
Их, у)|< / \\С0(2 - у), (х, у) е Я.
Отсюда следует оценка
\\В/ 1С < I\\С0, Iе С0, (1.7)
т.е. норма оператора В не превосходит 1/2.
Рассмотрим задачу Дирихле следующего вида:
Д V = 0 на Я,
(1.8)
тт4
V = ф на у , т = 1, 2, 3, V = 0 на у , где фт — заданные функции (те же, что и в задаче (1.4)).
Положим
с0 = с0(х) = v(x, 1 )е С°, (1.9)
где V — решение краевой задачи (1.8). Очевидно, что
ф(х) = и(х, 0), 0 <х < 1, (1.10)
с0(х) + Вф(х) = и(х, 1), 0 < х < 1, (1.11)
где u — решение краевой задачи (1.4), в которой ф — функция, задающая граничные значения на нижней стороне прямоугольника (1.1), с0 — функция (1.9).
Поскольку из равенства между собой левых частей равенств (1.10) и (1.11) вытекает равенство правых частей этих равенств и наоборот, то имеет место следующая
Теорема 1. Для того чтобы при некоторой функции ф е C0 выполнялось равенство
и(х, 0) = и(х, 1), 0 < х < 1,
где u — решение краевой задачи (1.4), необходимо и достаточно, чтобы функция ф удовлетворяла соотношению
ф(х) = с0(х) + Вф(х), 0 < х < 1, (1.12)
где с0 — функция (1.9).
Теорема 2. Существует единственная функция ф е С, для которой выполняется соотношение (1.12). Доказательство существования. Рассмотрим в С0 бесконечную последовательность функций
, я, »
{у }я = 0, где
а0 — функция (1.9). Очевидно, что
и в силу (1.7) имеем
у0 = 0, у" = В(а0 + -1), n = 1, 2, ..., (1.13)
П + 1 " t\s " " - 1\
у - у = B(у - у ), n = 1, 2, ...,
/ +1 - уп||г» < —|у" - у" IIг», n = 1, 2,. (1.14)
Отсюда вытекает, что последовательность функций (1.13) является фундаментальной. Следовательно, существует предел
n0
lim у = у е C . (1.15)
n ^ да
Пос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.