ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 2, 2004
УДК 531.3
© 2004 г. Шулемович A.M. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УДАРЕ ПО УПРУГОЙ СИСТЕМЕ
Излагается метод приближенного определения первого импульса при поперечном ударе груза по достаточно произвольной упругой системе. Представлено большое число примеров удара по балке и по прямоугольной пластине. Приводится оценка приближенного решения, позволяющая определить появление многократных соударений и их число. Определены границы применимости приближенного решения, а также теории Герца, Сен-Венана и системы с двумя степенями свободы.
Основная трудность при анализе процесса удара тела по упругой системе - появление многократных соударений, возникающих при большой податливости упругой системы и значительной массе тела. В таких случаях приходится решать задачу с нелинейностью типа реле, так как при контакте соударяющихся тел применяются одни уравнения, а при разрыве - другие. Предложенная С.П. Тимошенко теория поперечного удара по балке и алгоритм вычисления силы удара [1, 2] не претерпели существенных изменений. Попытки получения аналитического решения задачи об ударе наталкиваются на значительные математические трудности, а при ударе по двух- и трехмерным системам, за некоторыми исключениями, - на непреодолимые трудности при определении частот и форм колебаний таких систем. Существенным облегчением служит линеаризация контактной зависимости Герца, использованная в [3]. В еще большей степени задача упрощается, если жесткость упругой системы велика. Ее можно рассматривать как систему с одной степенью свободы, а задачу об ударе по ней -как свободные колебания системы с двумя степенями свободы с заданной начальной скоростью груза. Такая модель имеет наибольшее практическое применение. Первую частоту и форму колебания упругой системы можно определить с помощью приближенных методов Релея, Ритца, Бубнова-Галеркина [1] и других.
Полезным инструментом при предварительном анализе процесса поперечного удара по произвольной упругой системе (при проектировании испытательных ударных стендов) может служить приближенный метод, позволяющий определить первый импульс, величина и очертания которого близки к вычисленному точными способами, в сопровождении оценки появления повторных соударений. Следуя теории [1], функциональное уравнение удара по произвольной упругой системе можно представить в виде
t ti t v0t - bUP(12)dt1dt2 = a + JP(t1)K(t - t1)dt1 (1)
0 0 0
при a = 0, P = 0. Здесь a - сближение соударяющихся тел, обусловленное контактным смятием; K(t) = Im^ C¡ю-*sinю^ - реакция упругой системы на действие еди-
i = 1
ничного мгновенного импульса Im, приложенного в точке удара; t1 - время приложе-
ния импульса; t2 - переменная интегрирования; b = m 1 и b = (m + M)mM~l для системы без связей при ударе по центру системы; m - масса груза; M - масса упругой системы; и0 - скорость ударяющего груза; P(t) - сила удара; rn¡ - круговая частота i-й формы колебаний u¡ (x¡, x2, x3); Y - масса единицы объема материала упругой систе-
2 -1
мы; C¡ = u¡ (r1, r2, r3)[y(u¡, u¡)] ; r1, r2, r3 - координаты точки удара. Скалярное произведение (u¡, u¡) определяется с помощью приема Рэлея [1].
В настоящей работе контактное смятие, задаваемое в теории удара С.П. Тимошенко зависимостью Герца а = к1Р2/3 заменяется линейной зависимостью. Поскольку уравнение (1) представлено в перемещениях, целесообразно избрать коэффициент контактной податливости таким образом, чтобы максимальное сближение тел в контактной зависимости Герца и линеаризованной были равны. Обращаясь к динамической контактной задаче Герца [4], заметим, что при соударении двух шаров, радиус одного из которых равен бесконечности, максимальное сближение amax =
Г1 тс 2 -1-.0,4 , nn0 0,8 0,4 -0,4
= [1,25mu0n ] = 1,093и0 m n .
