Автоматика и телемеханика, № 6, 2011
(g 2011 г. С.В. СОЛОДУША, канд. физ.-мат. наук (Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Иркутск)
ПРИЛОЖЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА I РОДА К ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИКОЙ ТЕПЛООБМЕНА1
Рассматривается один класс нелинейных интегральных уравнений Вольтер-ра I рода, связанный с задачей автоматического управления нелинейной динамической системой (объектом) типа черного ящика с векторным входом при условии отсутствия обратной связи по выходу. Специфика алгоритмов проиллюстрирована на примере математического моделирования нелинейных процессов теплообмена.
Одна из типовых задач автоматического управления техническими (энергетическими) объектами связана с поиском входного возмущения нелинейной динамической системы, которому отвечает заданный (желаемый) выходной сигнал. Применению функциональных рядов для исследования нелинейных систем управления посвящено большое количество работ (см., например, библиографию в [1]). В приложениях нередко нелинейные динамические объекты типа черного ящика моделируются с помощью аппарата интегро-степенных рядов Вольтерра.
Полином Вольтерра Ж-й степени, отображающий х(£) в $(¿), имеет следующий вид:
где х(£), $(¿) - скалярные функции времени, причем $(0) = 0, $'(¿) € С*[о,т], ядра Кт, т = 2, N, симметричны по переменным вх,..., зт.
Предположим, что задача идентификации ядер Вольтерра Кт, т = 1, ТУ, в (1) решена, например, по методике [2-6]. Помимо нужной гладкости исходных данных в (1) будем предполагать, что К1(Ь,Ь) =0 Ш € [0, Т].
Ставится задача регулирования нелинейного динамического объекта, которая может быть сведена к поиску управляющего воздействия х (£), являющегося решением (1). В этом случае (1) является полиномиальным уравнением Вольтерра I рода Ж-й степени, непрерывное решение которого, вообще говоря, носит локальный характер.
Теории и численным методам решения таких уравнений посвящена серия работ [7-11]. Фундаментальные результаты общего характера, относящиеся к нелинейным интегральным (операторным) уравнениям, изложены в [12-14], а в [15] приведены результаты исследования единственности решения билинейного уравнения Вольтерра II рода.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00377).
1. Введение
(1)
В случае нескольких входов разной физической природы, так что х(4) = (х1(4),... ..., хр(4)), уравнение (1) включает дополнительные слагаемые, отражающие вклад в выходной сигнал одновременного изменения двух, трех и т.д. компонент вектор-функции х (4). Пусть х (4) = (ж1 (4), Ж2 (4)). Рассмотрим наиболее интересный для приложений случай N = 2.
Теперь вместо (1) имеем
(2)
2 4
! к1(г, 8)х1(з)йз +
+ у I к^(1,аъа2)х., (з^х^^з^ = /(4), 4 е [0,Т]
4=1о о
где для определенности возмущение х2 (4) считается заданным, выход /(4) - скалярная функция, причем f (0) = 0, /'(4) е С[о,т], ядра Кц, г = 1, 2, симметричны по переменным в1, в2. Формирование управляющего воздействия х1(4) будем проводить в условиях отсутствия текущей информации, получаемой на основе измерений выхода объекта.
Для понимания специфики (2) ограничимся случаем постоянных ядер: Кг = = кг, > 0, К^ = к^г, 1 ^ з ^ г ^ 2. Выберем ^22 = 0 (это выполняется, в частности, для некоторых моделей теплофизических процессов). Не уменьшая общности, зададим к1 = 1, так что (2) принимает вид
(3)
4
1 + к12 J X2(s)ds
о
J Xl(s)ds + кц | J х1(з)йв| + + к2 J X2(s)ds = !(4), 4 е [0,Т] .
Непрерывное решение (3) существует, вообще говоря, при некотором малом Т > 0. Таким образом, важно не только найти точное решение соответствующего уравнения, но и определить Т* - гарантированную область его существования.
В серии работ [7-11] при исследовании полиномиальных уравнений Вольтерра I рода разработана техника получения неулучшаемых оценок решений нелинейных интегральных неравенств, основанная на введении так называемых мажорантных (функциональных, дифференциальных, интегральных) уравнений.
2. Специфика полиномиального уравнения (3)
Основная цель данного раздела - получить мажорантные оценки решения (3) х1 (4). Предположим, что допустимое входное возмущение есть
х2(4) е X = |Ле(4), Л е Д, 4 е [0, Т]},
здесь е(4) - функция Хевисайда.
По аналогии с [7-11], рассмотрим мажорантное интегральное уравнение для (3) в виде
4 /4 4 2
(4) (1 - М12Ь4) у ф^^ - М11 I I ф^^ | = Д4, 4 е [0,Т]
оо
2
где М12 = |&12| > 0, Ь = |Л| > 0, Ми = |&п| > 0, ^ = ^ + М2Ь, М2 = |&2| > 0, ^ = 0гпах^ |$'(¿)| > 0, так что |$(¿)| < П.
Заменой
ъ
(5) в (*) = У ^(«М«
решение уравнения (4) может быть сведено к нахождению решения задачи Коши
<е> »'«>=т^Ш^кь, •(»>=»■
и его дифференцированию. Так как замена (5) сводит (4) к квадратному относительно в(£) уравнению
(1 - М12Ь^ в(£) - Мив2^) = П, то его решение, удовлетворяющее условию в(0) = 0, имеет вид
1 - м^ь* - ^(м12ы -1)2 -шпРг
(7) в*(*) =
2М11
Ясно, что (7) является и точным решением мажорантной задачи Коши (6).
Таким образом, если исходным данным в (3) отвечает набор М2, М11, М12, Ь), то непрерывное решение уравнения (3) хЦ (¿) заведомо существует и единственно на [0,Т], где
М12Ь + 2МпР - МпР(М12Ь + МпР) Т < = ЩР '
причем справедливо неравенство
|х 1 (¿)| < г € [0,Т*),
где
М12Ь(1 - м12ьг) + 2М11т^ М12Ь
2М11 ^(М12Ы-1)2 -4Мпй 2Мх 1
Для иллюстрации полученных формул приведем следующий пример. Пример 1. Пусть ^ = М2 = М11 = М12 = Ь = 1. Тогда
Т* = 5- 2\/6 « 0,101; в*(Т*) = <Л- 2 « 0,449; 0*(*) = ^ (1 - * - ^ - I)2 - 8*) , 0, л/б — 2
К — + 1 г \
^ 1 ; 2^-1)2 2' 1_ ' )
3. Построение численной схемы
Пусть нелинейный динамический объект с входными воздействиями Ж1 (4), ж (4) и откликом (¿) моделируется с помощью полинома Вольтерра второй степени в форме
г г г
(8) У К1(81)Х1(* - + J ! Хц(в1, в2)ж1(4 - в1)ж1(4 - 52)^1^2 +
0 0 0 г
+ /^(«1)^2(4 - +
0
г г
+ j у ^12(«1, «2)^1(4 - Й1)Х2(4 - «2)^1^2 = Уто^(4), 4 € [0, Т]
00
((8) соответствует случаю (2), когда система стационарна, т.е. ядра Вольтерра не зависят явно от времени, при этом симметрично по обеим переменным).
Будем считать для простоты, что Ж1 (4), Ж2 (4), (4) - отклонения соответствующих сигналов от своих стационарных значений.
Пусть в (8) ядра уже идентифицированы. Рассмотрим в качестве «эталонной» динамической системы математическую модель переходного процесса в элементе теплообменного аппарата, предложенную в [16, 17].
Согласно [16] зависимость возмущения энтальпии Дгег (4) (кДж/кг) теплоносителя на выходе теплообменника от возмущения расхода теплоносителя ДД (4) (кг/с) и возмущения энтальпии на входе дцп (4) (кДж/кг), 4 € [0,Т], имеет следующий вид:
} ( -А1 } Б(Е)<1Е / В(Е)ЛД
(9) Дгег (4) = С\ дД I е - - е - 1 ^ +
Г / -А1 } П(е)ае -А2 } 0(е)йе
+ с^ Д (^)Дг»п Ы I 71е - - 72 е - |
^Л^ Л1Л2
— ТГТ^-ГТ> -
До (Л2 - Л1)' ^ (Л1 - Л2)"
В (9) Д0 и - стационарные значения расхода воды (кг/с) и теплоподвода (кВт) соответственно, Д (4) = Д0 + ДД (4), - полная масса теплоносителя, 71 и 72 -константы, Л1 и Л2 - корни характеристического уравнения некоторой системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Задача выбора ДД (4), который обеспечивает при заданном Дг^, (4) нулевое отклонение отклика системы от своего стационарного значения, сводится к полиномиальному (относительно управляемого параметра ДД (4)) уравнению Вольтерра I рода (8), где Ж1(4) = ДД(4), Ж2(4) = Дг»„, уто^(4) = Дгег(4).
Численным методам решения полиномиальных уравнений Вольтерра I рода Ж-й степени (Ж = 2, 3) в скалярном случае посвящены [10, 18].
Допустим, что численное решение полиномиального уравнения (8) существует. Найдем его кубатурным методом средних прямоугольников. Введем сетку узлов г = 1 ,п, п1г = Т. Аппроксимируем интегралы в (8) суммами. Сеточный аналог (8), отвечающий формуле средних прямоугольников, принимает в очевидных обозначе-
ниях вид следующей системы нелинейных алгебраических уравнений:
(10)
¿=1
г=1
+
+ /72УУА'Ц . .АД? ¿=1г=1
¿=1
2,- 1А4. ., ! +Дг£10,
Раскрывая скобки и группируя слагаемые в (10), получаем квадратное уравнение
относительно Д_0Л в (г — узле
(11)
+ _ + 'Иг ± , А + /г2 X КЩ ^ А ] АВЦ
г
= + 1 +Н
' * — о' г — .7 + тт
г=1
то^г
¿=1
где
/г V А'! , ДА»Л ., 1 + /г2 У У А'ц , , ДА»Л ., ! ДВн
¿=2 гг
¿=2 1=2
'г-1+\ +
¿=2 г=1 2
Выбор нужного корня уравнения (11) определяется условием [18]
дд\ ^ ДД (0)
^пгоЛ 0) А'1 (0)
при к ^ 0, исходя из которого получаем сеточную аппроксимацию решения на базе формулы средних прямоугольников.
Изложенная схема была внедрена в программный комплекс «Динамика», позволяющий проводить идентификацию и тестирование квадратичной модели (8) применительно к математической модели (9) теплообменного аппарата. Ядра Вольтерра были идентифицированы с помощью откликов эталонной модели (9) на некоторое семейство тестовых входных сигналов ДД (£), Дгг„ (£). При решении квадратного уравнения (11) использовались сеточные аналоги ядер Вольтерра, полученные по методике [5, 6].
Как было замечено ранее, основная специфика уравнения вида (8) связана с локальностью области существования его вещественного непрерывного решения.
Для иллюстрации данной специфики приведем следующий пример.
Пример 2. Полагаем гг„0 = 434 (кДж/кг), Д0 = 0,16 (кг/с), = 100 (кВт). Время переходного процесса Т = 15, к =1 (с). Такой выбор шага к связан с реальными данными, полученными в ходе эксперимента на высокотемпературном контуре Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН.
2
2
%
90 80 70 60 50 40 30 20 10
0 3 6 9 12 13 t 15
-■- Aijt) (%), -ьг- AD(t) (%)
Вычислительный эксперимент.
Амплитуды тестовых входных сигналов, используемых для идентификации модели (8), составили 90% ß0 и 50% ¿¿П0.
На рисунке представлены возмущающее воздействие и расчетные значе-
ния решения Aß^, которые порождают (желаемый) выходной сигнал = 0.
Численные результаты показывают, что интервал существования решения Aß (t) в данном случае достаточно мал: 0 ^ t ^ 13 (с).
4. Заключение
В работе рассмотрен один класс нелинейных интегральных уравнений Вольтер-ра I рода, связан
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.