ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 5, с. 690-697
УДК 621.362:519.63:533.9:621.362
ПРИЭЛЕКТРОДНЫЕ ОБЛАСТИ НЕПРЕРЫВНОГО ОПТИЧЕСКОГО РАЗРЯДА В ТЕРМОЭМИССИОННОМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕ ЭНЕРГИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ ЭНЕРГИЮ
© 2004 г. В. А. Жеребцов
Государственный научный центр РФ - Физико-энергетический институт им. А.И. Лейпунского, г. Обнинск Поступила в редакцию 27.05.2003 г.
Разработана математическая модель неравновесных приэлектродных областей непрерывного оптического разряда, горящего в межэлектродном зазоре термоэмиссионного преобразователя энергии лазерного излучения в электрическую энергию, не содержащая ряда ограничений ранее предложенной аналитической теории. Исследована структура приэлектродных областей. Выявлены особенности распределения параметров плазмы при различных температурах электронов. Получены граничные условия на приэлектродных границах равновесного ядра непрерывного оптического разряда для уравнений, описывающих распределения температуры плазмы и электрического потенциала в ядре разряда.
ВВЕДЕНИЕ
Авторами работы [1] в предположении, что у электродов длина ионизационной релаксации Ц значительно меньше длины термической релаксации ЦТ, а также с использованием некоторых других упрощающих предположений разработана аналитическая теория неравновесных приэлектродных областей непрерывного оптического разряда (НОР), горящего в межэлектродном зазоре (МЭЗ) термоэмиссионного преобразователя энергии лазерного излучения в электрическую энергию (ТЭПЛ), и получены граничные условия к уравнениям, описывающим равновесное ядро НОР. Однако анализ результатов математического моделирования тЭпЛ [2] и расчетов параметров плазмы в приэлектродных областях показал, что в условиях, характерных для ТЭПЛ, предположение о малости Ц по сравнению с ЦТ, как правило, не выполняется. В результате, как показывают оценки, расчетные потоки энергии, отводимой от приэлектродных границ ядра НОР, оказываются существенно завышенными. Это указывает на целесообразность снятия предположения Ц < ЦТ, исследования приэлектродных областей и получения граничных условий на приэлектродных границах ядра НОР в более общей постановке.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для исследования неравновесных приэлектродных областей НОР в ТЭПЛ используем подход, аналогичный развитому в [1]. Однако в отличие от [1] разобьем приэлектродные области на диффузионные подобласти квазинейтральной плазмы
(Ц, ЬТ > I, 1е, где ¡¡, 1е - длины свободного пробега ионов и электронов) и прилегающие к электродам подобласти пространственного заряда (ленг-мюровские слои), которые частицы пролетают практически без столкновений.
Для описания плазмы в диффузионных приэлектродных подобластях будем использовать уравнения трехжидкостной гидродинамики для частично ионизованной плазмы [3, 4]. Поскольку ширина приэлектродных областей значительно меньше как межэлектродного расстояния, так и характерных размеров электродов, приэлектродные области будем рассматривать как плоские, направив ось х по нормали к электроду. С учетом сделанных замечаний уравнения, описывающие квазинейтральную плазму в приэлектродных областях, можно записать в следующем виде:
(Ц_ = г. йи
йх " йх
= Г;
йи
<х
= -Г;
(1)
йРе йф „ „ <Рг й ф „
—е = еп— + Я + Я ; —■ = — еп— + Я — Я ■ '
йх йх Яеа +Я"; йх йх Я'а Я";
(2)
йра
_а = — я — я -
йх Яеа Я а;
йх = — Г ¡( Е + е ф) — А Se¡ — А^еа;
АС , АС •йф
— = А ^ + А Хеа — ^.
