научная статья по теме ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА СОХРАНЕНИЯ МАССЫ ПРИ РАСЧЕТЕ ДИНАМИКИ СЛОЖНОНАГРУЖЕННЫХ ОПОР СКОЛЬЖЕНИЯ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА СОХРАНЕНИЯ МАССЫ ПРИ РАСЧЕТЕ ДИНАМИКИ СЛОЖНОНАГРУЖЕННЫХ ОПОР СКОЛЬЖЕНИЯ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

< 4, 2004

УДК 55.42.31;55.03.33

© 2004 г. Прокопьев В.Н., Бояршинова А.К., Гаврилов К.В.

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА СОХРАНЕНИЯ МАССЫ ПРИ РАСЧЕТЕ ДИНАМИКИ СЛОЖНОНАГРУЖЕННЫХ ОПОР СКОЛЬЖЕНИЯ

На примере шатунного подшипника коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания описывается методика расчета динамики сложнонагруженной опоры скольжения. Поле гидродинамических давлений в смазочном слое определяется интегрированием уравнения для степени заполнения зазора, что обеспечивает выполнение условия неразрывности течения смазки. Сравниваются гидромеханические характеристики, рассчитанные с помощью интегрирования уравнения Рейнольдса при граничных условиях Свифта-Штибера и уравнения для степени заполнения зазора при граничных условиях Якобсона-Флоберга-Ольсена.

Типичным представителем сложнонагруженных гидродинамических подшипников скольжения является шатунный подшипник коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания. Результатом расчета динамики этого подшипника является траектория движения центра шипа (шатунной шейки) в системе координат XO1Y, закрепленной на подшипнике (рис. 1, а). Абсолютная угловая скорость вращения подшипника ю1 = -dp/dt (где t - время) шипа ю2 = da/dt. В системе XO1Y ю1 = 0, а относительная безразмерная

скорость вращения шипа ю = ю/ю0 = 1 + X cos a/(1 - 0,5X2 sin2 a), где ю = (ю2 - ю1); ю0 - характерная скорость; X - отношение радиуса кривошипа к длине шатуна.

Внешние нагрузки и силы, действующие на шип со стороны смазочного слоя (реакции слоя), приводятся к центру шипа, а приближенные уравнения плоского движения его центра записываются в виде

тэю20й = Fу(т) + Ru(U, U), (1)

где тэ, U = (X, Y) - эффективная (расчетная) масса шатунной шейки и вектор перемещений ее центра; U, U - производные по безразмерному времени т = rn0t; Fy, Ry -проекции на соответствующие оси главного вектора внешних нагрузок и гидродинамических давлений.

На каждом временном шаге численного интегрирования уравнений (1) для определения реакций Ry необходимо решать уравнение Рейнольдса для гидродинамических давлений в смазочном слое, разделяющем шип и подшипник (рис. 1, б). Центр шипа, положение которого характеризуется эксцентриситетом e = O:O2 и углом 5 движется с некоторой относительной скоростью. Ее составляющие на линию центров и направление ей перпендикулярное равны de/dt и ed5/dt. Оси O'x' и O'z' системы координат O'x'y'z', в которой рассматриваются процессы в смазочном слое, лежат в плоскости, на которую развертывается поверхность подшипника -B/2 < Z < B/2, где B - его осевая протяженность (ширина), ось O'y' направлена по нормали к поверхности.

Толщина смазочного слоя й(ф) = MXM2 ~ Mx M'2 определяется формулой й(ф) =

= h0 - ecos^ - 5), где h0 - радиальный зазор. Проекции относительных скоростей то-

Рис. 1

чек Ых и М2 на орты г,] с точностью, принятой в гидромеханике тонкого смазочного слоя, определяются формулами

V1Х, = 0, V1 у = 0, V 2 х = юг, V 2 у = Эй / Э Г + юЭй/Эф,

где г = = г2; и г2 - радиусы подшипника и шипа. Уравнение Рейнольдса запишем в виде [1, 2]

А (Ь-рЩ + 1 (^¿Щ = ЮА (й р) + А (йр)

Эф 1.12ДЭф) Эг \ 1 2 д Э г ) 2 Эф(й Р) + Эх(йр),

(2)

(3)

где h = Н/Н0; р = р/р0; ц = р = (p -pa)y /Ц0®0, V = K/r; z = z'/r; -a < Z < a; a = B/2r; цэ - эффективная (расчетная) вязкость смазки; ц0, р0, pa - соответственно характерные вязкость, плотность смазки, атмосферное давление.

