№ 1
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 536.332
© 2014 г. ЕРМОЛАЕВА Ю.О.12 , РИЗАХАНОВ Р.Н.12, СИГАЛАЕВ С.К.2
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ИЗЛУЧАЮЩЕЙ ПЛАСТИНЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТЕПЛОСБРОСА С БОРТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
Аналитически решается двумерная задача распределения температуры на поверхности плоского холодильника-излучателя с учетом зависимости температуры теплоносителя от излучающих характеристик перемычек. Исследовано влияние коэффициента теплопроводности материала перемычек на геометрические размеры секций холодильника-излучателя при различных расстояниях между трубками с теплоносителем.
Введение. В космическом пространстве единственным способом сброса тепла с борта космического аппарата, не требующим затрат рабочего тела, является излучение, что указывает на исключительную роль холодильников-излучателей в обеспечении энергетического баланса космического аппарата. Потребность в них возрастает с увеличением бортовой энерговооруженности, в наибольшей степени это относится к перспективным транспортным модулям на базе ядерных энергодвигательных установок мегаваттного класса [1—3].
Постановка задачи
В данной работе рассматриваются плоские холодильники-излучатели, состоящие из секций, представляющих собой набор металлических трубок 1, по которым протекает теплоноситель (рис. 1), и контактирующих через плоские перемычки 2. Теплоноситель после входного коллектора 3 попадает в трубки и после остывания собирается в выходном коллекторе 4. Перемычки предназначены для увеличения площади излучающей поверхности.
Рассматривается элемент конструкции холодильника-излучателя, состоящего из трубки 1, по которой циркулирует теплоноситель, и двух перемычек 2 (рис. 2). Предполагается, что тепловой контакт в месте соединения перемычки с трубкой идеальный, т.е. их температуры равны. Перемычка считается тонкой, что позволяет пренебречь изменением температуры по ее толщине. Влияние на температурное распределение лучистого потока со стороны небесных тел (Солнца, Земли, Луны) не учитывается, так как в ряде случаев этим фактом можно пренебречь, например, когда панели ориентированы вдоль направления внешнего лучистого потока.
Пусть вдоль трубки радиусом г течет теплоноситель со скоростью и (рис. 2). Выделим порцию теплоносителя длиной £ За время Л при прохождении расстояния йу = ий температура теплоносителя уменьшается на величину йТ0. Индекс "0" означает, что рассматриваемый параметр относится к трубке. Запишем уравнение для плотности потока тепловой энергии д0:
Московский физико-технический институт (государственный университет).
2ГНЦ ФГУП "Исследовательский центр имени М.В. Келдыша", г. Москва.
1 2 3
Рис. 1. Схема секции проточного трубчатого холодильника-излучателя. Элементы конструкции: 1 — трубки с теплоносителем; 2 — излучающие пластины (перемычки); 3 — входной коллектор; 4 — выходной коллектор
q02пгSdt = -ешёТ0, откуда с учетом т = %г2Бр
до = -^т, (1)
2 dy
где с и р — удельная теплоемкость и плотность теплоносителя соответственно; Т0 = = Т0(х0, у) — распределение температуры при х = х0, т.е. на поверхности трубки.
Тогда тепловой поток д* в ребро излучающей перемычки толщиной 8 и длиной Ь будет удовлетворять соотношению
2д *5Ь = д02 пгЬ, (2)
где коэффициент 2 в левой части уравнения (2) учитывает распространение потока в обе перемычки.
Данный поток излучается с обеих поверхностей пластины холодильника-излучателя:
х,
д*51 = 21 ест |ТА(х)dx, (3)
х0
где б — коэффициент черноты поверхности пластины; ст — постоянная Стефана— Больцмана; х0 и х1 — координаты левой границы пластины и ее середины соответственно. Ширина перемычки — 21. Величина б полагается независимой от температуры. Коэффициент 2 в правой части уравнения учитывает излучение с обеих поверхностей пластины. Полагается, что распределение температуры вдоль х имеет больший градиент, нежели вдоль оси у, т.е. дТ/дх > дТ/ду, что позволяет рассматривать задачи распределения температуры вдоль х и у независимо. Из (1)—(3) можно получить:
х,
-^0С-Рр2пг = 4ест |ТА(х)dx. (4)
х
Распределение температуры Т(х) излучающей пластины рассчитывается с помощью нелинейного дифференциального уравнения второго порядка [4, 5]:
й2Т/йх — кТ, к — 2стбД8 (5)
с граничными условиями:
= 0, (6)
т1 — т йт
тх = Х0 — ^ тх
(7)
где X — коэффициент теплопроводности материала пластины, предполагается, что он не зависит от температуры.
Подстановка (5) в (4) с учетом (6) дает
йТо — Ь йТ(х) йу с1х
2 2 где Ь = 2X5/ср ипг = 2X8/ст; т = р ипг — массовый расход теплоносителя.
Для справедливости дальнейших соотношений необходимо Ь < 1, тогда дТ/дх > дТ/ду. В работе [6] описан аналитический метод решения задачи распределения температуры излучающей пластины в одномерной постановке, получено
Т(х) — (10/9 к )1/3х-2/3/ (х; хо), (8)
где
, 20/3 С х \ 30/3
( х Л 10/3 ( х Л 20/3 /
/(х; х0) — 1 + 0,2181431 -С!-—) + 0,0124141 + 0,0011221
м 0 VI + х0) VI + х^ VI + х,
+
Данное выражение позволяет найти производную
йТо/йх — ¿Т(х) / ¿х|х — х0:
¿Т- — Г10)1/3 _2_Г1 - 0,8725Г3-)10/3 - 0,111725Г^ 2°/3 -
йх У 9 к) з х^/3 У Ч + 1) Ч + 1) (9)
х 30/3
- 0,015701 (—-
ух0 + 1)
Следует отметить, что х0 в [6] в отличие от I не является независимым параметром, а определяется условием задачи. Для его расчета в [6] предложен метод итераций. В частности, первые три итерации имеют вид:
х0д — аТ03/2, где а — (10/(9к))1/2; х0,2 — х0,1(/(х0,1; х0,1)) / ; х0,3 — х0,2(/(х0,2; х0,2)) / •
В таблице 1 представлены значения х0,1, х0,2, х0,3 при различных характерных величинах X, 8 и Т00 (б = 1, I = 0,1).
Из представленных данных следует, что разница между второй и третьей итерациями для практически важных задач не превышает 1%.
Из (7), (9) и выражения для х0,2 после ряда преобразований можно получить:
, ,,,, , 2 3 ч5/2
3айТо(1 + т^ + + тз™ + •••) _ Ьйу (10)
2 Тз/2 (1 - к1V - к2м2 - к3м? - • ..)
Значения итерации х0,1, х0,2, х0,з при различных характерных величинах x, 8 и Тю (8 = 1, I = 0,1)
А,8, Вт/К T00, К х01Ь м x0,2, м x0,3, м
0,1 1000 0,0313020 0,0313881 0,0313887
800 0,0437459 0,0440178 0,0440218
500 0,0885355 0,0908883 0,0910003
0,5 1000 0,0699934 0,0711897 0,0712302
800 0,0978188 0,1009120 0,1010790
500 0,1979710 0,2150270 0,2166810
1,0 1000 0,0989856 0,1021790 0,1023540
800 0,1383370 0,1458550 0,1464350
500 0,2799740 0,3144250 0,3181090
Г а Г3/2 110/3
где щ = -0-I ; т, к, ; е N — коэффициенты: т: = 0,218143, т2 = 0,012414, т3 =
1а Т—3/2 +1)
^ 0,001122, ... и т.д.; к1 ^ 0,8725, к2 ^ 0,111725, к3 ^ 0,015701, ... и т.д. Преобразуем числитель и знаменатель выражения с учетом щ < 1 (10):
2 3 5/2 5 52 2
(1 + + т2м + т3м + ...) = 1 + - т1 м + - (3т1 + 4 т2) м +
2 8
5 3 3
+— (т1 + 12ш1ш2 + 8 ш3) м + ...; 16
2 3 —1 2 2 3 3
(1 — к^ — к2м — к3м — ...) = 1 + к^ + (к1 + к2) м + (к1 + 2к:к2 + к3) м + ....
Тогда уравнение (10) примет вид:
3 а dT0 2 3Ч,, /11Ч ---0 (1 + + а2м + а3 м + ...) = bdy, (11)
2 Т05/2 1 2 3
где
а! = к1 + (5 ш1 /2) = 1,41793;
а2 = к\ + к2 + 5к1ш1 /2 + (15т\/8) + (5ш2/2) ^ 1,46924;
1 3 2 2 3
а3 = — (16к: + 32 к1 к2 + 16к3 + 40к1ш1 + 40к2ш: + 30к: ш1 + 5ш1 + 16
+ 40к1ш2 + 60т1т2 + 40т3) = 1,47234.
После интегрирования обеих частей уравнения (11) имеем
Х0 + а1 /ю/3 + а2/20/3 + а3^/3 + а4 /40/3 + . = Ьу + С, (12)
где х0 = х01 = аТ0-3/2; С — константа интегрирования;
У(Х0) = (ТТdХо = I dt = + уI?- 11П|1 — <| + у(у — 1)IС
Ях0 + V ^ 1 — t)2 1 — t
п + у — 2
X (t + (1 — t) 1п|1 — ^) — у(у — 1 )(у — 2)I £ ----,
^ п (п — 1)(п + у — 2)
где I = х0Т0(у))/(х0Т0(у)) + ,); У = 10/3; I е N.
№
У, м 30
20
10
0 400
Металл-алмазный композит
У, м 20
10
500
У, м 20
10
600
Алюминий
700 400
т, к
Алюминий Медь
500
Металл-алмазный композит
600
700
т, к
Медь Металл-алмазный композит
400
500
600
700
т, к
Рис. 3. Распределение температуры при полуширине пластины I = 0,05 м (а), I = 0,1 м (б), I = 0,2 м (в) для трех материалов перемычек: алюминия, меди и металл-алмазного композита с заданной начальной температурой Тм = 700 К
б
0
0
(13)
(14)
Константа С находится с помощью граничного условия: Т — Т(хо> у )| у — о — ^
где Т00 — заданное значение температуры на входе в трубку. Так как х0 является функцией от Т00, т.е. х0 = х0(Т00), то
С — хо( Тоо) + а1 ^10/3 (х0( Т00)) + а2120/3(х0( Т00)) +
+ аз130/3(х0( Тоо)) + а4^40/3(х0( Т00)) +----
Подстановка полученного выражения в (12) приводит к уравнению:
У( Т0) — 1 [(х0( Т0) -х0( Т00)) + а1 (110/3(х0( Т0)) - 110/3(хо( Тоо))) +
+ а2( 120/3(х0( Т0)) - 120/3(х0( Т00))) + а3(¡30/3(х0( Т0)) - ¡30/3 (х0( Т00))) + + а4( 140/3(х0( Т0)) - 140/3(х0( Т00))) + • • • ] ,
где х0(Т0) = а Т03/2; х0(Т00) = а Т0о3/2; /^(Т))) = [Г х-;7^ -)' йх0(Т]).
Ахо( То) + /)
Таким образом, распределение температуры вдоль трубки Т0(у) задается обратной функцией у(Т0).
Тогда распределение температуры Т(х, у) излучающей пластины, будет выглядеть следующим образом:
Т(х, у) — (10/9к )1/3х-2/3/ (х; хо(у)), (15)
где хо(у) = хо(То(у)) = а(То(у))-3/2.
С помощью полученных соотношений исследовано влияние коэффициента теплопроводности материала перемычки на длину требуемой трубки (и, как следствие, на площадь и массу секции холодильника-излучателя). На рис. 3 приведены графики рас-
пределения температуры вдоль y для трех пластин: алюминиевой (к = 200 Вт/(м • К)), медной (к = 380 Вт/(м • К)) и из металл-алмазного композита (к = 1200 Вт/(м • К)), при различных значениях полуширины пластины l = 0,05; 0,1; 0,2 м. В расчетах принято: толщина пластины 8 = 0,0005 м, внутренний радиус трубки r = 0,002 м, теплоемкость теплоносителя c = 5.23 кДж/(кг • К), массовый расход теплоносителя m = 0,011 кг/с, степень черноты всех материалов полагается равной 1.
Рассмотрен случай охлаждения теплоносителя до 400 К при начальной температуре 700 К. При малой ширине перемычки (т.е. малом расстоянии между трубками, 2l = 0,1 м) выигрыш в длине трубки незначителен (для алюминиевой перемычки длина равна 34 м, для металл-алмазной — 27 м), т.е. всего ~20%. При увеличении ширины перемычки вд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.