(3)
Здесь (1) - уравнения непрерывности; (2) -уравнения движения для электронов, ионов и атомов; (3) - уравнения сохранения полной энергии
электронного газа и тепловой энергии ионов и атомов. В системе уравнений (1)-(3) используются следующие обозначения: /, ^, ]а - плотности потоков электронов, ионов и атомов; Г; = п с;па[1 -
- (паед/па)(п/пед)2] - скорость генерации ионов в плазме; п, па - концентрации электронов (ионов), атомов; пе?, паед - равновесные (при температуре электронов Те) концентрации электронов (ионов)
и атомов; = „/вТДтст) - тепловая скорость электронов; т - масса электрона; а; - эффективное сечение ионизации атомов электронами, которое можно аппроксимировать выражением а; =
= а(0) ехр(-Е; ^/Т^, где Е; ^, а(0) - постоянные; Ре, Р, Ра - давления электронов, ионов, атомов; Т -температура атомов и ионов; е - элементарный заряд; ф - потенциал электрического поля; Яе;, Яеа -силы трения электронов об ионы и атомы; Я;а - сила
(Т)
трения ионов об атомы; 8е = /[(5/2 + ке )Те - еф] -
- Хе(йТе/йх), 8Н = -ХН(йТ/йх) - плотности потока полной энергии электронов и потока тепловой энергии ионов и атомов; Е; - потенциал иониза-
(Т)
ции атома; ке - термодиффузионное отношение для электронов; А^е ; = 3е2п(Те - Т)\е;, Д^еа = 3е2п(Те -
- T)veа - потери энергии электронного газа вследствие столкновений с ионами и атомами; £ = ^т/М; М - масса иона (атома); V,, ;, vea - частоты столкновений электронов с ионами и атомами; Хе, ХН - коэффициенты теплопроводности для электронов и тяжелых компонент плазмы (ионов, атомов). Для упрощения столкновения электронов и ионов с атомами рассматриваем как столкновения упругих твердых шаров. В этом случае для кинетических коэффициентов можно использовать выражения, приведенные в [4].
Будем рассматривать случай, когда скачки потенциала в ленгмюровских слоях обеспечивают условия частичного отражения плазменных электронов. Кроме того, пренебрежем эмиссией ионов с электродов.
С учетом сделанных предположений для граничных условий на границе квазинейтральной плазмы и ленгмюровского слоя у электрода (х = 0) имеем [3, 4]
J1 = JE -1- n1 Vе iexp [ -
Se 1 = 2 TeJe -2 Tel1 niVeiexp f-e!^;
еДф1
У
e Дф
Tel"
j il = -Y 0 Vs1 nl; jal = -j i1; T1 = TE
(4)
(5)
Здесь нижним индексом "1" отмечены величины в плазме у электрода; е/Е - плотность тока
термоэлектронной эмиссии с электрода; Дф1 > 0 -скачок потенциала в ленгмюровском слое; ТЕ -
температура электрода; = ^2Те Х1М; у0 = 0.7 [3]. Потенциал поверхности электрода принят равным нулю. Условие (5) для плотности ионного потока на электрод учитывает "проникновение" электрического поля из ленгмюровского слоя в квазинейтральную плазму и может быть использовано при еДф1 > Те1. В случае еДф1 ~ Те1 следует применять [3] граничное условие в виде
1 _
j i1 = -4 П1v i1
v i 1 =
(6)
Температура атомов и ионов у электрода положена равной его температуре, так как при давлениях газа P ~ 105 Па температурным скачком у электрода можно пренебречь.
На приэлектродной границе ядра НОР, которую отнесем на бесконечность (x —► поставим следующие граничные условия: температуры электронов, ионов и атомов равны температуре плазмы TT на границе ядра НОР, а их концентрации - равновесным
n = (neq)T = ПТ, na = (naeq)T = П aT,
Te = T = TT.
(7)
Нижним индексом "Т" будем обозначать величины на приэлектродной границе ядра НОР.
Ввиду высокой теплопроводности электронного газа и малой ширины приэлектродной области пренебрежем в ней изменением температуры электронов, т.е. Те = ТТ.
Из (1)-(7) для баланса энергии на приэлектродной границе ядра НОР аналогично [1] запишем
-Хт(йТХ = -2 /Е( Тт - Те) + Sm +
+ (E, + 2 Tt + e Дф1)(ji1- jiT) -- Jt
(8)
i + ^г) Tt - e Дфт
Здесь Х = Хе + ХН - коэффициент теплопроводности плазмы. Далее найдем входящие в (8) плотность потока тепла SH1, отводимого на электрод атомами и ионами, плотность потока на электрод ионов (/;1 - ];Т), генерируемых в приэлектродной области, скачок потенциала в ленгмюровском слое Дф1 и скачок потенциала в приэлектродной области ДфТ, включающий Дф1 и падение потенциала в квазинейтральной плазме. Для этого рассчитаем распределения в приэлектродной области концентрации электронов, температуры ионов
n\ T' 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
5
X
Рис. 1. Концентрация электронов - 1 и температура атомов и ионов - 2 при Р = 5.05 х 104 Па, ТЕ = 1000 К, ТТ = 8000 К, ]Е = 0, ТТ = 0.
и атомов, электрического потенциала, которые определяются следующими из (1)-(3) уравнениями:
— £аПа_йп\ = г + ( 1+ к( Т)) Р' п а П йТЛ
йх\па + пйх) ' ' йх\па + пТйх)
+ в2 jM-^- V ,
dxKn -а + - viaJ
(9)
(T)
Ji
тл d- „ ,, ,(T), 1 dT
- Dad- - D-( 1+ k ) 1 dT'
(12)
- в2 Vj
Via
+(-/-a)( oa2 / oaaa)] + ^ /[i + (-»(/ )], гДе
(2) (2) (2) (2) ,, Oai , Oaa , o,a , ou - эффективные сечения рас-
(2bJ2),
сеяния атомов на ионах, атомов на атомах, ионов на атомах и ионов на ионах; Ха - коэффициент теплопроводности атомов, который при использовании [5, 6] можно аппроксимировать выражением ха = ^„(ТВД для аргона Ха0 = 0.8 х 10-3 Вт/(см К), Т0 = 2500 К; у = 0.655; ^ - коэффициент теплопроводности ионов.
При заданной плотности потока электронов 1Т на приэлектродной границе ядра НОР уравнения (9), (10) с учетом (11) и (12) представляют собой систему двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно концентрации электронов п и температуры ионов и атомов Т. Для этой системы при х = 0 из (5), (6), (12) получаем граничные условия
Ч Р. + в2 Щ J
v i - d . (.+k(T' ) T-JD.
- =
(13)
-dXMD = 3 £2-( TT - T)(Ve + ^ - ^ • (10)
edф d(ln-) m 1,nc w /114
Tjdx = "V + TTl(0-5 Ve'+ Vea) J' (11)
где Dx = T/(MVia), Da = Dx(1 + Tj/T) - коэффициенты диффузии ионов и амбиполярной диффузии; via -
частота столкновений ионов с атомами; k термодиффузионное отношение для ионов;
-a = P/T - - ( 1+ Tj/T) ; P = Pa + Pe + P;
Оценки показывают, что при высоких температурах ТТ существенный вклад в энергетический баланс ионов и атомов может вносить их подогрев ионным током, поэтому в (10) присутствует последний член.
Коэффициент теплопроводности можно аппроксимировать выражением Хн = ^/[1 +
Г У о при еАф1 > Те> Т1 = ТЕ; V' = < _
[ V¡1/4 при еАф1 < Те.
На приэлектродной границе ядра НОР используем условия (7).
Система (9)-(10) решалась методом Рунге-Кутта. На границе у электрода задавались производные (йп/йх)1, (йТ/йх)1 и по (13) определялась п1. Далее система уравнений решалась до достаточно больших х. По поведению и величине п(х) и Т(х) при этих х корректировались (йп/йх)1, (йТ/йх)1. Нахождение решений п(х), Т(х) осложняется тем, что они соответствуют сепаратрисам, разделяющим финитные и инфини
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.