Безразмерная величина h и ее временная производная h = 1 - %cos(9 - 5), Эh /Эх =

= -% cos(9 - 5) - %5sin(9 - 5), где % = e/h0 - относительный эксцентриситет.

При интегрировании уравнения Рейнольдса (3) принципиальной является задача обоснования граничных условий для давлений. Их можно записать в виде следующих ограничений на функцию р(ф, Z):

р(ф, Z = ±a) = 0, р(ф, Z) = р(ф + 2п, Z), р(ф, Z)> 0, р(ф, Z) = pS на (ф, z)eQS, S = 1, 2, ..., S*,

(4)

где ОБ - область источника смазки, в которой давление постоянно и равно давлению подачи рБ; Б* - количество источников.

Алгоритм реализации ограничений (4), которые обычно называют условиями Свифта -Штибера, состоит в следующем. Уравнение (3) аппроксимируем конечными разностями и сводим к системе алгебраических уравнений, решение которых находим одним из итерационных методов. Каждый раз, когда в процессе итераций в какой-то точке области О = [ф б 0,2л; г 6 а, -а] не выполняется условие р > 0, давление в этой точке обнуляется. В конечном итоге О оказывается поделенной на две области: активную ОА, где р (ф, г) > 0, и область кавитации Ос, где р (ф, г) = 0. В ОА входит и область О* , занятая всеми источниками смазки.

На границах разрыва фр( г) и восстановления фв( г) активной области выполняются условия р (ф г) = Эр /Эф(фр, г) = р(фв, г) = Эр/Эф(фв, г) = 0. Полученное таким

2 ПМ и НМ, < 4

33

образом поле гидродинамических давлений не удовлетворяет условию неразрывности течения, поскольку количество жидкости, покидающей активную область смазочного слоя на границе разрыва, оказывается не равным количеству жидкости, втекающей в активную область на границе восстановления.

Альтернативной условиям Свифта-Штибера являются условия Якобсона-Фло-берга-Ольсона

р(ф, г = ±а) = 0; р(ф, г) = р(ф + 2п, г); р(ф, г) = р5 на (ф, г) 6 О5, (5)

Б = 1, 2, ..., Б*,

реализация которых обеспечивает выполнение условия неразрывности.

Алгоритмы интегрирования уравнения (3) при граничных условиях (5) носят название "алгоритмов сохранения массы". Наиболее популярные версии базируются на идее [3, 4] определять поле давлений р (ф, г) интегрированием уравнения для степени заполнения зазора 0

ЭА + А( б(1) + Б(2)) + ЭС = 0, (6)

Эт Эф Эг

где А = й0 ; Б(1) = 0,5 юА; В(2) = -Гр ^(0)Э0/Эф; Г = й3/12Д; С = -Гр ^(0)Э0/Эг; в = = Р^2/д0ю0; в - коэффициент сжимаемости смазки; #(0) - переключающая функция: # = 1, если 0 > 1 и # = 0, если 0 < 1.

Степени заполнения 0, связанной с гидродинамическими давлениями соотношением

р(ф, г) = рс + (0) 1п 0 (7)

(где рс - безразмерное давление кавитации), приписывается двоякий смысл.

В области ОА степень заполнения 0 = р/рс, где рс - плотность смазки при давлении, равном давлению кавитации. В области кавитации р = рс, р = рс, 0 < 1, причем 0 определяет массовое содержание жидкой фазы (масла) в единице объема пространства между шипом и подшипником.

Известные алгоритмы интегрирования уравнения (6) отличаются в основном разностными схемами аппроксимации дифференциального оператора ЭБ^'/Эф, ответственного за конвективный перенос массы [3-8]. В основу разработанного алгоритма сохранения массы положена идея модификации уравнения (6) на дифференциальном уровне с последующей его разностной аппроксимацией [9, 10].

