ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2007, № 8, с. 85-89
УДК 550.37
ПРИЛИВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И ЭЛЕКТРОКИНЕТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В ДВУХСЛОЙНОЙ ПОРОНАСЫЩЕННОЙ СРЕДЕ
© 2007 г. М. Б. Гохберг, Н. И. Колосницын, А. И. Николаев
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 20.06.2006 г.
Рассчитывается обусловленная электрокинетическим эффектом вертикальная компонента электрического поля в многослойной поронасыщенной среде, вызываемая приливными деформациями земной коры. На границе сред происходит скачкообразное изменение петрофизических свойств среды. Градиент порового давления на границах скачком достигает максимума и затем спадает по экспоненте, образуя своеобразный гидродинамический скин-слой. В силу электрокинетического эффекта, таким же образом ведет себя электрическое поле. По наблюдениям вертикального электрического поля, в принципе, можно определить механические свойства деформируемой среды. Величины эффектов лежат в диапазоне, доступном измерению.
Ключевые слова: электрокинетический эффект, многослойная среда, электрическое поле, лунно-солнечный прилив.
РАС8: 91.10.Tq
Наблюдения за деформациями позволяют судить о процессах, происходящих в земной коре до и после землетрясений. Прямые измерения деформаций достаточно сложны, поэтому представляют интерес наблюдения за порождаемыми ими вариациями электромагнитного поля, формирующимися в результате перетоков флюида в деформируемой поронасыщенной среде. Для калибровки таких измерений можно воспользоваться анализом порового давления и его градиентов, вызываемых приливными (объемными) деформациями. Исследование приливных деформаций представляет также и самостоятельный интерес.
Уравнение, определяющее динамику избыточного давления р флюида в упругой пористой изотропной среде, насыщенной жидкостью, предложено Я.И. Френкелем [Френкель, 1994] (см. также [Сурков, 2000; Gershenson, Bambakidis, 2001]). Это уравнение является гиперболическим, но при условии, что частота деформаций (ю) много меньше некоторой характерной частоты ю0:
ю ^ Юо = |/(кр„),
(1)
оно переходит в параболическое уравнение ^ага-gash et а1., 2005]
Юо Р
Эр Эе
_____ Ур = -а«ор„ Э7.
(2)
Здесь М =
20(чи - V)
а2 (1-2 Vu)(1-2 V)
1 к
а =1-к?
к=|г^а,в=(1- к/ко) т
к2
(3)
в' = 1+(в-1)
к о
М - модуль Био, к0, к, к2 - объемные модули сжимаемости твердой фазы, сухой пористой породы и воды, соответственно; т - пористость среды; р„, к - динамическая вязкость, плотность флюида и проницаемость материала, соответственно; е = = иш - объемная деформация; ик - компоненты вектора перемещения. Условие (1) для реальных сред выполняется в широком диапазоне частот, включая лунно-солнечные приливы, сейсмические и акустические волны до частот порядка 104-105 Гц.
В общем случае избыточное давление поровой жидкости р зависит от величины е. При этом для большинства горных пород изменения избыточного порового давления р не влияют на объемную деформацию [Сурков, 2000]. Поэтому полагаем что е = е(^, г) и не зависит от р. В качестве источника периодических возмущений объемной деформации е^, г) рассматриваем лунно-солнечную приливную волну, имеющую, как известно, масштаб порядка 10 тыс. км. В этом случае влиянием градиентов объемных деформаций, как и градиентов гравитационного поля приливной волны в приповерхностных слоях до реальных глубин
(в пределах 10 км) можно пренебречь, считать £ = е(0, а приповерхностную среду рассматривать как полупространство.
Рассмотрим двухслойную поронасыщенную среду. На границе сред происходит скачок их пет-рофизических характеристик - плотности, модулей упругости, динамической вязкости, пористости, проницаемости и т.д. На границе, конечно, происходит разрыв и электрофизических параметров сред, но поскольку обратное влияние электрического поля на гидродинамику поровой жидкости мало, то разрыв в электрических параметрах в явлениях электрокинетики обычно не учитывается. С учетом этого замечания уравнения для каждого слоя имеют вид (2), которые переписываем следующим образом: для первого слоя имеем
д Р\ К 2
___ М\ V р\ = -а\М\д-
(4)
На границах сред избыточное давление непрерывно. На свободной поверхности (^ = 0) давление отсутствует: р1 = 0. Аналогичное уравнение выполняется для второго слоя
д Р2 дг
К2
д£
- —М2 V2р2 = -а2М2-^, ^ П2 2 2 2д^
(5)
при граничном условии: г = Ь, р1 = р2. В обоих случаях объемная деформация
£( t) = £0\ехр (1 ю t) + с. с.
(6)
Уравнения типа (4) и (5) с условием (6) встречаются для описания физических полей разной природы, например, электромагнитной волны, проникающей в проводник [Ландау, Лифшиц, 1982], поля скоростей вязкой жидкости, возбуждаемого колебаниями стенки [Ландау, Лифшиц,1986], или, как в данном случае, избыточного порового давления на границе двух сред, генерируемого лунно-солнечными приливами. Общим во всех случаях является экспоненциальное затухание колебаний физического поля при удалении от границы в глубь среды. В случае электромагнитной волны это явление носит название скин-эффекта. При переходе к избыточному поровому давлению в водонасыщенной среде аналогия со скин-эффектом относится к градиенту порового давления -именно оно, как будет показано ниже, при удалении от границы затухает по экспоненте. Характерное расстояние, на котором происходит это затухание, глубина скин-слоя ("глубина проникновения" по терминологии [Ландау, Лифшиц, 1986]) - 5, во всех случаях определяется частотой и коэффициентом при пространственной производной. Для градиента порового давления имеем
5=
2К-М-.
(7)
Оценим глубину скин-слоя для суточной и полусуточной приливных волн. В качестве среды рассмотрим песчаник с параметрами: О = 4 х 109 Па, К = 10-12 м2, V = 0.23 [Кобранова, 1962]. Имеем также п = 10-3 Па сек, а = 0.5 ^е^ешоп, ВатЬак-idis, 2001], значение Vu зададим равным vu = 0.33. Согласно формуле (3) М1 = 1.74 х 1010 Па. Для суточной приливной волны ю = (час)-1 находим
51Л = 690 м. Для полусуточной волны имеем: 50.5Л = = 490 м. Наиболее варьируемым параметром горных пород является проницаемость, которая для песчаников, глин и известняков в нефтяных месторождениях может быть ниже 0.01 мд (песчаники) и даже менее 0.001 мд (менее 10-18 м2) [Кобра-нова, 1962]. Для этих пород толщина скин-слоя может снизиться в 10 - 100 раз до величин порядка десяти - одного и менее метра. Рассмотрим известняк с упругими константами О = 3 х 1010 Па, V = 0.20 и vu = 0.30 (см. [8]). При а = 0.5 по формуле (6) получаем М2 = 1011 Па. Полагаем, что известняк расположен в нефтяной залежи и обладает проницаемостью к1 = 0.1 мд = 10-16 м2. В этом случае для толщины скин-слоя получаем следующие оценки 51сП = 16.6 м и 50.5^ = 11.7 м.
Решение уравнения (4) ищем в виде р\(г, t) = \ [ А\( г) - а \ М\ £0 ] ехр (iюt) + с .с. (8) Для функции А1(г) получаем уравнение:
А'\'(2) - 1ЮК\М\А\(2) = °.
(9)
Решение этого уравнения представляем в следующей форме:
А\(2) = А\0ехр (1к\2) + с.с.
(10)
Подстановка (10) в (9) приводит к соотношению, которое определяет волновое число кх\
к\ + 1ю
П _
К\ М\
= 0.
(11)
Отсюда находим
к ■ = ''<1+1 УйЮМт1 (1+1 > 5\. (12)
Из условия на границе 2 = 0, р = 0 следует
А\0 = а\М\£,. (13)
В результате решение приводится к виду:
Pi(t, z) = ajMjeq^ exp
-(1+i) 6J
-1 г X
(14)
X 2- exp (i ю t) + c. c.
Переходя к действительным величинам, для порового давления в первом слое получаем:
X
Pi (t, z) = aM^o X
exp I -z I cos ( J- - rot I - cos (rot)
8i
(15)
Другой важной характеристикой изменений порового давления является его градиент. Дифференцируя (15), находим градиент порового давления
^f-1 = -72 a^^exp I-1-) sin I J--rot + . (16)
M1
д z
8i
P2 = 1[Л2(z) - a2M2Eoexp(-i'9)]x x exp[i(rot) + ф] + c.c.
(17)
Л2'(z) - i ю к—- Л2(z) = 0.
Так же как и выше решение ищется в виде: Л2 (z) = A20exp (ik2z) + c.c.
(18)
(19)
Волновое число k2 определяется формулой, такой же, что и (12):
k 2 = i ( 1+ i ) i [62 =
2K2 M2
(20)
'V П2Ю
В действительных переменных решение имеет вид:
P2 = Л 20 exp [ -— cos [rot
ф-66-J -
(21)
- a2M2e0cos ю t.
Параметры
Л20, ф определяем из условия на границе z = L, p1 = p2. Имеем
a^.M1e0[ exp (- L/61)(cos юt cos (L/61) + + sin юt sin (L / 61) -cos ю t)] =
= Л20exp(-L/62)(cosюtcos(L/62 - ф) + + sinюtsin(L/62 - ф)) - a2M2e0cosюt.
Приравнивая коэффициенты при sin^t) и cos^t) в правой и левой частях уравнения, получаем два соотношения для определения двух величин Л20, ф:
Л20exp(-L//62)sin(L/62- ф) =
= a1M1e0exp (-L/61) sin (L/61),
Л20exp (-L/62)cos (L/62 - ф) - a2M2£0 = = a1M1 £0 [ exp (-L/61) cos (L/61) - 1 ]. Отсюда находим
exp (- L / 61) sin (L/61)
Л20 = a1 M1 £0-
sin(L/62 - ф) tg (L/62- ф) =
a1 M1 exp (-L / 61) sin (L/61)
exp (L/62), (22)
(23)
Как видно из этой формулы, градиент избыточного порового давления затухает по экспоненте, а максимальное значение градиента достигается на границе.
Рассмотрим уравнение (5). Для второго слоя решение ищем в следующей форме:
a1 M1[ exp (-L/61) cos (L/61) - 1 ] + a2M2 Решение (21) принимает вид
P2( z, t) = a1 M1 £
exp (-L / 61) sin (L/61)
sin(L/62 - ф) X exp(-(z - L)/62)cos(юt + ф - z/62) -- a2M2£0cos ю t.
X
(24)
Здесь в решение введен фазовый множитель ехр(/ф). Для функции Л2(г) получаем уравнение, повторяющее (9):
Если скачок параметров на границе двух сред г = Ь отсутствует, то есть ах = а2, Мх = М2, 5Х = 52, из (23) следует, что фаза ф = 0, а решение (24) переходит в решение (14) для однородной среды, заполняющей полупространство 0 < г <
Дифференцируя (24) по г, находим градиент:
dP2 3z
72 a1 M1 £0 exp (-L/61) sin (L/61)
X
(25)
52 sin(L/52- ф)
х exp(-(z - L)/52) sin(rot - z/52 + ф - п/4).
Заметим, что обобщение двухслойной задачи на многослойную структуру не представляет принципиальных трудностей.
В электрокинетическом эффекте напряженность электрического поля определяется формулой
E = CVp. (26)
Здесь C - локальный коэффициент потокового потенциала. Градиент в данном случае сводится к вертикальной производной, найденной выше.
На рис. 1а и рис. 16 показан электрический профиль, возникающий в двухслойной среде вследствие электрокинетического э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.