РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 4, с. 333-343
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 537.874.6
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ИСТОЧНИКОВ К ТОНКИМ ПЛАСТИНАМ И НЕЗАМКНУТЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ
© 2015 г. И. М. Петоев, В. А. Табатадзе, Д. Г. Какулия, Р. С. Заридзе
Тбилисский государственный университет, Грузия, 0128 Тбилиси, просп. Чавчавадзе, 3 E-mail: revaz_zaridze@mail.ru Поступила в редакцию 12.07.2013 г.
Представлены результаты исследования эффективности метода вспомогательных источников (МВИ) применительно к задачам дифракции электромагнитной волны на бесконечно тонких идеально проводящих незамкнутых поверхностях. Рассмотрены случаи плоской, гофрированной, полусферической и полуоткрытой поверхностей. Обсуждаются детали численной реализации проблемы, позволяющие определять возбужденные токи на разных сторонах незамкнутой поверхности. Приведено сравнение численных результатов, полученных при помощи МВИ и метода моментов. Показано преимущество МВИ, а также его эффективность и достоверность при моделировании подобных задач, что подтверждается сравнением некоторых численных результатов с результатами реального эксперимента.
DOI: 10.7868/S0033849415040117
ВВЕДЕНИЕ
Метод вспомогательных источников (МВИ) в целом представляет собой эффективный численный метод решения прикладных задач электродинамики. С его помощью оказывается возможным решить множество задач дифракции и рассеяния волн, когда рассеиватель ограничен замкнутой поверхностью [1—5]. Как известно, в МВИ рассеянное поле вне рассеивателя определяется вспомогательными источниками, находящимися внутри объекта, а внутреннее поле (например, в случае диэлектрика) представляется источниками, расположенными на внешней вспомогательной поверхности. В случае незамкнутой поверхности на первый взгляд возможности МВИ ограничены, так как неясно, где можно разместить вспомогательные источники и каким образом следует разделить пространство на внутреннюю и внешнюю области. Для такой поверхности оказывается невозможным расположить вспомогательную поверхность внутри нее. В этом случае МВИ сводится к методу интегральных уравнений (МИУ) или, в лучшем случае, к методу моментов (ММ) [6].
В данной статье рассматривается возможность развития МВИ для эффективного решения электродинамических задач также и в случае трехмерных незамкнутых поверхностей. Для того чтобы применить МВИ согласно предлагаемому алгоритму, рассматриваемую незамкнутую поверхность следует мысленно продолжить на определенное расстояние воображаемой поверхностью, имеющей свойства свободного пространства. При этом касательная плоскость должна непрерывно пере-
ходить из точек действительной поверхности к точкам воображаемой. Далее, по обе стороны от получившейся продолженной поверхности строятся повторяющие ее геометрию вспомогательные поверхности, с равномерным распределением вспомогательных источников (рис. 1). Однако прежде чем искать рассеянное поле, необходимо указать, в каких точках пространства оно определяется нижними вспомогательными источниками, а в каких верхними, так как при использовании МВИ категорически недопустомо размещение вспомогательных источников в области описываемого ими поля. Согласно предлагаемому методу делящая пространство воображаемая поверхность проходит через исследуемую пластину и является продолжением ее геометрии. В случае полуоткрытой поверхности, например полусферической формы, в результате такого продолжения получается замкнутая поверхность, (рис. 2а, 2б). Тогда, очевидно, мы имеем внутреннюю и внешнюю области пространства. В тех случаях, когда воображаемая поверхность не замыкается (например, в случае параболической пластины), ее следует продолжить по направлению к бесконечности. Таким образом, поле в верхней части I пространства будет представляться в виде суммы падающего поля и поля нижних вспомогательных источников, поле в нижней части II пространства — в виде суммы падающего поля и поля верхних вспомогательных источников. В случае, когда воображаемая поверхность не замыкается, возникает новый параметр — размер той ее части, где требуется удовлетворение граничных условий. Это влияет на сходимость результатов и на точность
Рис. 1. Виды рассматриваемых проводящих пластин: а — плоская пластина, б — сферическая пластина, в — гофрированная пластина; 1 — идеальный проводник, 2 — свободное пространство, 3 — вспомогательная поверхность, 4 — удаление, I и II — верхняя и нижняя части пространства.
(а)
г
(б)
(в)
Рис. 2. Применение МВИ к незамкнутой проводящей поверхности: а — незамкнутая поверхность, б — продолженная замкнутая поверхность, в — построение вспомогательных поверхностей.
г
У
х
У
х
производимых численных расчетов. Неизвестные амплитуды вспомогательных источников, как обычно, находятся удовлетворением соответствующих граничных условий на проводящей пластине и на воображаемой поверхности, где сшиваются электрические и магнитные поля. После этого рассеянное поле может быть найдено как вокруг пластины, так и на ней. Преимуществом такого подхода является возможность в случае резонан-сов различать токи, возбужденные на разных сторонах незамкнутой поверхности через касательные составляющие магнитного поля. Также оказывается возможным находить резонансные поля и резонансные частоты.
