научная статья по теме ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СМЕШАННЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ВОЛНОВОДА С ВХОДЯЩИМИ РЕБРАМИ Математика

Текст научной статьи на тему «ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СМЕШАННЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ВОЛНОВОДА С ВХОДЯЩИМИ РЕБРАМИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2012, том 52, № 11, с. 2071-2079

УДК 519.934

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СМЕШАННЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ВОЛНОВОДА С ВХОДЯЩИМИ РЕБРАМИ1

© 2012 г. И. Е. Могилевский

(119991 Москва, Ленинские горы, МГУ, физич. фак-т) e-mail: mogilevsky@phys.msu.ru Поступила в редакцию 18.06.2012 г.

С помощью предложенного асимптотического представления электромагнитного поля вблизи входящего ребра в волноводе с поперечно неоднородным диэлектрическим заполнением получена оценка скорости сходимости приближенного решения, построенного методом конечных элементов, к точному решению. Фиг. 1. Библ. 23.

Ключевые слова: электромагнитное поле волновода, метод смешанных конечных элементов, оценка скорости сходимости, случай входящих ребер.

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время представляет большой интерес расчет диэлектрических волноведущих систем со сложной геометрией и неоднородным заполнением (см., например, [1]). При этом одной из весьма актуальных задач, требующих математического изучения, является задача о расчете электромагнитного поля в волноведущих системах с негладкими границами при наличии ребер и угловых точек. Подобные задачи возникают при расчете металлических радиоволноводов, по-лосковых линий, систем интегральной и волоконной оптики.

Наличие входящих углов в поперечном сечении волновода приводит к появлению особенностей в решениях краевых задач (см. [2], [3]). В частности, обобщенное решение может иметь сингулярности даже при гладкой правой части уравнений (см. [14]). В [5], [6] показано, что у неидеального волновода в решении для магнитного вектора Герца наличие ребер приводит к появлению добавочного члена, учитывающего влияние угловой линии и имеющего логарифмическую особенность на ребре. Оператор Максвелла в областях с негладкой границей исследован в [7]. Показано, что для областей с входящими ребрами оператор Максвелла на решениях класса Соболева H:(Q) симметричен, но не является самосопряженным даже для полого резонатора. В данных работах предлагается и анализируется определение оператора Максвелла в пространстве L2(Q), в котором он оказывается самосопряженным. Исследованы главные особенности решения вблизи негладких точек границы. Установлено, что описание особенностей сводится к исследованию сингулярностей энергетических решений скалярных эллиптических уравнений второго порядка.

Для построения экономичных алгоритмов расчета волноведущих систем и получения оценок точности построенных приближенных решений необходимо математическое изучение поведения точного решения в окрестности особых точек границы волновода (см. [8]). Ключевыми при этом становятся спектральные задачи теории волноводов, исследование которых проводится функционально-аналитическими методами (см. [8]—[10]). В [11], [12] построено асимптотическое представление электромагнитного поля вблизи ребра в волноводе с поперечно неоднородным диэлектрическим заполнением. Электромагнитное поле представлено в виде суммы функций, описывающих особенность вблизи ребра, и гладкой добавки, для которой получена оценка в соответствующей функциональной норме. В настоящей работе рассматривается применение метода конечных элементов к данной задаче, причем с помощью построенного асимптотического представления удается точно аппроксимировать особенность поля методом введения сингу-

1)Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 12-01-00479a).

2071

Поперечное сечение волновода.

лярных пробных функций и получить оценки скорости сходимости не хуже, чем для гладкого случая.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается металлический радиоволновод с диэлектрическим заполнением, неоднородным в поперечном сечении. Боковая поверхность считается идеально проводящей. Предпо-

-¡ш

лагается, что электромагнитное поле имеет гармоническую зависимость от времени вида е , а волновод представляет собой цилиндр Q = {(х, у) еО, г е (-да, да)}, граница области О содержит конечное число 5 угловых точек с входящими и выходящими углами произвольной величины (см. 1). Предполагается, что вне некоторой окрестности каждой угловой точки граница области О гладкая. Считается, что магнитная проницаемость внутри волновода ц = 1, а диэлектрическая проницаемость е(х, у) вещественная и имеет ограниченные первые производные. Ищутся решения однородной системы уравнений Максвелла с зависимостью от г следующего вида:

Е = УЕк(х, у)ев, Н = У Нк(х, у)ев,

^ (п - к)! ^ (п - к)!

где р — спектральный параметр задачи (1). Такое представление поля имеет физический смысл отыскания нормальных волн волновода, которые представимы через собственные и присоединенные функции приведенной ниже спектральной задачи.

При указанных условиях в [13], [14] получена спектральная задача на нахождение собственных векторов компонент поля {Н±, } и собственных значений р2:

^ и собственных значений в2,

graddiv H ± + к 2sH± + ike rotEz = р 2H

ik rot sH± + div s grad Ez = p2sEz, (x, y) e Q, (1)

Hv|go — 0 Ez Igo — 0 где использованы обозначения: v — единичный вектор внешней нормали,

H± = jxHx + jy Hy = jrHr + i <pH<p?

divH ± = H + = I д (rHr) +IdH'

dx dy rdr r 5ф

rotH± = H -H = IA H)-1H,

dx dy r dr r дф

gradE - i dE. + j dE. = j dE. + j IdE.

gradEz - jx + jy -T— - jr + jp ——

dx dy dr r 5ф

rotE = i dE-1 dE = i IdE-1 dE

lulJjz 'x . 'y - Г - V '

dy dx r дф dr

Уравнения для присоединенных векторов имеют аналогичный вид. Предполагается, что

HVL„ = 0 означает, что

(H±>V vk(O) = -(divH±, у),™ G H 1(Q).

JbiiO) V"1' Y Л2(П)

В [13], [14] рассмотрен вопрос о поиске слабых решений задачи (1) в гильбертовом пространстве:

W = H0(div) © H где Ho(div) = {H±|H± e (L2(Q))2, divH± e L2(Q), HV|SD = 0},

llHJ Ho(div) = llHJI (L^D))2 + lldivHJ 1^2(0)-С помощью слабой постановки задачи (1) на основании теоремы Лакса—Мильграма (см. [15],

[16]) показано, что данная задача порождает ограниченный оператор T : (L2(Q))3 ^ W. Основной проблемой является некомпактность оператора T, связанная с существованием бесконечно-кратного собственного значения, равного нулю, которому отвечает множество собственных векторов вида (го1ф, г'кф), где ф е HJ(Q). В [13], [14] с помощью аналога теоремы о разложении произвольного векторного поля из L2 на вихревую и потенциальную части (см. [17]) доказано, что оператор T будет компактным в подпространстве V пространства W, выделяемом дополнительным условием

rotH L = -ik&Ez,

которое понимается в смысле обобщенных функций. В этом случае спектр задачи (1), рассматриваемой в указанном пространстве V, состоит из счетного множества возрастающих по модулю собственных значений.

В [11] построено асимптотическое представление электромагнитного поля вблизи особой точки границы поперечного сечения. Там показано, что решение задачи (1) представимо в виде

5 rn-i f 1

Hx = £ £ jcos™ФУ-sin™4 +

i ю , ю ,

j=1 0<—<2 l j j ш,

Ez = £ £ C$r? sin м ф,+

j-=1 0<nn<1 Mj

ш,

(2)

где Ш(1) е (^2(Ц)) , СС— некоторые постоянные, (гу, фу), у = 1, ..., «, — полярные координаты

с центрами в угловых точках, юу — величины углов, пространство Vу'(К), введенное в [4], [18], представляет собой пространство функций с нормой

II II2 V" Г 2(у-/+у) д'+кЫ 1 1

Щк) = Ь ] Г ^УГ гйгй^,

у+к < К

где I > 0 — целое, у — любое действительное число.

drJ дф

5

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ СМЕШАННЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Одной из основных проблем, возникающих при применении метода конечных элементов для приближенного решения задачи (1), является некомпактность порождаемого ею оператора Т, рассматриваемого в качестве оператора в пространстве Ж (см. [13], [14]). Применение лагранже-вых конечных элементов приводит к появлению решений, не имеющих физического смысла, поскольку нулевое собственное значение бесконечной кратности переходит в совокупность не равных нулю собственных значений дискретной задачи, расположенных среди истинных собственных значений, и встает проблема разделения физических и нефизических решений. Метод смешанных конечных элементов позволяет точно аппроксимировать истинное собственное значение бесконечной кратности, что исключает появление нефизических решений.

Приведем кратко результаты, касающиеся аппроксимации смешанными конечными элементами вектор-функций из пространства Н(Шу) (см. [19]) применительно к нашей проблеме. Пусть область О представляет собой многоугольник, не обязательно выпуклый. Разобьем О на треугольники К1 : О = иК,. Максимальное расстояние между точками треугольника К1 обозначим

через к,, h = тах к,. Для заданного положительного k поставим в соответствие каждому треуголь-

I

нику Ki подпространство

Dk = (Д-1 )2 8 Рк-1Г±,

где Pk_1 — пространство полиномов степени к - 1, зависящих от х1, х2, г± = {х1;х2} — радиус-вектор, Рк_1 — пространство однородных полиномов степени к - 1. Рассмотрим вопрос об интерполяции функций из ЩШу,Ki) — подпространства пространства Н^^,Ki) (см. [19]), где

аду, О) = ^ е : qv е L2(дЩ.

Вводится оператор интерполяции «Х : ^^К) ^ Dk(К,). Каждой вектор-функции q± е Н^^О) ставится в соответствие функция %{к\± е (2(^))2, определяемая равенством

(х)К = «(Х) (q) ук.

ж,

В [19] доказано, что оператор интерполяции может быть определен посредством равенств

а ] («Х^ 1) = а ] ((1) ^а ],

где а у-: 1) функционалы первого рода:

| (Уд е Рк-1,

/, — ребро треугольника К1; 2) функционалы второго рода:

|(LqJdS VqJL е (Рк-2)2.

К

Следующая теорема из [19] дает оценку ошибки интерполяции «(к.

Теорема. Пусть О = иК,, тогда V к существует постоянная С, не зависящая от к, такая что

^^ - «^Л< Ск1 ^

Vq1 е (Н(П)) 1 < I < к, |div ^ ± - «^ ^ (п) < а'\\д.т Лн^

Vq Л е (Н (П)) divq Л е Н (П), 0 < I < к.

Как видно из приведенной выше теоремы, для высокого порядка аппроксимации необходима большая гладкость решения. Поэтому основная проблема, возникающая при обосновании сходимости численного решения, построенного методом конечных элементов, к точному решению при наличии входящих углов в поперечном сечении, заключается в сингулярностях вблизи угловых точек поперечного сечения О, что приводит к невозможности

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком