ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 8, с. 1429-1443
УДК 519.634
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ШВАРЦА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ1)
© 2015 г. М. П. Галанин, В. В. Лукин, А. С. Родин, И. В. Станкевич
(125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМ) e-mail: galan@keldysh.ru Поступила в редакцию 09.02.2015 г.
Работа посвящена разработке алгоритма численного решения поликонтактной задачи термомеханического взаимодействия системы многих тел. Алгоритм основан на итерационном методе Шварца, специальным образом модифицированном для решения рассматриваемого класса задач. Дискретизация решаемой нелинейной дифференциальной задачи выполнена методом конечных элементов. Представлены результаты расчетов, в том числе расчета термомеханического взаимодействия 350 тел. Библ. 18. Фиг. 8. Табл. 2.
Ключевые слова: поликонтактное взаимодействие, контактная задача, метод конечных элементов, вычислительная платформа, метод Шварца декомпозиции области.
Б01: 10.7868/80044466915080104
ВВЕДЕНИЕ
Для надежной оценки ресурса многих ответственных элементов конструкций, работающих в условиях высокоинтенсивного термомеханического нагружения, вызванного в том числе и контактным взаимодействием, важнейшим этапом является оценка напряженно-деформированного состояния (НДС), базирующаяся на адекватных математических моделях и эффективных прикладных алгоритмах (аналитических, численных, смешанных), реализующих непосредственное получение собственно самих полей перемещений, деформации и напряжений (см. [1], [2]).
Аналитические решения контактных задач получены для весьма ограниченного числа видов контактного взаимодействия и форм контактирующих поверхностей. В подавляющем большинстве практически важных ситуаций необходимо применять численные методы, среди которых для решения задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) лидирующее положение занимает метод конечных элементов (МКЭ) [3]—[8].
В данной работе приведена достаточно общая постановка задачи термомеханического контактного взаимодействия нескольких тел, описаны численные алгоритмы и представлены результаты решения ряда прикладных задач. Развитый алгоритм основан на специализированном варианте метода Шварца декомпозиции области.
1. ПОСТАНОВКА ПОЛИКОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОМЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рассмотрим в трехмерном пространстве К3 с декартовой системой координат Ох1х2х3 группу
тел, занимающих область С = ^ Оа, ограниченную кусочно-гладкой границей д0 = ^ дОа
а а
Предполагается эффектом связанности (температуры с деформацией) можно пренебречь, по
1) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы поддержки ведущих научных школ (грант № НШ-1432.2014.8) и РФФИ (коды проектов 15-01-03073, 14-01-31496).
этому задачу теплопроводности можно решать отдельно, а полученное температурное поле использовать при решении квазистатической задачи равновесия тел.
Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности
сЕ(х,Т)р(х,Г)^ = (ку(х,Т)ТД, + Ф(х, ?,Т), (х,*) е О х (0,tu],
от
Т(х,0) = То (х), х е О, Т(х, = ТК (х, х е S1 сдО, ? > 0, (1)
-Щку (X,Т)Т,4 = д„ (х,г,Т), х 6 сдО, ? > 0, -пкц (х, Т)Т,\8ъ = а№ (х, ^Т) (Т (х, *) - Ту (х, *)), х 6 ^ с дО, ? > 0,
где S1 и S2 и ¿3 = дО, П ¿2) = ше8(£1 П ¿3) = те8(£2 П ¿3) = 0.
Здесь ? — время, Т(х,^ — температура, Т0 (х) — начальная температура, Т = (Т,Тл ,Т,2 ,Т,3), ку (х, Т) — компоненты тензора теплопроводности К = ку (х, Т) е;- ® еу, где е;- ® еу — базисные диады, ф(х, t, Т) — мощность внутренних источников (стоков), еЕ (х, Т) — удельная теплоемкость среды, р (х, Т) — плотность среды, Тп (х, I) — температура поверхности ¿1, (х, I, Т) — плотность теплового потока на поверхности S2, а№ (х,I,Т) — коэффициент теплоотдачи на поверхности ¿3, Ту (х, ?) — температура среды у поверхности S3, п — компоненты единичного вектора внешней нормали п = пе к границе дО.
При решении контактной задачи в качестве температуры среды Ту (х,?) на границе S3, на которой задано условие теплообмена, будет рассматриваться температура в сходственных точках соседнего контактирующего тела.
Математическая формулировка квазистатической несвязанной задачи МДТТ в рассматриваемой термоупругой постановке включает следующие соотношения (для каждого тела Оа,
и У = 13):
уравнения равновесия
оп,у (и,Т} + а (X,*) = 0, х е ва; (2)
граничные условия (кинематические и силовые)
и (х, t= и0 (х, {), х е с 5Са; (3)
аИ {и,Т} = р (х,*), х е % с два; (4)
соотношения Коши для компонент тензора полной деформации
Бу (х, ?) = + х е Оа, ае [А,Б}',
2\дху дх (
и определяющие уравнения (в данном случае закон Гука) для компонент тензора напряжений
= Сук18к1 = Сук1 (8к1 - 8к1),
где и (х, t) — вектор перемещения точки, определяемой радиусом-вектором х = х;е;-, и0 (х, t) — вектор перемещения точки, расположенной на поверхности ¿1а, Q(х, ^ = Q¡ (х, I) е;- — вектор массовых сил, здесь х е Оа, р(х,I) = p¡ (х,I)e¡ — вектор внешней нагрузки, действующей на поверхности ¿2, здесь х е с дОа, еек1 — компоненты тензора упругой деформации, &к1 — компоненты тензора начальной деформации (для термоупругого тела таковыми являются температурные деформации), С щ — компоненты тензора коэффициентов упругости.
При решении контактной задачи на поверхностях контакта тел дополнительно должны быть выполнены условия контактного взаимодействия по перемещениям и напряжениям. Для упро-
Фиг. 1. Схема контактного взаимодействия двух тел.
щения записи ограничимся случаем двух тел с одной парой контактных поверхностей. Рассмотрим два термоупругих контактирующих тела A и B, занимающих в пространстве [R3 области GA и GB и ограниченных кусочно-гладкими границами dGA и dGB (см. фиг. 1).
На поверхности контакта Sk = = S^ (см. фиг. 1) должны быть выполнены условия сопряжения по перемещениям (кинематическое условие)
uA (x, t) - ыБп (x, t) = 8n (x), x G Sk, (5)
и по напряжениям (силовое условие)
<злп (x, t) = стБ (x, t)< 0, x G Sk ; (6)
A B
здесь ып, ып — проекции векторов перемещений граничных точек на направление внешней нормали n A к границе тела А, 5 п — начальное расстояние (зазор) по нормали между граничными точ-
л т> A B A B
ками тел A и B, ап, ап — проекции векторов напряжений а и а на направления внешних нормалей nA и nB соответственно. Здесь S? U S^ U Sk = dGa, mes (s1a П S2a) = 0, mes (s? П Sk) = 0, mes(S2a П Sa) = 0, a g {A,B}.
A B A B
При контакте тел нормальные проекции ап и ап векторов напряжений а и а меньше нуля, при выходе из контакта — они равны нулю (см. [1]). Таким образом, контактные нормальные напряжения могут быть только сжимающими.
Часть прикладных задач требует учета сил трения на контактных поверхностях. В данной работе трение учитывалось в рамках закона Амонтона—Кулона (см. [9]). Касательные контактные
напряжения а^ = аа • та (та — вектор, касательный к контактной границе соответствующего тела (a g {A, B})) вычислялись по формуле
где ц — коэффициент трения (трения скольжения).
Совокупность соотношений (1)—(6) составляет математическую формулировку контактной задачи МДТТ. Предполагается, что все функции, входящие в данную формулировку, обладают достаточной гладкостью.
Поликонтактный характер рассматриваемой задачи определяется, прежде всего, геометрическими особенностями взаимодействующих тел. Могут взаимодействовать два тела, но иметь несколько несвязных поверхностей контакта. С другой стороны, во взаимодействии может участвовать и несколько тел. Эти обстоятельства необходимо учитывать при разработке алгоритма численного решения задачи (1)—(6).
2. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ АЛЬТЕРНИРУЮЩЕГО МЕТОДА ШВАРЦА
Для численного решения поставленной задачи использован МКЭ (см. [3]—[8], [10]—[12]). Процедура его применения описана во многих указанных руководствах. В частности, использованный для данной задачи вариант МКЭ описан в [9], [10], [13].
При решении контактных задач термоупругости используют различные итерационные методы, например, метод штрафных функций, метод множителей Лагранжа, комбинированный метод штрафов и Лагранжа, метод псевдосреды, альтернирующий метод Шварца и другие (см. [2], [9], [13]). В данной работе рассматривается применение метода Шварца (одного из вариантов метода декомпозиции, см. [14, с. 412] и [15] для общего случая).
Суть данного метода состоит в следующем: на первом шаге на контактных поверхностях тел задается начальное приближение для компонент вектора перемещений (приближение выбирают из диапазона ожидаемых значений для зоны контактного взаимодействия). После решения данной задачи кинематическое условие (5) на контактной поверхности будет выполнено, но вычисленные контактные давления на противолежащих контактных поверхностях, принадлежащих взаимодействующим телам, оказываются не равными (нарушено условие (6)). На следующем шаге с помощью специальным образом выполненной коррекции добиваются равенства контактных напряжений, но полученные перемещения не удовлетворяют условию (5). Далее, на очередной итерации снова используют скорректированные кинематические условия (совмещают контактирующие поверхности). Чередование силовых и кинематических итераций выполняется до достижения сходимости, когда и кинематические условия и силовые на контакте (5) и (6) выполнены с заданной точностью. Более подробно данный метод описан в [9], [13], [16], [17]. Таким образом, альтернирующий метод Шварца является итерационным методом и его суть в рамках конечно-элементной технологии состоит в следующем. На четных итерациях выполняется коррекция компонент векторов перемещений контактных узлов {ик}(А) и {ик}(Б) тел А и В (см. фиг. 1). Для тела А корректирующие выражения имеют вид
ш^т={^С+«51 (т}2^ - ), п=12 (7)
2п-1
при задании некоторого начального перемещения, здесь а (А)т — итерационный параметр, т (1 < т < иА) — номер текущего узла, лежащего на контактной поверхности тела А, МА — количество контактных узлов на поверхности Б^, — вектор перемещения сходственной точки s, лежащей на контактной поверхности тела Б. Здес
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.