1. КРАТКИЙ ОБЗОР МЕТОДА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Многие задачи математической физики связаны с решением линейных неоднородных дифференциальных уравнений с частными производными:
Ь/ (х) = я (х), (1)
где Ь — линейный дифференциальный оператор, Я (х) — заданная функция. Физически такая задача соответствует нахождению некоторого физического поля / (х) по заданному распределению Я (х) его источников. Решение уравнения (1) в общем виде может быть выражено через соответствующую функцию Грина, удовлетворяющую уравнению
ЬО (х, у) = 8 (х, у), (2)
где 8 — дельта-функция. Функция Грина О (х, у) по своему физическому смыслу есть поле, создаваемое единичным точечным источником поля / (х). Решение уравнения (1) записывается в виде
/ (х) = | О (х, у) я (у)йу, (3)
(Г)
где (Г) — область распределения источников поля.
В ряде задач электродинамики, гидроаэродинамики, теории упругости и др. неизвестным является прежде всего само распределение ^(х)-источников. Это неизвестное распределение может возникать,
в частности, в результате некоторого известного ф(х)-воздействия. Сказанное относится, например, к задачам дифракции и рассеяния электромагнитных или акустических волн на различных объектах. Здесь ф (х) имеет смысл падающего поля. При этом задача решается следующим образом: записываем выражение неизвестного поля / (х) в виде (3), допуская распределение g (у) известным:
/ (х) = | О (х, у) g (у)/у. (4)
(Г)
В данном случае Г — замкнутая поверхность рассматриваемого объекта. После этого пишется соответствующее граничное условие, которому должно удовлетворять поле / (х) на поверхности Г:
V (/(х) + ф (х)) = 0,
(5)
где V — оператор граничного условия. Подставляя (4) в (5), получаем относительно неизвестного распределения g(у) интегральное уравнение
(6)
| &О (х, y)g (у) с/у = -& Ф (х)
еГ *
хеГ
/ (х) « X а„О (х, у„),
п=1
представляет собой рассеянное поле, является аналитической и ее можно аналитически продолжить от гладкой поверхности Г внутрь. Это дает право сместить поверхность точек уп на некоторое расстояние d от поверхности Г. Таким образом, можно рассматривать ряд
N
/ (х) ~ X апО (х, у„ + /).
(7)
п=1
Смещение "параметра регуляризации" d обеспечивает гладкость функции / (х) на поверхности Г. Для нахождения неизвестных коэффициентов разложения ап можно применить метод коллока-ции. Для этого подставим ряд (7) в выражение для граничного условия
N
X а„ЖО (, у„ + /) =-& ф (х )|
1хеГ
п=1
Записав это условие для N различных точек поверхности, получим относительно коэффициентов ап систему линейных алгебраических уравнений
N
Функция Грина вдоль поверхности Г имеет особенность, в результате чего уравнение (6) является сингулярным.
Чтобы избежать эту сингулярность, ММ предлагает заменить интеграл в левой части (6) суммой по дискретному числу точечных источников, а граничное условие писать в промежуточных точках, не содержащих сингулярности. Однако при таком подходе граничные условия в некоторых точках на поверхности не выполняются, а это сказывается на погрешности полученного численного решения.
В.Д. Купрадзе в 1967 г. предложил более эффективный метод решения проблемы сингулярности рассеянного поля [1], который позднее и был назван МВИ. Применение МВИ дает высокую сходимость результатов и малую погрешность. Для того чтобы вкратце изложить суть данного метода, рассмотрим для функции / (х) следующий приближенный ряд:
N
Xап&О(ут,уп + /)\ еГ = -#ф(ут)|
п=1
т = 1,2,..., N.
ут^Г '
(8)
где введено обозначение ап = g (уп) /уп. Этот ряд представляет собой разложение функции / (х) по функциям Грина для различных аргументов уп. Увеличение количества членов ряда приближает его к функции / (х). Совокупность функций Грина для различных аргументов О (х, уп) образует полную линейно независимую систему функций [7]. Купрадзе доказал, что функция / (х), которая
Эта система уравнений не имеет сингулярностей, так как аргумент функции Грина нигде на поверхности не обращается в нуль.
Как известно, выбор вспомогательных поверхностей и их удаление от реальной поверхности тела следует осуществить с учетом особенностей внешнего рассеянного и внутреннего полей [2, 8—12]. Вспомогательные поверхности должны охватывать особенности аналитического продолжения волнового поля внутрь и вне диэлектрического тела. Это минимизирует время и погрешность численных расчетов, особенно в случае трехмерных задач при резонансных частотах.
Подробные исследования особенностей внутренних (включая собственных) полей, проведенные для случая замкнутых и незамкнутых выпукло-вогнутых поверхностей показали, что эти особенности формируются только поверхностью тела и расположены во внешней области или вдоль края поверхности тела [8, 13—15]. При этом радиус кривизны вогн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.