Максимальное сближение можно представить через максимальное сближающее
г> /г>2 -2ч 1/3 ^ п , ,., 1,2 0,6 0,4
усилие Pmax amax = (Pmax n ) . Отсюда Pmax = 1,143 u0 m n и линеаризованный коэффициент k податливости принимает вид
7 Tt—1 л пс^ -0,4 -0,2 -0,8
k = amaxPmax = 0,956U0 m n , (2)
где n = 2Er [3(1 - v )] ; r - радиус ударяющего груза; E - модуль Юнга; v - коэффициент Пуассона.
Контактная жесткость k практически совпадает с приведенной в [5]. Можно показать, что решение задачи об ударе тела по упругой преграде с линейной контактной зависимостью, описываемой уравнением v0t - b J^ J*^ P0( t )dt2 dt1 = kP0(t), имеет вид P0(t) = P0sinX0t, где P0 = mu0X0, X0 = (km)-0,5
Для стали и шарообразного груза с учетом (2) имеем X0 = 19050 r 1 uQ'2 . Многочисленными расчетами установлено, что форма первого импульса при ударе по упругой системе близка к полуволне синусоиды.
Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде
P(t) = A sinXt' (3)
где A, X - амплитуда и частота синусоидальной формы импульса. Подставляя (3) в (1), получим
-i -2 ^ C¡A (vQt - bAX 1)t = A(к - bX2) sinXt + Y -!-r (sinш - p; sinXt), (4)
ifi ®.X( 1- p2)
где Pi = Ю; X_1.
Амплитуду A и частоту X можно определить из (4), полагая последовательно Xt = 0,5п и Xt = п. При Xt = 0,5п после преобразований получим
п -2 = п mvQ XA-1 - 2(XXQ1 )2-2 m £ C ;(sin0'5np; - р;)[р;( 1- р2 )]-1. (5)
i = 1
При Xt = п получим
qX A"1 - m £ C sin пр;[р;( 1- p2)]-1. (6)
i = 1
п = п mu
Рис. 1
Объединяя (5) и (6), получим уравнения
А = Ад
1 + m £ Cif! (р;)
i = i
A = пти0А
п + m
~ i X Cif 2(Pi) ,
i = 1
(7)
где /1(P¡) = (0,5 sin rcp, - sin0,5np; + p ,)[p ,(1 - p2 )]-1, /2(p ,) = sin гср,{р,(1 - p,)2]-1.
Графики функций /1(в ,) (1) и /2(Р ,) (2) представлены на рис. 1. Из первого уравнения (7) и графика функции /1(Р ,) видно, что решение имеет смысл при А > А0, т.е. при т < !<,.
Процедуру расчета покажем для удара по балке и пластине. Коэффициент C,, зависящий от граничных условий и расположения точки удара, принимает особенно простую форму, если удар наносится по центру симметричной упругой системы. Так как собственные функции u, (x1, x2, x3) всегда можно нормиро-
2 -1 вать, то u1 (r1, r2, r3) = 1 и C, = агрМ , где агр - коэффициент, зависящий от формы системы и граничных условий.
Отметим следующее. Чем больше ю1 А-1 и меньше mM1, тем меньшее число членов требуется для вычисления рядов m^ C,/1 (Р;) и m1 C,/2(Р,).
i _ 1
Для балки постоянного сечения обычно требуется не более четырех членов рядов. При близком расположении частот (у пластин и оболочек с присущим им плотным спектром) для расчетов может потребоваться значительное число членов ряда для /1(Р ,), укладывающихся на промежутке Р , = 0-4,0.
При многократных соударениях форма первого импульса несколько отличается от полуволны синусоиды и ее можно уточнить с помощью следующего приема. Решение ищем в виде Py = P0 sin A0t - A2 sin A2t. Примем, что импульс этой силы равен импульсу ударной силы A sin At. Уточненное решение вытекает из уравнений
P,
,J sin А0tdt - A2 J sin А2tdt = 2АА 1, P0sin А0ту - A2sin А2ху = 0,
где ту - время окончания уточненного ударного импульса.
Уравнения (8) приводят к простым тригонометрическим уравнениям
1 - cosА0ту - А0А^1 sinА0ту( sinА2ту)-1 (1 - cosА2ту) = 2А0А^AP^1,
0у
A2 = P0sin0,5пА0А
-1 0А2 •
т
т
0
0
г, м У0, м/с 1, м аб м кб м ю1, с 1 V с-1 £ ■ 104, с А, н й Ч
0,0254 0,0131 0,389 0,0127 0,0127 1250 12560 1,197 316,9 0,091 5
0,0254 0,0131 0,389 0,0151 0,0127 1250 12560 1,297 410,6 0,108 4
0,02 0,01 0,307 0,01 0,01 1540 9530 1,782 10,04 0,145 3
0,0123 0,01 0,1535 0,01 0,01 6300 15250 1,549 6,6 0,22 2
0,01 0,01 0,1535 0,01 0,01 6300 19000 1,405 4,91 1,208 1
0,01 0,01 0,1535 0,01 0,0152 9550 19000 1,444 5,51 2,780 1
0,01 0,01 0,1535 0,01 0,0362 22800 19000 1,648 6,37 31,2 1
Полагая Х2ту = 0,5п, получим
,-1
1-ео80,5пг - г8ш0,5пг = 2гАР0 , А2 = Р^ш0,5пг,
(9)
где г = Х-
-1
'0 Х2 ■
Решения уравнений (9) определяют Х2 и А2, необходимые для формирования уточненного импульса.
При одиночных соударениях приближенные решения практически совпадают с точными.
При ударе о преграду величина импульса 1т0 равна 2ти0. При ударе по упругой системе с большой податливостью возбуждается значительное число высокочастотных форм колебаний, которые в процессе быстрых движений часто прерывают контакт между грузом и системой и "дробят" импульс 1т0 на маленькие порции. Математическое описание этого феномена невозможно. Однако анализ решения многих задач приводит к выводу, что площади импульсов при многократных соударениях -величины одного порядка. Это позволяет сформулировать условие появления многократных соударений и оценить их число следующим образом.
Условие появления многократных соударений 1т0 > 21т:. Величина первого импульса 1т: = 2Атп- . С учетом второго уравнения (7)
1т1 = п 1т0
~ 1 п + т£ С,/ 1(р;)
1 = 1
И 1то1т11 = 1 + тп 1 £ С;/2(Р;).
1 = 1
Условие появления многократных соударений для любой системы имеет вид
т £ С/2(р; )>п. (10)
1 = 1
Для шарнирно опертой балки постоянного сечения С, = 2Ы~. Условие (10) принимает вид £ /2 (Р,) > 1,57Мт_1.
1 = 1
-1
Число соударений q = 2ти01т1 , где q - целое число.
Обращаясь ко второму примеру С.П. Тимошенко [1, стр. 400] и используя исходный импульс 1т0 = 5,34 ■ 10- Нс и полученный им 1т1 = 1,47 ■ 10- Нс, можно определить q = 3,63 ^ 3, т.е. число соударений должно быть не менее трех. Следовательно, численный анализ не был доведен до конца, что показано в [6]. Пример, рассмотренный в [2, стр. 97], не был доведен до конца. Приближенный и точный расчеты показывают, что число соударений равно 5, а не 2.
Расчетная процедура определения приближенного решения приводится для второго примера С.П. Тимошенко и для удара по прямоугольной шарнирно опертой пластине. Результаты остальных случаев, определенных аналогичным способом, приведены в таблице.
Рис. 2
В соответствии с [1, стр. 400] приняты следующие исходные данные: длина балки I = 0,307 м, ширина и высота сечения 0,01 м, модуль Юнга материала балки и шара
Е = 21,58 ■ 1010 Нм2, коэффициент Пуансона V = 0,3, г = 0,02 м, и0 = 0,01 мс-1. Нетрудно определить тМ1 = 1,113; к = 0,413 ■ 10-7 Н-1 ■ м; А0 = 0,953 ■ 104 с-1; т0 = 0,33 ■ 10-3 с; Р0 = 25,42 Н; А
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.