ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 11, с. 16-21
УДК 537
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФРАКЦИОННОЙ ТЕОРИИ ДЛЯ РАСЧЕТА ФРЕНЕЛЕВСКИХ ЛИНЗ МЕТОДАМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ В ПРОГРАММЕ РЭЙТРЕЙСИНГА "RAY", ИСПОЛЬЗУЕМОЙ НА BESSY
© 2004 г. Н. А. Артемьев1, А. Ерко2, Ф. Шеферз2
laboratoire d'Optique Appliquée, Ecole Polytechnique, Palaiseau, France 2BESSY GmbH, Berlin, Germany Поступила в редакцию 26.11.2003 г.
Предложена математическая модель, дающая пользователю размывание фокусного пятна за счет хроматической аберрации и вследствие неровностей падающего волнового фронта, описываемых лучами. На базе модели разработана дополнительная процедура для программы рэйтрейсинга общего назначения RAY, которая используется на источнике СИ BESSY в Берлине. Распределение интенсивности в фокусе тестовой зонной пластинки, рассчитанное программой RAY, сравнивается с результатами расчета другой программы KRGF, которая оперирует волновыми фронтами и фазами и рассчитывает дифракцию света на основе принципа Гюйгенса-Френеля.
ВВЕДЕНИЕ
Метод рэйтрейсинга является незаменимым инструментом при проектировании оптических схем каналов вывода синхротронного излучения (СИ). На данный момент разработаны различные программы для расчета по методу рэйтрейсинга [1-3]. С помощью программы рэйтрейсинга общего назначения можно получить детальную информацию о каждом оптическом элементе канала. Обычно оптическими элементами, описываемыми в рамках рэйтрейсинга (т.е. методами геометрической оптики) являются щели и экраны, зеркала и решетки, брэгговские кристаллы и многослойные отражатели. Геометрическая оптика хорошо описывает изменение волнового фронта, производимого такими оптическими элементами. Однако слабым местом лучевой оптики является микрофокусировка и изображения, близкие к дифракционному пределу. Френелевские зонные пластинки как раз являются такими оптическими приборами, которые не могут быть тривиально описаны в рамках геометрической оптики. После дифракции на зонной пластинке волновой фронт приобретает сложную форму, которая изменяется с расстоянием даже в пустом пространстве. Другими словами, нормали к волновому фронту меняют угловые координаты в процессе распространения от зонной пластинки к фокусам, что приводит к понятным трудностям описания направления распространения света лучами.
Все эти проблемы можно избежать, если мы ограничим себя описанием распределения интенсивности только в фокальной плоскости зонной пластинки. Как в квантовой механике мы не знаем, что происходит с частицей при переходе из од-
ного квантового состояния в другое, так и тут мы не будем знать распределение интенсивности между зонной пластинкой и ее первым фокусом. Наша математическая модель дает пользователю размывание фокусного пятна за счет хроматической аберрации и вследствие неровностей падающего волнового фронта (описываемых лучами). Еще одно преимущество нашей модели заключается в том, что она дает более или менее реальное распределение интенсивности, включая боковые максимумы и фон в фокальной плоскости линзы. Мы считаем это важнейшей информацией для разработчиков оптических систем каналов СИ, использующих рэйтрейсинг.
На базе нашей математической модели мы разработали дополнительную процедуру для программы рэйтрейсинга общего назначения RAY, которая была ранее разработана и успешно используется на источнике СИ BESSY в Берлине [1]. Распределение интенсивности в фокусе тестовой зонной пластинки, рассчитанное программой RAY сравнивается с результатами расчета другой программы KRGF [10], которая оперирует волновыми фронтами и фазами и рассчитывает дифракцию света на основе принципа Гюйгенса-Френеля.
ДИФРАКЦИЯ НА ЗОННОЙ ПЛАСТИНКЕ
Для расчета дифракционной картины воспользуемся интегралом Френеля-Кирхгофа [5]. Используя обозначения, указанные на рис. 1, запишем комплексное возмущение U в точке P в виде:
U (P) =
= -(Ш2Х)Ц exp[kr + s)](cos а -cos ß) dS. (1)
Здесь А - амплитуда на единичном расстоянии от Р0, к - волновое число 2гсД, а, в - углы между г, s и нормалью к апертуре, йБ - элемент площади апертуры. Интеграл берется по всей апертуре.
Уравнение (1) означает, что для того чтобы рассчитать распределение интенсивности за зонной пластинкой, необходимо взять двойной интеграл, приведенный в уравнении (1), для каждой точки Р(х', у', г') на экране. Отметим, что это будет лишь распределение для точечного источника, находящегося в точке Р0. Если источник не является точечным, эта процедура должна быть повторена для каждой точки источника. Этот метод дает хорошие результаты, но время, необходимое для таких вычислений, очень велико.
Для целей рэйтрейсинга нам нет необходимости производить такие громоздкие вычисления. Более того, мы не можем этого делать, потому что метод рэйтрейсинга (лучевая оптика) не дает нам корректного описания падающего волнового фронта на зонную пластинку.
Используем условия данной задачи: углы дифракции малы и размеры дифрагирующих апертур (ширины зон) велики по сравнению с длиной волны, но малы по сравнению с длинами оптических плеч. Дальнейшее упрощение возникает, если мы ограничим себя расчетом дифракции только от аксиального источника. Каждая точка источника рассматривается как точечный источник, который создает точно такую же дифракционную картину, как и точечный источник, лежащий на главной оптической оси. Дифракционные картины от различных точек источника смещены в плоскости изображения в соответствии с реальным положением точечных источников и соответственным увеличением (рис. 2).
Следующим шагом на пути упрощения вычислений и уменьшения времени вычислений является обсуждение дифракции "луча" на зонной пластинке. Очевидно, мы не можем говорить о дифракции луча. Было бы правильнее говорить о расчете дифракции плоской падающей волны, волновой вектор которой представлен данным лучом.
Наконец, суммируя все эти аргументы, мы можем заключить, что для целей рэйтрейсинга зонная пластинка может быть описана следующим образом.
Пусть число зон достаточно велико, N > 100. Это является обычным случаем в рентгеновской оптике СИ. Тогда радиальное распределение интенсивности в фокусе первого порядка идеальной линзы может быть хорошо описано функцией Эйри [7] для каждого луча:
Зонная пластинка
где
/(V) = ДО^]2
V = к^х'//.
(2)
(3)
Ро(х, У, 7)
70
Р(х', у\ 7')
Рис. 1. Система координат, используемая при вычислении дифракции на круглом отверстии.
Источник на главной оптической оси
Зонная пластинка
4
Источник
на побочной |
оптической оси
я
Я'
Рис. 2. Аксиальный (сплошной) и неаксиальный (штриховой) точечные источники и соответствующие им дифракционные картины. Они идентичны, но смещены одна относительно другой в соответствии с расстоянием между источниками и увеличением оптической схемы.
Нормализованная интенсивность 10°
10-1 10-2 10-3 10-4
10-
0 2х10-5 4х10-5 6х10-5 8х10-5 1х10-4 Нормализованый радиус V
Рис. 3. Радиальное распределение интенсивности в первом положительном порядке негативной френе-левской зонной пластинки.
Здесь J1(v) - функции Бесселя первого порядка, к - волновой вектор, гN - радиус внешней зоны, / -расстояние между зонной пластинкой и ее первым положительным фокусом и х' - координата в плоскости экрана. Распределение, описываемое уравнением (2), показано на рис. 3.
Центр этого распределения лежит на пересечении плоскости изображения и побочной оптической оси. Плоскость изображения помещена в первый фокус и перпендикулярна главной опти-
ческой оси зонной пластинки. Побочная оптическая ось проходит через центр зонной пластинки и параллельна лучу, "дифракция" которого рассматривается в данный момент.
Однако распределение интенсивности, представленное уравнением (2), не учитывает фонового излучения, приходящегося на нулевой порядок дифракции, а также и на все остальные порядки дифракции (кроме первого). Основной вклад в фон дает нулевой порядок, дифракционная эффективность которого 1/4. Это составляющая фона имеет величину I0/4 и не зависит от радиуса. Опираясь на результаты, полученные в [8], напишем дифракционные эффективности для падающей плоской волны как
Efficiency = 1/4 1/п2, 1/9п2... 1/т2п2 (4)
для порядков 0, ± 1, ± 3, ... ± т.
Дифракционные эффективности первого порядка дифракции, высших положительных, отрицательных и нулевого порядков учтены в математической модели, приведенной ниже.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА АМПЛИТУДНОЙ ЗОННОЙ ПЛАСТИНКИ ФРЕНЕЛЯ
Математическая модель была разработана на основе уравнений, приведенных выше. Основным достоинством этой модели является то, что мы не проводим двойного интегрирования как по площади зонной пластинки, так и по всей фокальной плоскости. Однако распределение интенсивности может быть рассчитано только в области первого положительного фокуса зонной пластинки. Это приводит к тому, что пользователь может получить более или менее реальную картину лишь в непосредственной близости от первого фокуса. Промежуточный виртуальный экран не может быть вставлен между зонной пластинкой и ее первым фокусом. Это также означает, что эта модель не дает распределение интенсивности в фокусах высших порядков. Особое внимание уделено входным параметрам программы, которые представляют практический интерес для среднего пользователя рэйтрейсинга.
В качестве входных параметров мы выбрали фокусное расстояние зонной пластинки длину волны для которой была рассчитана зонная пластинка и апертура зонной пластинки а, которая равна удвоенному радиусу внешней зоны.
Перед началом расчета программа показывает дополнительные параметры зонной пластинки, которые рассчитываются на основе входных параметров. Именно: радиус внутренней зоны г1 = = (^0^0)1/2, радиус внешней зоны гп = а/2, число зон
N = гП /г\, и ширину внешней зоны Агп = гп _ гп _ 1 =
= (М^О)1^ _ (^ _ 1)^0^0)1/2 [8].
Пользователь получает максимальное значение угла дифракции 5^тах:
S^max = 20
^0
2п гп'
(5)
Внутри этого угла программа работает с достаточной степенью точности и вероятность для луча "дифрагировать" внутри этого конуса не равна тождественно нулю в данной модели. Это усло
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.