ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 6, 2004
НАДЕЖНОСТЬ, ПРОЧНОСТЬ, ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ МАШИН И
КОНСТРУКЦИЙ
УДК 539.3
© 2004 г. Аргатов И.И.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО СЛОЯ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ
Рассмотрена конструкционно-нелинейная контактная задача для упругого слоя, на поверхность которого без трения давит штамп в форме параболоида вращения. Приближенное решение задачи получено в замкнутой форме. Показано, что для слоя относительно большой толщины данное решение является асимптотически точным.
Исследованию контактных задач для упругого слоя и родственных задач (в частности, для слоя, сцепленного с упругим полупространством) посвящено большое количество работ [1]. Задача одностороннего контакта является нелинейной (конструкционно-нелинейной по терминологии [4]), поскольку радиус площадки контакта заранее не известен и должен определяться из нелинейного уравнения по решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода относительно плотности контактных давлений. В работе [2] и др. были разработаны различные численные методы. Алгоритмы, адаптированные для решения прикладных контактных задач, предложены в [3] и др.
С точки зрения практических приложений значительный интерес представляют решения, полученные аналитическими методами. Для упругого слоя большой толщины h (в сравнении с радиусом площадки контакта а) решения в виде формул позволяют получить асимптотические методы (метод "больших X", метод сращиваемых разложений). В случае слоя конечной толщины применим метод ортогональных многочленов, сводящий интегральное уравнение осесимметричной контактной задачи к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений [4-6]). Названные методы эффективны в случае фиксированной площадки контакта. Требование определить неизвестный заранее радиус площадки контакта (по заданному перемещению штампа или действующей на него силе) приводит к необходимости решать контактную задачу, зависящую от параметра X = h/a.
В настоящей работе предлагается метод построения в замкнутой форме приближенного решения контактной задачи для упругого слоя конечной толщины. Получаемое решение оказывается асимптотически точным с погрешностью порядка X- . Для упругого слоя конечной толщины (при X = 1) численные расчеты показывают удовлетворительное совпадение с известными результатами [6]. В работе [7] аналогичным методом было получено решение контактной задачи в уточненной постановке с учетом касательных смещений на поверхности контакта.
2* 35
1. Пусть на границу х3 = 0 упругого (с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V) слоя толщиной к, прикрепленного к жесткой основе (х3 = к), без трения давит штамп в форме параболоида вращения
Хз = -Ф( г), Ф( г) = (2 Я )Л2, г = ТХ^+Х2. (1)
Обозначим через 50 вертикальное перемещение штампа.
При помощи преобразования Фурье задача об определении плотности контактных давлений р(г) и радиуса площадки контакта а сводится к решению интегрального уравнения [1, 6]
а
|Р, К)Р(Р)Рdp = 0Л(5о- Ф(г)) (2)
о
при дополнительных условиях
р(г)> о (г < г < а), р(а) = 0. (3)
Здесь введены следующие обозначения (/0 - функция Бесселя): К0(о, т) =
= | Ь (и) /0(ом)/0(тм)^м, 0 = Е/[2(1 - V2)]. В случае слоя жестко соединенного с неде-
о
22
формируемой основой Ь(и) = (2к 8Ь2 и - 4и)/(2кеЬ2 и + 1 + к+ 4и ) к = 3 -Следуя [1, 6], уравнение (2) преобразуем к виду
аа
ПМ^РР^ = 0(5о-ф(г))+Л<К К)Р(Р)РФ, (4)
оо где К - полный эллиптический интеграл первого рода,
^(о, т) = |[ 1- Ь(и)] J0(ои) J0(ти)йи. (5)
о
Заметим, что при к ^ ^ уравнение (5) переходит в уравнение осесимметричной контактной задачи для упругого полупространства.
2. Воспользуемся общим решением интегрального уравнения осесимметричной контактной задачи для упругого полупространства [8] и уравнение (5) представим в виде
а г
р (г) = -Щ= - 1 [ ЦШ, п Ц( г) = и (0) + гГ 4&. (6)
/2 2 п! /22 J / 2 Т2
пл/ а - г - г 0 V г - г
Здесь для правой части интегрального уравнения (4) введено обозначение
а
2П и (г) = 0(5 о- ф( г)) + 11 ^ (К К) Р(Р)РйР. (7)
о
Из условия (3) обращения плотности контактных давлений (6) в нуль на краю площадки контакта выводим уравнение
Ц( а) = 0. (8)
При этом первая формула (6) принимает вид
а
Р (г) = -1Г ЦШ. (9)
^ 2 2 г^й - г
Согласно уравнению (7) имеем
a a
км(0) = е5°+hIF(h °)p(р)рdp, 2пм(r)=- 9ф,(r)+h-1дт(h h)p(p)pdp,(10)
0 0
где ввиду определения (5) и равенства J° (x) = -J1(x) д F Г
т) = - | [ 1- L(м)] J°(ом) Jj(хм)udu. (11)
0
Подставим выражение (11) во вторую формулу (10). Полученное выражение для производной м'(г) подставим во второй интеграл (6) и проинтегрируем по переменной t. Вос-
r , х
Г 2 2 —1/2 i t А
пользовавшись формулой (6.552.4) справочника [9], находим I(r - t) J11 ъЦи]dt =
/1 (i
, где (формула (8.464.1) [9]) J1 (x) = J(2/nx) sinx. Приходим к следую-
2
щему соотношению:
а
im ^+2 í <р. Эp (Р)Р dp.
0 V Г - t 0
U (г) = 2950 - 2 9 г | -^=dt +-| s0i
„ (12)
S0(o, т) = |[ 1- L(u)]/0(ом)cosтudu.
0
Таким образом, уравнение (8) для определения радиуса площадки контакта принимает вид
a a
§0 = а\Щ dt - 9h | h) р(р)р dp. (13)
0^г - t 0
В частном случае для штампа в форме параболоида вращения (1) будем иметь
a
[-ФШ= dt = R. (14)
j Г2 "2 R 0л/ г -1
3. Из формулы (9) находим следующее выражение для максимального значения контактных давлений (в центре площадки контакта):
a
p( 0) = -1 [ ds. (15)
nj s
0
Дифференцируя первое выражение (12), при учете выражений (1) и второго (12) находим
U(s) 49 2 г[ fr1 .. . (р ^u . su
s=--R~ h2 J|J[1-L (u)] J 01 huj u Sin h
\
p(p)pdp. (16)
Г
а
Подставим (16) в (15) и проинтегрируем по переменной s. Находим
a &
p(о) = + ^ fS1 Vp, alp(p)pdp, S1 (o, a) = f[ 1- L(u)] J0(ou)Si(au)udu, (17) nR nh j Vh hj J
nh
о
x
где Si(x) = f( sin t/t )dt -
- интегральный синус.
"о
Подчеркнем, что соотношения (13) и (17) представляют собой точные равенства, т.е. соотношения, выведенные из исходного интегрального уравнения (2) без упрощающих предположений. Видно, что в пределе при к ^ ^ получаются соответствующие уравнения теории Герца.
Согласно теории Герца под штампом в форме параболоида вращения развиваются контактные давления
р(г) = рол/1- (г2/а2), (18)
где р0 - максимальное значение контактных давлений.
Подставляя (18) в правую часть уравнения (17), получим приближенное уравнение для определения величины р0. Используя формулу (6.567.1) [9], вычисляем интеграл
JJ1-!? = 7 И - h-cos h) «»>
о
В результате получаем приближенное равенство
Ро^ + Ро N ,(|), <20)
где N,<a) = 2 |"[ 1 - L<u)]Si<au) | sinau - cos au] — .
1 nJ V au J u
о
Из уравнения <20)находим
p0 - (40aInR){1/[ 1-N1 (a/h)]}. <21)
Формула <21) становится тем точнее, чем меньше отношение a/h. 4. Подстановка плотности Герца <18) в уравнение <13) при учете значения <14) дает приближенное равенство
so-a2-^0 n 2 г a), <22)
,т , ч Гг1 ,, sin au l du
где N2(a) = [1 - L(u)]- - cos au cos au — .
2 j V au j u2
о
Подставим в уравнение (22) вместо p0 выражение согласно формуле (22). Имеем
s = a2 4ha N2(a/h) (23)
0 R nR1 - N 1 (a/h)' ( )
Полученное соотношение следует рассматривать как уравнение для приближенного определения радиуса площадки контакта.
5. Обозначим через P величину равнодействующих контактных давлений, т.е.
a
P = 2nf p (p)p dp. (24)
о
о
Подстановка выражения (9) в равенство (24) приводит к уравнению [8]
P = 2
P = ^ + 41
J U (s) ds. (25)
о
Подставим в уравнение (25) выражение для функции U(s) согласно первой формуле (12). В частном случае (1) после интегрирования по переменной s будем иметь
3 а 1
3 R ■ 4J S2[P, a] p(p)pdp, S2 (о, а) = J[ 1- L (u)] Jo (ou) sin а udU. (26) оо Уравнение (26) можно вывести непосредственно из уравнения (4), применив теорему Моссаковского [10].
Приближенная зависимость между силой P и перемещением 50 получается из уравнения (26) после подстановки в него герцевской плотности (18) со значением параметра p0 согласно формуле (21). В результате интегрирования с применением формулы (19) находим
р = 89а3 168 h2 а N3 ( a/h)
3 R + п R 1 - N 1( a/h). ( )
Здесь N3(a) = f[1 - L(u)] | sin аи - cos au| sin audu . 3 j v au j ,.ъ
o u
6. Подставляя в первую формулу (12) выражение (14), согласно (1) и вместо (18), находим
U(г) = 28(бо- Rj + 2pohS3^a, hj, (28)
1 í s
где величина p0 определена формулой (21); S3(a, т) = I [1 - L(u)] I-
sin a u
au
0
^ du -cos au cos tu — .
) u
Дифференцируя функцию (28), получим
^ (г) = -4R -2,0.4 (h, h), (29)
o / ч fn r /- m (sin au ^ . du где ¿4(a, t) = [1 - L(u)]\--cos au sin tu — .
4 j va u ) u
0
Подставляя (29) в формулу (9), находим приближенное выражение для плотности контактных давлений
(a s\
( ) 49а \~Т2 2Ро} 3Vh' h) , „„
р(r) = 4rJ1- + T-1 ¿2=2ds' <30)
Плотность (30) обращается в нуль на краю площадки контакта. 7. В случае слоя относительно большой толщины разложим выражения (21) и (23) по степеням малого параметра Х- = a/h. Применяя известные разложения тригонометрических функций в ряды Маклорена, нетрудно показать справедливость разложений
2
49аЛ 8.-3 а Л 4 »-i 16^-з ^
ро = 4RV1-38ПХ ai + ))• 5о= rV1-3ПХ ао-1ПХ ai + ^
Здесь использованы обозначения [6] am = ((-1)m/22m(m!)2) J [1 - L(u)]u2mdu.
о
Данные разложения в точности совпадают с получаемыми по методу "больших X" [6; § 49, формулы (49.1)-(49.3)]. В случае упругого слоя конечной толщины (X = 1) проведенные расчеты показали хорошее (с точностью до 5%) совпадение с данными [6; табл. 30].
Полученное решение распространяется на случай слоя, сцепленного с упругим полупространством. Асимптотическое решение данной задачи было получено в работе [11]. Приближенное решение на основе упрощающих гипотез было дано в [12]. Выгода полученного решения состоит в том, что зависимости между основными параметрами упругого одностороннего контакта были выделены в замкнутой форме.
Полученные формулы позволяют получить приближенное решение имеющей интерес для трибологии задачи ненасыщенного (по терминологии [13]) множественного контакта для упругого слоя. В работе [14] было построено асимптотическое реше
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.