научная статья по теме ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ГИПЕРЗВУКА В ФЕРРИТОВОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ ФЕРРОМАГНИТНОМ РЕЗОНАНСЕ. ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ГИПЕРЗВУКА В ФЕРРИТОВОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ ФЕРРОМАГНИТНОМ РЕЗОНАНСЕ. ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 1, с. 79-91

РАДИОФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ И ПЛАЗМЕ

УДК 537.874;537.624

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ГИПЕРЗВУКА В ФЕРРИТОВОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ ФЕРРОМАГНИТНОМ РЕЗОНАНСЕ.

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ © 2015 г. В. С. Власов1, А. П. Иванов1, В. Г. Шавров2, В. И. Щеглов2

Сыктывкарский государственный университет, Российская Федерация, 167001 Сыктывкар, Октябрьский просп., 55 2Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 125009 Москва, ул. Моховая, 11, корп. 7 Поступила в редакцию 13.03.2014 г.

В применении к задаче анализа работы магнитострикционного преобразователя СВЧ диапазона рассмотрено возбуждение гиперзвуковых колебаний переменным магнитным полем в геометрии нормально намагниченной ферритовой пластины. Рассмотрено квадратичное приближение по намагниченности с учетом кругового характера прецессии, в результате чего полная система, содержащая семь уравнений первого порядка и четыре граничных условия, сведена к квадрированной системе четырех уравнений первого порядка без граничных условий, соответствующей модели двух связанных осцилляторов с кубической нелинейностью. Показано, что приближение, обеспечиваемое квадрированной системой на уровне 20%, сохраняет корректность вплоть до значений переменного поля, составляющих 0.4 от намагниченности насыщения, что соответствует углам прецессии вектора намагниченности до 40°.

Б01: 10.7868/80033849415010118

ВВЕДЕНИЕ

Задача возбуждения ультразвуковых колебаний с помощью магнитострикционных преобразователей издавна привлекает внимание исследователей [1—8]. Наряду с традиционными областями применения (гидроакустикой, дефектоскопией, ультразвуковой техникой), особый интерес представляет использование таких преобразователей для целей акустоэлектроники в диапазоне СВЧ

(/ ~ 109... 1011 Гц), где высокая механическая добротность ферритовых резонаторов (до 107 при использовании железоиттриевого граната (ЖИГ) позволяет создать высокоэффективные устройства обработки информации [9, 10]. Важнейшей задачей здесь является создание достаточно эффективного излучателя гиперзвука, определенным препятствием к чему может явиться нелинейное параметрическое возбуждение обменных спиновых волн, создающее значительные потери уже при уровне возбуждения порядка 1 мВт [11—13].

Однако в работах [14—18] было показано, что параметрический распад можно предотвратить путем выбора надлежащей геометрии преобразователя. Оптимальной геометрией является нормально намагниченная тонкая пластина, низшая частота ферромагнитного резонанса (ФМР) которой совпадает с "дном" спектра обменных спино-

вых волн. Отсутствие параметрического распада в такой геометрии позволило в экспериментах достичь углов прецессии вектора намагниченности до 10...20 град и более [16—18], что открывает в задаче возбуждения мощного гиперзвука немалые перспективы.

Теоретически задача возбуждения гиперзвука с помощью магнитоакустического преобразователя на нормально намагниченном ферритовом диске в линейном режиме была рассмотрена в работах [9, 10, 19]. В работе [20] было показано, что нелинейный режим позволяет повысить уровень возбуждения гиперзвука почти на два порядка. Однако использованный там математический аппарат отличается громоздкостью и при численной реализации сопряжен с большими затратами машинного времени.

Такое положение в сочетании с потребностями практики ставит вопрос о создании более простого математического аппарата, позволяющего в адекватной степени решать те же задачи с точностью, достаточной для практического применения.

В работах [21, 22] такой аппарат для расчета возбуждения гиперзвука с помощью магнито-стрикционного преобразователя был создан на основе модели связанных осцилляторов в линейном [21] и квадратичном [22] приближении. Однако рассмотренные там примеры ограничены

Основная система уравнений движения для нормированных компонент намагниченности

тхул имеет вид [20]

дтх

х [(ту +

1 + а2

атхтг)Нг - (тг - атутх)Ну -- а (ту + т^ )) ],

(1)

Рис. 1. Геометрия задачи. На вставке — схема кристаллографической ячейки.

довольно жесткими резонансными условиями и не отражают сильно нелинейный режим возбуждения, сопровождающийся явлениями автомодуляционного характера.

Данная работа посвящена дальнейшему развитию модели связанных осцилляторов на основе квадратичного приближения с целью расширения возможностей его использования в более широком частотном диапазоне при более высоком уровне нелинейности.

Работа состоит из двух частей. В представленной первой части приводится вывод и краткий анализ системы связанных уравнений в квадратичном приближении, включающей как частный случай линейное приближение. Во второй части развитый аппарат применяется к исследованию ряда нелинейных задач, касающихся возбуждения гиперзвука с помощью магнитострикцион-ного преобразователя.

1. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Геометрия задачи, совпадающая с принятой в [20—22], показана на рис. 1. В ее основе лежит плоскопараллельная пластина толщиной ё, обладающая магнитными, упругими и магнитоупру-гими свойствами. Материал пластины имеет кубическую кристаллографическую симметрию, плоскость (100) которой совпадает с плоскостью пластины.

Внешнее постоянное магнитное поле Н0 приложено перпендикулярно плоскости пластины,

переменное магнитное поле Н действует в плоскости пластины. Задача решается в декартовой системе координат Oхyz, плоскость Оху которой совпадает с плоскостью пластины, а оси Ох , Оу и Oz параллельны ребрам куба кристаллографической ячейки. Центр системы координат О находится в центре пластины, так что ее плоскости соответствуют координатам г = ± d| 2.

где у — гиромагнитная постоянная, а — параметр затухания Гильберта, уравнения для ту, z получаются циклической перестановкой х, у, z. Входящие в эти уравнения эффективные поля

Нх, z имеют вид:

Нх - Нх + нах-

Ну = ку + нау;

(2)

(3)

(4)

— компо-

Н1 = Н0 - 4пМ0тг + Нг, где Н0 — внешнее постоянное поле, Нхуу ненты внешнего переменного поля, М0 — намагниченность насыщения материала пластины, а выражения для компонент полей Нахауа1 аналогичны приведенным в работе [20]:

и 2К0 2К1 (

Нах =--0 тх--1 тх (т

М0 х м х\

М 0

(( + т2) -

тхт1т2 тх^-2х х (5)

м0 угм

2В, дих

—1 тх —х дх

В2

/дих

ту ——

V ду дх у

0

+ т.

М 0

диг + <К .дх дг .

причем Нау и Н~аг получаются из (5) циклической перестановкой х, у, z. Здесь К012 — константы одноосной и кубической анизотропии, В12 — константы магнитоупругого взаимодействия, иху,л — компоненты упругого смещения.

Уравнения для компонент упругого смещения их у имеют вид [20]

д\ у = _ 2 вд их, у

Р 5 I

с 44 д иху у;

5 /

граничные условия:

дих

Р дг

с

44

д г

= В2 ymz,

(6)

(7)

г = ±d/2

где в — параметр затухания, с44 — константа упругости, р — плотность материала пластины.

Таким образом, здесь имеются три уравнения первого порядка для компонент намагниченности и два уравнения второго порядка для компонент упругого смещения, что эквивалентно системе из семи уравнений первого порядка. Анализ развития колебаний в такой системе методом фазового пространства [23—25] требует нахождения координат особых точек, что сводится к решению линейного алгебраического уравнения седьмой степени. Сложность решения такой за-

У

х

у

дачи стимулирует поиск возможностей ее упрощения, некоторые из которых рассматриваются далее.

2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И УКОРОЧЕННЫЕ ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ

Аналогично [21, 22], примем следующие упрощающие предположения — анизотропия отсутствует: К0 = 0, К1 = 0, Н2 = 0; продольные упругие волны отсутствуют: В1 = 0; упругие смещения вдоль оси Оу отсутствуют: иу = 0; упругие волны распространяются только вдоль оси Ог: дих/дх = 0, дих/ду = 0.

Для упрощения записи введем обозначение

Нр = н0 - 4пМ0.

(8)

При этом эффективные поля (2)—(4) принимают вид

Нх = Кх - т М0

нг = к,

дих д7

Н, = Н„ + 4пМ0 - 4пМ0т7 - ^ тх^.

М0 х д,

(9) (10) (11)

3. КВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Условие сохранения длины вектора намагниченности требует выполнения соотношения [26, 27]:

2 2, тх + ту

2

+ т, = 1,

(12)

В эти выражения входит производная от упругого смещения по координате дих / д,. Согласно работе [20] (формула (62)), эта производная имеет вид

д и

В 2

х 2

—х =--2 тхт7 + - V,

д 7 с 7 Л

и7 С44 и

(17)

где V. — функция, удовлетворяющая уравнению (формула (53) из [20]):

д2у д/

+ 2 р

д I

2

+

С 44 п

рЛ

2

=

4В2иг ^

(18)

2

С44 п

д д — ( тхт7) + 2 р — ( тхт,)

|-д г

д Г

Поскольку функция V. представляет собой решение краевой задачи, редуцированное к случаю первой упругой моды [20], далее будем называть ее "редуцированной функцией упругого смещения" или просто "редуцированным упругим смещением". При этом полная х-компонента упругого смещения имеет вид (формула (51) в [19])

В2 ■ I п

их =--тхт,7 + Vx81пI -7

44

(19)

на поверхностях пластины при г = ±й/2 равна В и

*х8 = ±1 - Т"2- тхт7 + V 2 С44

(20)

С учетом квадратичного приближения (13) производная (17) принимает вид

откуда, полагая тх у < 1 и разлагая тг в ряд Тейлора в окрестности единицы с точностью до второй степени по тх и ту, получаем

,12 12

т7 = 1 — тх — т.,.

7 2 х 2 у

(13)

ТТ 1 I В2 В2 2 В2 2 1 дих Н = к +--2 + —ту +—^ т ' х

М0 2М0

Ну = Ку.;

2М0

д7

Hz = Нр + 2пМ0тх + 2пМ0ту -

В, д их --- тх —2х.

М0 х д 7

(14)

(15)

(16)

ди

д 7

В

2

=--тх +

С44

В

22с

2 3

тх +

44

--В-2-2с

22 тхту + - V,

ху

44

и

Вводя вспомогательные обозначения: Ь0 = 2 пМ0;

4. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ В КВАДРАТИЧНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Подставляя (13) в (9)—(11) и оставляя члены не выше второй степени по намагниченности, получаем эффективные поля в виде

Ь1 =

В22

М0 С44

Ь2 =

--В2--М0 и

(21)

(22)

(23)

(24)

и подставляя (21) в (14)—(16), получаем эффективные поля в виде:

Нх = Кх + Ьт - Ьт - Ьтт -- 2ЬтУх + ЬттУх + ^т^;

Ну = Ку,

Н = Нр + (Ь + Ь1 )т2 + ^т] - 2ЬхmxVx

(25)

(26) (27)

5. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НАМАГНИЧЕННОСТИ В КВАДРАТИЧНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Подставим (25)—(27) в (1), а также учтем, что при реальных параметр

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком