ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 1, с. 110-120
УДК 519.633
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ПРИ ЗАДАННОМ ПОТОКЕ1-*
© 2007 г. Н. А. Кудряшов, М. А. Чмыхов
(115409 Москва, Каширское шоссе, 31, МИФИ) e-mail: kudryashov@mephi.ru; chmykhov@mephi.ru Поступила в редакцию 10.10.2005 г.
Рассматриваются одномерные (плоская, цилиндрически-симметричная и сферически-симметричная) задачи нелинейной теплопроводности при заданном потоке тепла в начале координат в виде степенной зависимости от времени. Температура среды в начальный момент времени предполагается равной нулю. Получены приближенные решения задач. Обсуждается сходимость полученных решений. Библ. 12. Фиг. 3. Табл. 2.
Ключевые слова: нелинейная теплопроводность, асимптотические методы решения, одномерные задачи, приближенные методы решения, точные методы решения, лучистая теплопроводность.
Задачи нелинейной теплопроводности активно изучаются уже более пятидесяти лет. Широкое распространение они получили в связи с решением задач о распространении тепловой волны, образующейся при ядерном взрыве (см. [1]). Впервые точное решение задачи о распространении тепла от мгновенного точечного источника найдено в [2]. Похожие задачи возникают при рассмотрении процесса фильтрации газа в пористой среде (см. [3], [4]), поскольку математическое описание этих процессов такое же, как в [1].
Обзор результатов, относящихся к задачам нелинейной теплопроводности, можно найти в [5], [6]. Однако точные решения многих задач нелинейной теплопроводности до сих пор не получены. Известно, что для ряда задач нелинейной теплопроводности скорость распространения тепла является конечной (см. [1]-[7]). На основе этой идеи недавно в [8] были получены приближенные решения одномерной задачи на полубесконечной прямой при заданной температуре на границе в виде степенной и экспоненциальной зависимостей. Оказалось, что полученные решения по существу могут рассматриваться как точные, поскольку максимальное отклонение решения от точного составляет для большинства случаев десятые и сотые доли процента.
В данной работе получены приближенные решения одномерных задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке в начале координат в виде степенной зависимости от времени.
Нелинейное уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла с помощью механизма лучистой теплопроводности, имеет вид
Здесь и(г, 0 - температура среды, г - координата, ^ - время, п - показатель степени (п > 0), который характеризует лучистую теплопроводность, и к - коэффициент, характеризующий тепловой поток, V = 0, 1, 2 характеризует симметрию задачи. При V = 0 имеем плоскую задачу, при V = 1 -цилиндрически-симметричную и при V = 2 - сферически-симметричную задачу соответственно.
Пусть при г = 0 задается поток тепла, зависящий от времени по степенному закону
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
r > 0, t > 0.
(1.1)
t > 0.
(1.2)
Работа выполнена при финансовой поддержке Международного научно-технического центра (проект В1213).
В начальный момент температуру среды полагаем равной нулю:
u(r, t = 0) = 0, r > 0. (1.3)
Численное решение задачи (1.1)—(1.3) не представляет существенных трудностей, если использовать разностные методы (см. [9]). Однако очень важно найти точные или приближенные решения этой задачи, что и является целью данной работы.
Известно, что уравнение (1.1) и условия (1.2), (1.3) допускают группу преобразований неоднородного растяжения (см. [10]-[12]) и, следовательно, задача (1.1)—(1.3) является автомодельной.
Сделаем в (1.1) замену
1/n
u = v ;
тогда уравнение (1.1) примет вид
vt = — vvr + кvvrr + Кv2, r > 0, t > 0. (1.4)
r n
Граничное и начальное условия для (1.4) имеют вид
lim(rv v1/n= -q0ntk, t > 0, (1.5)
r ^ 0V. д r J
v(r, t = 0) = 0, r > 0. (1.6)
Далее рассмотрим решение задачи (1.4)—(1.6). Решение будем искать в виде
v(r, t) = Atmf(0), 0 = Br/tp. (1.7)
Подставляя (1.7) в уравнение (1.4) и полагая
p = (m + 1)/2, кАВ2 = 1, (1.8)
получаем уравнение
1 л V г г m + 1
-nf 0 + 0ff 0 + 2
ff 00 + -f 0 + -Jf, + 'V^f0 - mf =0. (1.9)
Подставляя (1.7) в граничное условие (1.5) и учитывая, что
m(n + 1) _,_(m + 1 )(V - 1) _ , -+--- = k,
n2
приходим к граничному условию для (1.9) в виде
lim (Vf 1/nf 1 = -1.
(1.10)
T-»V-1 A(n +1)/n /л л л ч
q0В n = А( ) , (1.11)
е^ оу.
Второе граничное условие для уравнения (1.9) находится из начального условия (1.6):
_де — «о = о.
Постоянные А, В, т в (1.7) находятся из (1.8), (1.10) и (1.11):
п 2п 2п п п + 2 2^1
, -3 п + 2 3п + 2 3п + 2 п 3п + 2 -3 п + 2 3п + 2- п( 2к - V +1 )
А = К п , В = К ^0 п , т = п(V - 1) + 2(п + 1) •
Для плоской задачи (V = 0) значения постоянных (А = А0, В = В0, т = т0) принимают вид
п 2п 2п п + 1 п п
л п + 2 п + 2 п+2 ^ п+2 п + 2 п + 2 п(2к + 1) .. ...
Ао = К до п , Во = К ^о п , то = 4 _ (1.12)
п+2
Для случая цилиндрически-симметричной задачи (V = 1) значения постоянных (А = А1, В = В1, т = т1) выражаются формулами
п п 1 п п
. пГГ пГГ п -2 -2( п + 1 ) -2( п + 1 ) кп
А1 = до п , В1 = к до п , т1 = —г.
п +1
Для случая сферически-симметричной задачи (V = 2) постоянные (А = А2, В = В2, т = т2) также находятся из (1.8), (1.10) и (1.11):
п 2п 2п п + 1 п - 2 п - 2 1
, 3п + 2 3п + 2 3п + 2 п -3п + 2 3п + 2 3п + 2- п(2к - 1 )
А2 = к до п , В2 = к до п , т2 = Г, г.
3 п + 2
Учитывая выражения (1.8), (1.10) и (1.11), имеем следующую задачу одномерной нелинейной теплопроводности при заданном потоке в начале координат:
//ее + 1А + V//е + ^^е/е - mv/ = 0, (1.13)
= -1, (1.14)
/(е — «о = 0. (1.15)
Таким образом, задача нелинейной теплопроводности сводится к краевой задаче (1.13)—(1.15) для обыкновенного дифференциального уравнения.
Найдем приближенные решения уравнения (1.13) с условиями (1.14), (1.15).
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1.13), (1.14), (1.15) И НЕКОТОРЫЕ
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
Предположим, что скорость распространения теплового фронта в задаче нелинейной теплопроводности (1.13)—(1.15) при п > 0 и при нулевом начальном условии является конечной; тогда у решения задачи (1.13)—(1.15) найдется точка е = а, где температура среды обращается в нуль: /(а) = 0, но производная не равна нулю: ёк//ёек Ф 0, к = 1, 2, .... Эти предположения соответствуют тому, что ищется обобщенное решение задачи.
Идея метода заключается в том, чтобы построить асимптотические решения задачи (1.13)—(1.15) вблизи точек е = 0 и е = а и сшить решения в некоторой точке е = е0, принимая во внимание равенство значений/(е) и потока в этой точке и минимизируя погрешность асимптотических решений.
Вначале построим формальное решение задачи (1.13)—(1.15) при произвольном а.
Будем искать решение уравнения (1.13) в виде
N
ЛО) = ХР i(a - г.
(2.1)
Из (2.1) определяются производные
dfs
0 = а
= 2в2, ..., Ц
0 = а
= i! (-1 m.
(2.2)
0 = а
Поскольку f(a) = 0, то в0 = 0. После подстановки (2.2) в (1.9) уравнение приводится к системе линейных алгебраических уравнений. Для ее решения использовалась система аналитических вычислений Maple 7. Коэффициенты разложения имеют вид
Pj = 2 an (m + 1), _ 1 (m + Vnm + vn -1 )n
в2 = J
1
i = 0
в 1 п (упш + V« + п + 2т + пт )Р<3'т'п)
Рз = Т) - "т"^——— —- , (2.3)
12 (п +1 )2 а( 1+2 п)(т + 1)
/ I I I ^ I \ т-»^, т, п)
1 п (V пт + V п + п + 2 т + пт) Р4 4 48 а2 ( п + 1) 3 (1 + 2 п) ( т + 1 )2 ( Зп + 1)'
в 1 п ^пт + V п + п + 2 т + пт) Р^'т'п) 5 240 а3 ( 3 п + 1 ) (т + 1 ) 3 (1 + 2 п )2 (п + 1 )4 ( 1 + 4п)' Здесь использованы следующие обозначения:
Р^'т'п) = (2vm + 2V)п2 + (Vт + V)п +1- т, Р<* т'п) = (6 V2 + 12 V2 т + 6 V2 т2 + 12 vm2 + 24 vm +12 v)«4 + + (5 V2 + 26 V т2 + 5 V2 т2 + 10 V2 т + 26 V + 52 V т) п3 + (14 vm2 + 2 v2m + V2 + v2m2 + 22 V + 36 V т)) + + (1 + 4vm2 + 4V + 8Vт + 5т2 - 6т)п + 3 - 10т + 7т2, р5У,т,п) = (720 v2m + 48 V3 т3 + 864V т2 + 864vm + 48 V3 + 720v2m2 + 288 V т3 + 240V2 т3 + + 144 V3 т + 240V2 + 288 V + 144 V3 т2) п7 + (2100 V2 т + 228 V3 т + 228 v3m2 + 2100 v2m2 + 76 v3m3 + + 5328 V т2 + 700V2 т3 + 1176 V + 1176 V т3 + 76 V3 + 5328 V т + 700V2) п + (800V2 + 132 V3 т2 + + 2040V + 132 V3 т + 1800vm3 + 5640V т2 + 2272V2 т2 + 44 V3 + 2336V2 т + 736V2 т3 + 44 V3 т3 + + 5880V т) п + (4442V т2+ 11V3 + 1159 V2 т2 + 1310 vm3 + 377v2m3 + 33 v3m2+ 1918 V + 405 V2 + + 5050vm + 1187V2т + 33 V2т + 11V3т3 )п4 + (1020V + 3 v3m2 + 271 v2m - 102т3 + 2360vm + + 3 V3т + 91V2 - 6 + v3m3 + V3 + 1764Vт2 + 150т2 + 424vm3 + 89v2m3 + 269v2m2 - 42т )п3 + + (345 vm2 + 22v2m - 211 т - 317т3 + 625 V« + 7 + 521 т2 + 8V2 + 20V2т2 - 25 Vт3 + 255 V + + 6v2m3)п2 + (19V + 29Vт2 - 303т3 + 31 - 269т - 33Vт3 + 81Vт + 541 т2)п +
+ 12+152т2 - 82т3 - 82т. Из граничного условия (1.14) и из уравнения получаем асимптотическое решение при 0 —► 0:
1 Г 1 Л\п/(п + 1)
/0(0) =
01-¥-С|| , V* 1,
п IV- 1
п +',п ГСП""" , V =1.
п \0
Здесь С - постоянная, которая находится путем сшивки асимптотического решения при 0 —► 0 и решения в виде ряда при 0 —► а.
Из приведенных выше формул находятся некоторые точные решения задачи (1.13)—(1.15).
В случае vnm + v« + п + 2 т + пт = 0 слагаемые при / > 3 в (2.3) зануляются и при этом находятся точные решения уравнения (1.13):
1 / , ач , 1 (т + vnm + v« -1 )п, Ач2 ^ .ч п (0) = ~ап(т +1 )(а- 0) + -^-—-¿-(а- 0) . (2.4)
2 4 п + 1
При V = 0, т = —п~2 точное решение имеет вид
/Г(0) = 1 ап(т + 1 )(а - 0) + 4(а - 0)2. (2.5)
2 4 п + 1
п
В случае V = 1 имеем т = —+1 и точное решение имеет вид
А 1)/пч 1 у , АЧ , 1 (т + пт + п -1 )п. Ач2
/)'(е) = -ап(т +1 )(а - е) + т^----Ца - е) . (2.6)
2 4 п + 1
Полагая V = 2, находим т = -_ 3п . и решение
3 п + 2
А2),л\ 1 у , 1\/ п\ , 1 (т + 2пт + 2п -1)п, Ач2 ^ „ч
/ (е) = ^ап(т +1 )(а - е) + -^-—-Ча - е) . (2.7)
2 4 п + 1
Решения (2.4)-(2.7) не удовлетворяют граничному условию (1.14). Однако они могут быть использованы при построении решения задачи Коши для уравнения (1.1).
Из (2.4) следует дополнительное точное решение, которое при т = 1 и V = 0 имеет вид
/Г(е) = ап(а - е). (2.8)
Это решение удовлетворяет граничному условию (1.14).
3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ (1.13)—(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.