МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015
УДК 533.6:681.3.065
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАССИЧЕСКИХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ НОСОВЫХ ЧАСТЕЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
© 2015 г. А. В. АНТОНЕЦ
Центральный научно-исследовательский институт машиностроения, Москва
e-mail: info@som3.ru
Поступила в редакцию 24.06.2014 г.
Метод инвариантных соотношений, строго обоснованный в условиях "локальности силового взаимодействия", применен к выводу приближенных формул расчета аэродинамических характеристик осесимметричных летательных аппаратов, образующие которых составлены комбинированием прямолинейных участков и оживал, по базису из трех канонических аппаратов с совпадающими в приведенных координатах миделевыми поперечными сечениями: 1) кругового диска, 2) сферического сегмента и 3) касательного к сегменту по контуру его миделевого сечения острого кругового конуса с углом полураствора 0 < < 90°.
Ключевые слова: стационарные аэродинамические характеристики, коэффициент аэродинамического сопротивления Сх, метод инвариантных соотношений, теория локального силового взаимодействия, базис эталонных тел.
1. Используемые соотношения. При справедливости "закона локальности" (в частности, для гиперзвуковых течений сплошной среды) в [1] обосновано утверждение: если имеется базис из N > 2 эталонных тел (носовых частей летательных аппаратов) с известными у этих тел параметрическими (от условий обтекания — угла атаки а, числа Маха Мж полета и др.) зависимостями их одноименных l-х аэродинамических характеристик Clv(a, ...), V = 1, 2, ..., N, то соответствующие характеристики С;0(а, Ми,...) некоторого летательного аппарата (в общем случае пространственной конфигурации или рассматриваемого здесь, например, тела вращения) с заданной, в связанной с ним цилиндрической системе координат (x, ф, r), формой, образующей r0(x, ф) = r0(x), могут быть вычислены по формуле
N
Cl0 = Z PvQv (1.1)
v = 1
где коэффициенты pv (v = 1, 2, ... , N) определяются, в общем случае предлагаемого набора тел rv(x) (v = 0, 1, ... , N) с миделевыми значениями радиусов поперечных сечений rv(xkv) = rkv (v = 0, 1, ... , N), по требованию приближенного интегрального удовлетворения функционального уравнения
М2 = í Pv М2 (1.2)
^ rk0 J v = 1 ^ rkv J
при дополнительно накладываемом условии
N
X ^ = 1 (1.3)
-'V
V = 1
которое является точным следствием (1.2) ввиду совпадения в приведенных координатах у всех рассматриваемых N + 1) тел их миделевых сечений единичного радиуса.
Перейдем от физических координат (х, г) к приведенным (п, р):
008 9 г
П = -, Р = —, 008 В
008 9 к гк
1 + 2 йх.
1
2 (1.4)
изменяющимся при
х ш1п < х < хтах ^ хк, 0 < г < Гк, 0 <9к <е< 90 °
в фиксированных пределах 0 < п < 1, 0 < р < 1.
Один из искомых коэффициентов, например pN, вычисляется по условию (1.3)
N - 1
в N = 1 - I в V (1.5)
V = 1
Остальные коэффициенты (; = 1, 2, ... , N — 1) единообразно находятся, при минимизации невязки в (1.2) с помощью интегрального метода наименьших квадратов, из системы линейных алгебраических уравнений по (Ж — 1) условиям минимума интеграла
I = | Н 2(р1, р2,..., в N - 1, П) • йп
1
1 = {Н(р1,..., pN - 1, п) • [р;2(п) -pN (п)] • йп (1.6)
N - 1
Н(в1,..., в N - 1, п) = pN (п) - Р2(п) + Е в У • [Ру (п) - pN (п)]
У = 1
В общем случае, чем большее число N > 2 эталонных тел будет использовано, тем меньший минимум интеграла I на множестве с увеличенным числом (Ж — 1) свободных параметров будет найден и, следовательно, теоретически повысится точность расчетной формулы (1.1). Однако из-за дефицита форм тел, для которых известны результаты подробных исследований параметрических зависимостей их аэродинамических характеристик, последовательное расширение базисов подходящих эталонных тел представляется достаточно проблематичным.
В простом и не самом худшем варианте, как при N = 2, когда минимизация (1.6) производится подбором только одного свободного параметра р:, рассмотрим далее базис из N = 3 тел [2] с учетом соотношений:
р1(п) = 1, 0 < п - 1 — для кругового диска, гк1 = ; Р 2(п) = П, 0 - П - 1 — для базисного сферического сегмента; гк2 = Кь. з. ■008 0к;
0
Рз(п) = 0, 0 ^ П < 1 — для касательного к базисному сферическому сегменту острого кругового конуса, гк3 = гк2.
В этом базисе, формально для любого тела с заданной кусочно-гладкой образующей ро(п), благодаря удовлетворению равенствам (1.5), (1.6), выполняются соотношения
Р1 = 0.75 • (3 • А - 5 • В), в2 = 3.75 • (3 • В - А)
(1.7)
вз = 1 - Р1 - Р2, А = |р2(п) • йц, В = ]У • р0(п) • ¿П
Если форма образующей р0(п) изучаемого летательного аппарата задается кусочно-линейной функцией с К > 1 линейными участками и (К + 1) угловыми точками (г|, р), (, = о, 1, ... , К), 0 = Ро < р, (, = 1, 2, ... , К - 1) < Рк = 1, По = 0 < П1 < . . . < Пк- 1 < Пк = 1, тогда, обозначив 5,- = п - П -1, ¡1 — РI - РI -1, интегралы А и В можно свести к простым точным алгебраическим формулам:
к п
А = I 1
I = 1 п
Р, - 1 + т- • (П - Ц - 1)
• йц
Л
1 • Е 5<- • (р2 - 1 + Р,- - 1 -Р,- + Р2)
1 2 2 2 2
3 • [пк • (рк - 1 +рк - 1 -рк +рк) - по • (ро +ро -р1 + р1)
к - 1
Е п • (р< + 1 - Р< - 1) • (р< - 1 + Р, + р1 + 1)]
, = 1
В = I 5,
, = 1
5-2/1 2 , 1 , 1 2\ 5 • I з -р( - 1 + - -р, - 1 • +5 • ) +
/24 1 2\
+ ^ ■ п - 1 • I р, - 1+з • р, - 1 • +^ • ) +
+ П2- 1 -(Р2- 1 + Р,- - 1 +1
2. Примеры конкретизации расчетных формул (1.7) для классических осесимметрич-ных носовых частей летательных аппаратов.
1. Сферические сегменты. В приведенных координатах (1.4) образующая р0(г|) = р¡р. ¡.(п) сферического сегмента радиусом Я^, с полууглом раствора 9к < 9с < 90° касательного к сегменту по контуру его миделевого сечения острого кругового конуса задается ломаной линией с К = 2 прямолинейными участками и тремя угловыми точками:
(П, р)о = (0, 0) , (п, р)1 = ((, 1), (П, р)2 = (1, 1)
0 < ,. £0^ < 1 008 9к
0
0
I = 1
В рассматриваемом частном случае применения к вычислению интегралов A и B общих формул п. 1 выводятся нужные расчетные формулы (1.7) для класса сферических сегментов
РР = (1 - t) - 2 • U, в2 = t + 2 • и, =-u (2.1)
и = t • (1 -1) • (1 + t)
2. Сферические сегменты с монотонными скруглениями до меньших углов наклонов к оси симметрии участков их образующих при миделевых сечениях. В приведенных координатах (1.4) образующая р0(г|) = р^.-^.(л) сферического сегмента со скруглением угловой точки вниз по потоку от миделевого поперечного сечения по окружности радиуса 0 < Rb < Rb. sp. s, как и у сегмента без скругления в п. 2.1, задается ломаной линией с двумя прямолинейными участками и тремя угловыми точками
(П, р)о = (0, 0), (n, p)i = (ts, р s), (n, Р)2 = (1, 1)
0 < t . COS^L < 1 , ts =Ps • t = T=-Rb-
COS 9k 1 - T Rsp s.
Конкретными вычислениями интегралов A и B расчетные формулы (1.7) для класса сферических сегментов со скруглениями угловых точек их меридиональных контуров вблизи миделевых поперечных сечений преобразуются к записи
рР =Р11) + f ■ {2.5 • c(ts) - 9 + k ■ [3 • (1 + 2 • t) - 0.5 • g]} (2.2)
P22) =P21) - 5 • f • {1.5 • c(ts) - 3 + k • [(1 + 2 • t) - 0.3 • g]} P32) =P31) + f • {5 • c(ts) - 6 + k • [2 • (1 + 2 • t) - g]}
k = = T, c(x) = 1 + 2 • x + 3 • x2
R t
b. sp. s. 1
f = 0.25 • k • (1 - ts)2, g - c(ts) + 4 • t3 • c(ps)
3. Острые оживала. В координатах (1.4) образующая р0(п) = рs. og.(n) острого оживала с полууглом раствора касательного к оживалу в его передней точке острого кругового конуса 9k < 9s. og. < 90° задается ломаной линией с двумя прямолинейными участками и тремя угловыми точками
(П, р)0 = (0, 0), (n, р)1 = (t, 0), (п, р)2 = (1, 1)
cos 0, п„
0 < t =-^ < 1
cos 0k
Упрощением общих соотношений п. 1 для класса острых оживал получим
р<3> = -1. t• (1 - t) • (3 + t) (2.3)
О
в23) = (1 -1) - 3-рР, р33) = t+2 .р13)
4. Затупленные по сфере оживала. Если к описанному в п. 3 острому оживалу с радиусом Rs. og. гладко пристыковывается сферическое затупление с радиусом Rsp. s, то в
координатах (1.4) его образующая р0(г|) - pb Og (п) задается ломаной линией с двумя прямолинейными участками и тремя угловыми точками:
(П, р)о = (0, 0), (n, p)i = (ts, рs), (п, р)2 = (1, 1)
cos 0s Og t at
0 < t =-^ < 1, ts =—, ps =-a---—
cos 0k i - a i - a i -1
Rs. og. _ 1 n ^ „ _ Rsp. .
■ =—, 0<a = 1 -1
R 1 — t R
ЛЬ. sp. S. 1 * Og.
Формулы (1.7) для класса оживал со сферическими затуплениями приводятся к записи
в14) =р(3) + 0.75 • a(t) • b(t) (2.4)
в24) =в23) - a(t) ■ ( 2.25 • b(t) - 1 )
в34) =в33) + a(t) ■ ( 1.5 • b(t) - 1 )
a(t) = t • (р,)2, b(t) = 1 - (1 - 4 • a + 3.5 • a2) • (t,)2
5. Острые круговые конуса. В координатах (1.4) образующая p0(n) = ps. c.(n) острого кругового конуса с полууглом раствора 9к < 9c < 90 ° формально задается ломаной линией с тремя прямолинейными участками и четырьмя угловыми точками:
(П, р)0 = (0, 0), (n р)1 = (t, 0), (п, р)2 = (t, 1)
(П, р)з = (1, 1), 0 < t - < 1
cos 9k
В данном случае формулы (1.7) сводятся к записи
в15) = (1 -1) -1.25 • u (2.5)
в25) = 3.75 • u, в35) = t - 2.5 • u
Как и ранее в (2.1), в (2.5) использовано укороченное обозначение выделенного арифметического выражения u = t ■ (1 -1) • (1 + t).
6. Затупленные по сфере круговые конуса. В приведенных координатах (1.4) образующая p0(n) = pb. c.(n) затупленного по сфере радиуса Rn < Rb. sp. s. кругового конуса с
полууглом раствора 9к < 9c < 90° задается ломаной линией с тремя прямолинейными участками и четырьмя угловыми точками:
(П, р)0 = (0,0), (п, р)1 = (t,, р,), (п, Р)2 = (ts, 1)
cos 9 R
(П, р)з = (1,1), 0 < ts = t - ^^ < 1, P1 =Ps • ts
cos 9k Rb. sp. s.
Формулы вычисления базисных коэффициентов (1.7) для этого класса затупленных конусов приводятся к записи
pi6) =в(5) + 0.2 • (Ps)2 -р25) (2.6)
e26) = e25)+(ps )2 • (t - 0.6 -р25))
в36) =в35) - (p s)2 • (t - 0.4 •e25))
7. Затупленные по сфере круговые конуса с монотонным скруглением кормовой части образующей. В приведенных координатах (1.4) образующая р0(п) = psp _ c _ sp (п) осесим-метричного тела из указанного класса с радиусом 0 < Rb < ж окружности, плавно уменьшаю
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.