При больших значениях в ~ 10 Н/м степень заполнения 0 в активной области смазочного слоя мало отличается от единицы. Это является основанием для замены Б(1) на

Б *(1) = 0,5юй[ 1+ (1-#)(0-1)]. (8)

По этой же причине допустимо заменить соотношение (7) на приближенное

р = рс + #(0)в(0 -1). (9)

Учтем, что при рс ~ 0 для всех 0 ф 1 производная Э#/Эф = 0, а на границах активной области смазочного слоя и на торцах опоры 0 ~ 1. Поэтому (0 - 1)Э#/Эф = 0 [6]. Это означает, что

в#Э0/Эф = Э/Эф[в#(0 -1)]. (10)

Введем переменную Ф, связанную с 0 формулой

0 =1 + (1- # )Ф, (11)

где # = 1, если Ф = р > 0 и # = 0, если Ф = (0 - 1) < 0.

Учитывая (8-11), представим уравнение (6) в модифицированном виде

дА* + Э (в*(1) + в*(2)} + С = 0, (12)

Эх дф дг

где А* = Н + (1 - g)Н Ф; В*(1) = 0,5 ю А*; В*(2) = -Гд^Ф)/дф; С* = -Гд^Ф)/дг.

Для интегрирования уравнения (12) введем сетку фу, гу, х": ф; = гАф (г = 0, 1, 2, ...,

Аф = 2п/^; = ;А г (у = 0, 1, 2, М), А г = 2а/М; х" = лАх (л = 0, 1, 2.).

На основе интегро-интерполяционного метода (метода контрольного объема), уравнение (12) приводим к системе нелинейных уравнений (индексы (л + 1) опущены)

РуФу = У _1, у + +1, у + ^г^Ф,.,, _!+ уу + 1 + Ьу. (13)

Подробное изложение методики получения уравнения (13) и формулы для вычисления коэффициентов приведено в работах [9, 10].

Располагая результатами применения для интегрирования системы (1) различных численных алгоритмов [1, 2], приходим к выводу, что наиболее эффективным (в смысле затрат времени и устойчивости) является нелинейный многошаговый метод Фаулера-Уортена [11].

Уравнения (13) решали итерационным методом Гаусса-Зейделя. Значения функции g¡j обновляли немедленно после определения Фу, а итерации продолжали до выполнения условия

Ж+1|"Ж1 /ХМ * 10-4, (14)

ч . и

где ^ - номер итерационного цикла.

Если после ^ = 200 итерационных циклов обхода всех узлов разностной сетки критерий (14) не выполнялся (а также при резком росте максимальной невязки системы (13) или получении значений Фу < -1), то временной шаг, с которым интегрировали уравнения (1), уменьшался.

2 ••

В уравнении (1) тэю0и < Ри(х) [1, 2], поэтому допустимо записать его в виде

Fu(т) + kRRU(u, u) = 0, (15)

-Rx--Ry-

где kR = 2, u = U/h0, Ru

~4Ta \\p

cos ф-sin фJ

йф dz

"a

Решая систему (15) методом Ньютона находим производные U, а координаты u определяем формальным интегрированием уравнения u = f(u, т). Из большого числа известных методов интегрирования этого уравнения предпочтительным оказался нелинейный многошаговый метод Фаулера-Уортена [11].

На основе численного интегрирования уравнения Рейнольдса и уравнений движения шипа определяем гидромеханические характеристики: мгновенные за цикл на-гружения тц, минимальная толщина смазочного слоя hmin(T), максимальное гидродинамическое давление ртах(т), а также их экстремальные значения infhmin, suppmax; мгновенные и средние за цикл тц потери мощности на трение N(t), N*; расходы смазки 2т(т), Q* , вытекающей в торцы подшипника; эффективные (расчетные) температуры смазочного слоя Тэ(т), T* ; расходы смазки Qb(t), Q* , вытекающей в смазочный слой из источника смазки, например, полной или частичной окружной канавки на поверхности подшипника и рециркулирующей из смазочного слоя в канавку

йрц(т), е*ц.

2* 35

Расход 2Т смазки в оба торца подшипника и расход dQb в направлении оси г через полоску протяженностью ^ф на границах, общих для смазочного

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком