РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 1, с. 79-91
РАДИОФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ И ПЛАЗМЕ
УДК 537.874;537.624
ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ГИПЕРЗВУКА В ФЕРРИТОВОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ ФЕРРОМАГНИТНОМ РЕЗОНАНСЕ.
ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ © 2015 г. В. С. Власов1, А. П. Иванов1, В. Г. Шавров2, В. И. Щеглов2
Сыктывкарский государственный университет, Российская Федерация, 167001 Сыктывкар, Октябрьский просп., 55 2Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 125009 Москва, ул. Моховая, 11, корп. 7 Поступила в редакцию 13.03.2014 г.
В применении к задаче анализа работы магнитострикционного преобразователя СВЧ диапазона рассмотрено возбуждение гиперзвуковых колебаний переменным магнитным полем в геометрии нормально намагниченной ферритовой пластины. Рассмотрено квадратичное приближение по намагниченности с учетом кругового характера прецессии, в результате чего полная система, содержащая семь уравнений первого порядка и четыре граничных условия, сведена к квадрированной системе четырех уравнений первого порядка без граничных условий, соответствующей модели двух связанных осцилляторов с кубической нелинейностью. Показано, что приближение, обеспечиваемое квадрированной системой на уровне 20%, сохраняет корректность вплоть до значений переменного поля, составляющих 0.4 от намагниченности насыщения, что соответствует углам прецессии вектора намагниченности до 40°.
Б01: 10.7868/80033849415010118
ВВЕДЕНИЕ
Задача возбуждения ультразвуковых колебаний с помощью магнитострикционных преобразователей издавна привлекает внимание исследователей [1—8]. Наряду с традиционными областями применения (гидроакустикой, дефектоскопией, ультразвуковой техникой), особый интерес представляет использование таких преобразователей для целей акустоэлектроники в диапазоне СВЧ
(/ ~ 109... 1011 Гц), где высокая механическая добротность ферритовых резонаторов (до 107 при использовании железоиттриевого граната (ЖИГ) позволяет создать высокоэффективные устройства обработки информации [9, 10]. Важнейшей задачей здесь является создание достаточно эффективного излучателя гиперзвука, определенным препятствием к чему может явиться нелинейное параметрическое возбуждение обменных спиновых волн, создающее значительные потери уже при уровне возбуждения порядка 1 мВт [11—13].
Однако в работах [14—18] было показано, что параметрический распад можно предотвратить путем выбора надлежащей геометрии преобразователя. Оптимальной геометрией является нормально намагниченная тонкая пластина, низшая частота ферромагнитного резонанса (ФМР) которой совпадает с "дном" спектра обменных спино-
вых волн. Отсутствие параметрического распада в такой геометрии позволило в экспериментах достичь углов прецессии вектора намагниченности до 10...20 град и более [16—18], что открывает в задаче возбуждения мощного гиперзвука немалые перспективы.
Теоретически задача возбуждения гиперзвука с помощью магнитоакустического преобразователя на нормально намагниченном ферритовом диске в линейном режиме была рассмотрена в работах [9, 10, 19]. В работе [20] было показано, что нелинейный режим позволяет повысить уровень возбуждения гиперзвука почти на два порядка. Однако использованный там математический аппарат отличается громоздкостью и при численной реализации сопряжен с большими затратами машинного времени.
Такое положение в сочетании с потребностями практики ставит вопрос о создании более простого математического аппарата, позволяющего в адекватной степени решать те же задачи с точностью, достаточной для практического применения.
В работах [21, 22] такой аппарат для расчета возбуждения гиперзвука с помощью магнито-стрикционного преобразователя был создан на основе модели связанных осцилляторов в линейном [21] и квадратичном [22] приближении. Однако рассмотренные там примеры ограничены
Основная система уравнений движения для нормированных компонент намагниченности
тхул имеет вид [20]
дтх
х [(ту +
1 + а2
атхтг)Нг - (тг - атутх)Ну -- а (ту + т^ )) ],
(1)
Рис. 1. Геометрия задачи. На вставке — схема кристаллографической ячейки.
довольно жесткими резонансными условиями и не отражают сильно нелинейный режим возбуждения, сопровождающийся явлениями автомодуляционного характера.
Данная работа посвящена дальнейшему развитию модели связанных осцилляторов на основе квадратичного приближения с целью расширения возможностей его использования в более широком частотном диапазоне при более высоком уровне нелинейности.
Работа состоит из двух частей. В представленной первой части приводится вывод и краткий анализ системы связанных уравнений в квадратичном приближении, включающей как частный случай линейное приближение. Во второй части развитый аппарат применяется к исследованию ряда нелинейных задач, касающихся возбуждения гиперзвука с помощью магнитострикцион-ного преобразователя.
1. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Геометрия задачи, совпадающая с принятой в [20—22], показана на рис. 1. В ее основе лежит плоскопараллельная пластина толщиной ё, обладающая магнитными, упругими и магнитоупру-гими свойствами. Материал пластины имеет кубическую кристаллографическую симметрию, плоскость (100) которой совпадает с плоскостью пластины.
Внешнее постоянное магнитное поле Н0 приложено перпендикулярно плоскости пластины,
переменное магнитное поле Н действует в плоскости пластины. Задача решается в декартовой системе координат Oхyz, плоскость Оху которой совпадает с плоскостью пластины, а оси Ох , Оу и Oz параллельны ребрам куба кристаллографической ячейки. Центр системы координат О находится в центре пластины, так что ее плоскости соответствуют координатам г = ± d| 2.
где у — гиромагнитная постоянная, а — параметр затухания Гильберта, уравнения для ту, z получаются циклической перестановкой х, у, z. Входящие в эти уравнения эффективные поля
Нх, z имеют вид:
Нх - Нх + нах-
Ну = ку + нау;
(2)
(3)
(4)
— компо-
Н1 = Н0 - 4пМ0тг + Нг, где Н0 — внешнее постоянное поле, Нхуу ненты внешнего переменного поля, М0 — намагниченность насыщения материала пластины, а выражения для компонент полей Нахауа1 аналогичны приведенным в работе [20]:
и 2К0 2К1 (
Нах =--0 тх--1 тх (т
М0 х м х\
М 0
(( + т2) -
2К
тхт1т2 тх^-2х х (5)
м0 угм
2В, дих
—1 тх —х дх
В2
/дих
ту ——
V ду дх у
0
+ т.
М 0
диг + <К .дх дг .
причем Нау и Н~аг получаются из (5) циклической перестановкой х, у, z. Здесь К012 — константы одноосной и кубической анизотропии, В12 — константы магнитоупругого взаимодействия, иху,л — компоненты упругого смещения.
Уравнения для компонент упругого смещения их у имеют вид [20]
д\ у = _ 2 вд их, у
Р 5 I
с 44 д иху у;
5 /
граничные условия:
дих
Р дг
с
44
д г
= В2 ymz,
(6)
(7)
г = ±d/2
где в — параметр затухания, с44 — константа упругости, р — плотность материала пластины.
Таким образом, здесь имеются три уравнения первого порядка для компонент намагниченности и два уравнения второго порядка для компонент упругого смещения, что эквивалентно системе из семи уравнений первого порядка. Анализ развития колебаний в такой системе методом фазового пространства [23—25] требует нахождения координат особых точек, что сводится к решению линейного алгебраического уравнения седьмой степени. Сложность решения такой за-
У
х
у
дачи стимулирует поиск возможностей ее упрощения, некоторые из которых рассматриваются далее.
2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И УКОРОЧЕННЫЕ ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ
Аналогично [21, 22], примем следующие упрощающие предположения — анизотропия отсутствует: К0 = 0, К1 = 0, Н2 = 0; продольные упругие волны отсутствуют: В1 = 0; упругие смещения вдоль оси Оу отсутствуют: иу = 0; упругие волны распространяются только вдоль оси Ог: дих/дх = 0, дих/ду = 0.
Для упрощения записи введем обозначение
Нр = н0 - 4пМ0.
(8)
При этом эффективные поля (2)—(4) принимают вид
Нх = Кх - т М0
нг = к,
дих д7
Н, = Н„ + 4пМ0 - 4пМ0т7 - ^ тх^.
М0 х д,
(9) (10) (11)
3. КВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Условие сохранения длины вектора намагниченности требует выполнения соотношения [26, 27]:
2 2, тх + ту
2
+ т, = 1,
(12)
В эти выражения входит производная от упругого смещения по координате дих / д,. Согласно работе [20] (формула (62)), эта производная имеет вид
д и
В 2
х 2
—х =--2 тхт7 + - V,
д 7 с 7 Л
и7 С44 и
(17)
где V. — функция, удовлетворяющая уравнению (формула (53) из [20]):
д2у д/
+ 2 р
д I
2
+
С 44 п
рЛ
2
=
4В2иг ^
(18)
2
С44 п
д д — ( тхт7) + 2 р — ( тхт,)
|-д г
д Г
Поскольку функция V. представляет собой решение краевой задачи, редуцированное к случаю первой упругой моды [20], далее будем называть ее "редуцированной функцией упругого смещения" или просто "редуцированным упругим смещением". При этом полная х-компонента упругого смещения имеет вид (формула (51) в [19])
В2 ■ I п
их =--тхт,7 + Vx81пI -7
44
(19)
на поверхностях пластины при г = ±й/2 равна В и
*х8 = ±1 - Т"2- тхт7 + V 2 С44
(20)
С учетом квадратичного приближения (13) производная (17) принимает вид
откуда, полагая тх у < 1 и разлагая тг в ряд Тейлора в окрестности единицы с точностью до второй степени по тх и ту, получаем
,12 12
т7 = 1 — тх — т.,.
7 2 х 2 у
(13)
ТТ 1 I В2 В2 2 В2 2 1 дих Н = к +--2 + —ту +—^ т ' х
М0 2М0
Ну = Ку.;
2М0
д7
Hz = Нр + 2пМ0тх + 2пМ0ту -
В, д их --- тх —2х.
М0 х д 7
(14)
(15)
(16)
ди
д 7
В
2
=--тх +
С44
В
22с
2 3
тх +
44
--В-2-2с
22 тхту + - V,
ху
44
и
Вводя вспомогательные обозначения: Ь0 = 2 пМ0;
4. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ В КВАДРАТИЧНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Подставляя (13) в (9)—(11) и оставляя члены не выше второй степени по намагниченности, получаем эффективные поля в виде
Ь1 =
В22
М0 С44
Ь2 =
--В2--М0 и
(21)
(22)
(23)
(24)
и подставляя (21) в (14)—(16), получаем эффективные поля в виде:
Нх = Кх + Ьт - Ьт - Ьтт -- 2ЬтУх + ЬттУх + ^т^;
Ну = Ку,
Н = Нр + (Ь + Ь1 )т2 + ^т] - 2ЬхmxVx
(25)
(26) (27)
5. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НАМАГНИЧЕННОСТИ В КВАДРАТИЧНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Подставим (25)—(27) в (1), а также учтем, что при реальных параметр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.