научная статья по теме ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО СЛОЯ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО СЛОЯ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

< 6, 2004

НАДЕЖНОСТЬ, ПРОЧНОСТЬ, ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ МАШИН И

КОНСТРУКЦИЙ

УДК 539.3

© 2004 г. Аргатов И.И.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО СЛОЯ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ

Рассмотрена конструкционно-нелинейная контактная задача для упругого слоя, на поверхность которого без трения давит штамп в форме параболоида вращения. Приближенное решение задачи получено в замкнутой форме. Показано, что для слоя относительно большой толщины данное решение является асимптотически точным.

Исследованию контактных задач для упругого слоя и родственных задач (в частности, для слоя, сцепленного с упругим полупространством) посвящено большое количество работ [1]. Задача одностороннего контакта является нелинейной (конструкционно-нелинейной по терминологии [4]), поскольку радиус площадки контакта заранее не известен и должен определяться из нелинейного уравнения по решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода относительно плотности контактных давлений. В работе [2] и др. были разработаны различные численные методы. Алгоритмы, адаптированные для решения прикладных контактных задач, предложены в [3] и др.

С точки зрения практических приложений значительный интерес представляют решения, полученные аналитическими методами. Для упругого слоя большой толщины h (в сравнении с радиусом площадки контакта а) решения в виде формул позволяют получить асимптотические методы (метод "больших X", метод сращиваемых разложений). В случае слоя конечной толщины применим метод ортогональных многочленов, сводящий интегральное уравнение осесимметричной контактной задачи к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений [4-6]). Названные методы эффективны в случае фиксированной площадки контакта. Требование определить неизвестный заранее радиус площадки контакта (по заданному перемещению штампа или действующей на него силе) приводит к необходимости решать контактную задачу, зависящую от параметра X = h/a.

В настоящей работе предлагается метод построения в замкнутой форме приближенного решения контактной задачи для упругого слоя конечной толщины. Получаемое решение оказывается асимптотически точным с погрешностью порядка X- . Для упругого слоя конечной толщины (при X = 1) численные расчеты показывают удовлетворительное совпадение с известными результатами [6]. В работе [7] аналогичным методом было получено решение контактной задачи в уточненной постановке с учетом касательных смещений на поверхности контакта.

2* 35

1. Пусть на границу х3 = 0 упругого (с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V) слоя толщиной к, прикрепленного к жесткой основе (х3 = к), без трения давит штамп в форме параболоида вращения

Хз = -Ф( г), Ф( г) = (2 Я )Л2, г = ТХ^+Х2. (1)

Обозначим через 50 вертикальное перемещение штампа.

При помощи преобразования Фурье задача об определении плотности контактных давлений р(г) и радиуса площадки контакта а сводится к решению интегрального уравнения [1, 6]

а

|Р, К)Р(Р)Рdp = 0Л(5о- Ф(г)) (2)

о

при дополнительных условиях

р(г)> о (г < г < а), р(а) = 0. (3)

Здесь введены следующие обозначения (/0 - функция Бесселя): К0(о, т) =

= | Ь (и) /0(ом)/0(тм)^м, 0 = Е/[2(1 - V2)]. В случае слоя жестко соединенного с неде-

о

22

формируемой основой Ь(и) = (2к 8Ь2 и - 4и)/(2кеЬ2 и + 1 + к+ 4и ) к = 3 -Следуя [1, 6], уравнение (2) преобразуем к виду

аа

ПМ^РР^ = 0(5о-ф(г))+Л<К К)Р(Р)РФ, (4)

оо где К - полный эллиптический интеграл первого рода,

^(о, т) = |[ 1- Ь(и)] J0(ои) J0(ти)йи. (5)

о

Заметим, что при к ^ ^ уравнение (5) переходит в уравнение осесимметричной контактной задачи для упругого полупространства.

2. Воспользуемся общим решением интегрального уравнения осесимметричной контактной задачи для упругого полупространства [8] и уравнение (5) представим в виде

а г

р (г) = -Щ= - 1 [ ЦШ, п Ц( г) = и (0) + гГ 4&. (6)

/2 2 п! /22 J / 2 Т2

пл/ а - г - г 0 V г - г

Здесь для правой части интегрального уравнения (4) введено обозначение

а

2П и (г) = 0(5 о- ф( г)) + 11 ^ (К К) Р(Р)РйР. (7)

о

Из условия (3) обращения плотности контактных давлений (6) в нуль на краю площадки контакта выводим уравнение

Ц( а) = 0. (8)

При этом первая формула (6) принимает вид

а

Р (г) = -1Г ЦШ. (9)

^ 2 2 г^й - г

Согласно уравнению (7) имеем

a a

км(0) = е5°+hIF(h °)p(р)рdp, 2пм(r)=- 9ф,(r)+h-1дт(h h)p(p)pdp,(10)

0 0

где ввиду определения (5) и равенства J° (x) = -J1(x) д F Г

т) = - | [ 1- L(м)] J°(ом) Jj(хм)udu. (11)

0

Подставим выражение (11) во вторую формулу (10). Полученное выражение для производной м'(г) подставим во второй интеграл (6) и проинтегрируем по переменной t. Вос-

r , х

Г 2 2 —1/2 i t А

пользовавшись формулой (6.552.4) справочника [9], находим I(r - t) J11 ъЦи]dt =

/1 (i

, где (формула (8.464.1) [9]) J1 (x) = J(2/nx) sinx. Приходим к следую-

2

щему соотношению:

а

im ^+2 í <р. Эp (Р)Р dp.

0 V Г - t 0

U (г) = 2950 - 2 9 г | -^=dt +-| s0i

„ (12)

S0(o, т) = |[ 1- L(u)]/0(ом)cosтudu.

0

Таким образом, уравнение (8) для определения радиуса площадки контакта принимает вид

a a

§0 = а\Щ dt - 9h | h) р(р)р dp. (13)

0^г - t 0

В частном случае для штампа в форме параболоида вращения (1) будем иметь

a

[-ФШ= dt = R. (14)

j Г2 "2 R 0л/ г -1

3. Из формулы (9) находим следующее выражение для максимального значения контактных давлений (в центре площадки контакта):

a

p( 0) = -1 [ ds. (15)

nj s

0

Дифференцируя первое выражение (12), при учете выражений (1) и второго (12) находим

U(s) 49 2 г[ fr1 .. . (р ^u . su

s=--R~ h2 J|J[1-L (u)] J 01 huj u Sin h

\

p(p)pdp. (16)

Г

а

Подставим (16) в (15) и проинтегрируем по переменной s. Находим

a &

p(о) = + ^ fS1 Vp, alp(p)pdp, S1 (o, a) = f[ 1- L(u)] J0(ou)Si(au)udu, (17) nR nh j Vh hj J

nh

о

x

где Si(x) = f( sin t/t )dt -

- интегральный синус.

Подчеркнем, что соотношения (13) и (17) представляют собой точные равенства, т.е. соотношения, выведенные из исходного интегрального уравнения (2) без упрощающих предположений. Видно, что в пределе при к ^ ^ получаются соответствующие уравнения теории Герца.

Согласно теории Герца под штампом в форме параболоида вращения развиваются контактные давления

р(г) = рол/1- (г2/а2), (18)

где р0 - максимальное значение контактных давлений.

Подставляя (18) в правую часть уравнения (17), получим приближенное уравнение для определения величины р0. Используя формулу (6.567.1) [9], вычисляем интеграл

JJ1-!? = 7 И - h-cos h) «»>

о

В результате получаем приближенное равенство

Ро^ + Ро N ,(|), <20)

где N,<a) = 2 |"[ 1 - L<u)]Si<au) | sinau - cos au] — .

1 nJ V au J u

о

Из уравнения <20)находим

p0 - (40aInR){1/[ 1-N1 (a/h)]}. <21)

Формула <21) становится тем точнее, чем меньше отношение a/h. 4. Подстановка плотности Герца <18) в уравнение <13) при учете значения <14) дает приближенное равенство

so-a2-^0 n 2 г a), <22)

,т , ч Гг1 ,, sin au l du

где N2(a) = [1 - L(u)]- - cos au cos au — .

2 j V au j u2

о

Подставим в уравнение (22) вместо p0 выражение согласно формуле (22). Имеем

s = a2 4ha N2(a/h) (23)

0 R nR1 - N 1 (a/h)' ( )

Полученное соотношение следует рассматривать как уравнение для приближенного определения радиуса площадки контакта.

5. Обозначим через P величину равнодействующих контактных давлений, т.е.

a

P = 2nf p (p)p dp. (24)

о

о

Подстановка выражения (9) в равенство (24) приводит к уравнению [8]

P = 2

P = ^ + 41

J U (s) ds. (25)

о

Подставим в уравнение (25) выражение для функции U(s) согласно первой формуле (12). В частном случае (1) после интегрирования по переменной s будем иметь

3 а 1

3 R ■ 4J S2[P, a] p(p)pdp, S2 (о, а) = J[ 1- L (u)] Jo (ou) sin а udU. (26) оо Уравнение (26) можно вывести непосредственно из уравнения (4), применив теорему Моссаковского [10].

Приближенная зависимость между силой P и перемещением 50 получается из уравнения (26) после подстановки в него герцевской плотности (18) со значением параметра p0 согласно формуле (21). В результате интегрирования с применением формулы (19) находим

р = 89а3 168 h2 а N3 ( a/h)

3 R + п R 1 - N 1( a/h). ( )

Здесь N3(a) = f[1 - L(u)] | sin аи - cos au| sin audu . 3 j v au j ,.ъ

o u

6. Подставляя в первую формулу (12) выражение (14), согласно (1) и вместо (18), находим

U(г) = 28(бо- Rj + 2pohS3^a, hj, (28)

1 í s

где величина p0 определена формулой (21); S3(a, т) = I [1 - L(u)] I-

sin a u

au

0

^ du -cos au cos tu — .

) u

Дифференцируя функцию (28), получим

^ (г) = -4R -2,0.4 (h, h), (29)

o / ч fn r /- m (sin au ^ . du где ¿4(a, t) = [1 - L(u)]\--cos au sin tu — .

4 j va u ) u

0

Подставляя (29) в формулу (9), находим приближенное выражение для плотности контактных давлений

(a s\

( ) 49а \~Т2 2Ро} 3Vh' h) , „„

р(r) = 4rJ1- + T-1 ¿2=2ds' <30)

Плотность (30) обращается в нуль на краю площадки контакта. 7. В случае слоя относительно большой толщины разложим выражения (21) и (23) по степеням малого параметра Х- = a/h. Применяя известные разложения тригонометрических функций в ряды Маклорена, нетрудно показать справедливость разложений

2

49аЛ 8.-3 а Л 4 »-i 16^-з ^

ро = 4RV1-38ПХ ai + ))• 5о= rV1-3ПХ ао-1ПХ ai + ^

Здесь использованы обозначения [6] am = ((-1)m/22m(m!)2) J [1 - L(u)]u2mdu.

о

Данные разложения в точности совпадают с получаемыми по методу "больших X" [6; § 49, формулы (49.1)-(49.3)]. В случае упругого слоя конечной толщины (X = 1) проведенные расчеты показали хорошее (с точностью до 5%) совпадение с данными [6; табл. 30].

Полученное решение распространяется на случай слоя, сцепленного с упругим полупространством. Асимптотическое решение данной задачи было получено в работе [11]. Приближенное решение на основе упрощающих гипотез было дано в [12]. Выгода полученного решения состоит в том, что зависимости между основными параметрами упругого одностороннего контакта были выделены в замкнутой форме.

Полученные формулы позволяют получить приближенное решение имеющей интерес для трибологии задачи ненасыщенного (по терминологии [13]) множественного контакта для упругого слоя. В работе [14] было построено асимптотическое реше

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком