РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2010, том 55, № 8, с. 901-914
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ^^^^^^^^ РАДИОВОЛН
УДК: 621.371.333;537.874.6
ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА НУЛЕВОГО ПОЛЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА РЕШЕТКЕ ИЗ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ © 2010 г. А. Г. Кюркчан, С. А. Маненков, В. И. Смирнов
Поступила в редакцию 05.11.2009 г.
При помощи модифицированного метода нулевого поля решена трехмерная задача рассеяния на решетке, состоящей из соосных импедансных тел вращения. Выведена система интегральных уравнений, и получены численные результаты для скалярной и векторной постановок задачи.
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе рассмотрена дифракция плоской электромагнитной волны на трехмерной решетке, состоящей из импедансных тел вращения, расположенных на одной оси. Для решения задачи использован модифицированный метод нулевого поля (ММНП), предложенный и успешно апробированный в работах [1—4]. Метод нулевого поля (МНП), часто называемый в литературе методом Т-матриц (что неверно [1—4]), впервые предложен Уотерменом [5] (см. также [6]). В основе этого метода лежит некоторое соотношение (см. ниже), выполняющееся всюду внутри рассеивателя. Требование выполнения этого соотношения на некоторой замкнутой поверхности внутри рассеивателя позволяет свести краевую задачу дифракции к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с гладким ядром. В работах [1—4] показано, что интегральное уравнение МНП имеет решение, соответствующее краевой задаче, лишь в том и только в том случае, если поверхность (обозначаемая в этих работах буквой 2), на которой поставлено условие нулевого поля, охватывает множество особенностей аналитического продолжения дифракционного поля внутрь рассеивателя. Кроме того, в работах [1—4] показано, что для получения наиболее быстродействующих и устойчивых алгоритмов эту поверхность £ целесообразно строить при помощи аналитической деформации границы рассеивателя [7].
Отметим также, что в рассматриваемой ниже задаче рассеяния волн на периодической решетке используется периодическая функция Грина (ФГ), вычисление которой представляет определенные трудности. Эту функцию рассчитывали двумя способами. В случае большого расстояния (вдоль координаты, перпендикулярной оси решетки) между точкой источника и точкой наблюдения ФГ разлагалась в ряд, получаемый при помощи формулы Пуассона. В случае, когда указанное расстояние мало, можно использовать разложение ФГ в ряд по сферическим гармоникам. Коэффициенты этого ряда представляют собой однократные интегралы, зависящие только от параметров решетки, но не от
геометрии ее элементов. Для вывода коэффициентов указанного ряда использована методика, аналогичная подходу, предложенному в работе [8], но модифицированному для трехмерного случая. Преимущество данного метода расчета ФГ решетки состоит в том, что указанные интегралы могут быть вычислены заранее, т.е. до вычисления матричных элементов алгебраической системы, к которой сводится исходная краевая задача.
1. СКАЛЯРНАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ НА РЕШЕТКЕ
Рассмотрим решетку, составленную из одинаковых соосных импедансных тел вращения. Считаем, что решетка имеет период d. Введем цилиндрическую систему координат, причем ось z направим вдоль оси решетки (см. рис. 1). Обозначим через S0 поверхность центрального элемента решетки. Считаем, что структура облучается плоской волной:
u0 = exp(—kr(sin 0 0sin 0 cos ф + cos 0 0cos 0)), (1)
где (r, 0, ф) — сферические координаты, к—волновое число, 0 0 — угол падения волны (в силу осевой симметрии геометрии задачи предполагаем, что ф0 = 0).
Дифракционное поле u\p, ф, z) вне решетки удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца:
A u1 + к 2u1 = 0. (2)
Кроме того, вторичное поле удовлетворяет условиям периодичности Флоке по оси z:
ul(p, ф, z + d) = u\p, ф, z)exp(—K), (3)
где к = kdcos00 — параметр Флоке, (р,ф,z) — цилиндрические координаты. На бесконечности вторичное поле удовлетворяет условию излучения:
_ т
u\p,ф,z) ~ Jexp(ta / 4) X А(ф)exPi-vE^z),
V" s = Vv sp (4)
p ^ ,
Рис. 1. Геометрия задачи.
где w s
к + 2ns
d '
Jk
2 2 - Ws,
причем знак квад-
rydu
u = Z—,
дп
(5)
где п — нормаль, внешняя к поверхности тела, 2 — импеданс.
Будем решать поставленную задачу при помощи ММНП. Для этого представим вторичное поле в виде
uiñ = JV(r)
G(r,г') - Z
дв(Г, г') дп
ds',
(6)
. du
где J = - к— — неизвестный ток на £0. При этом мы дп
учли краевое условие на поверхности элементов решетки. В формуле (6) функция О представляет собой периодическую функцию Грина, которая имеет вид [9]
G(r,г) = £ G0(^s)exp(-/sK),
(7)
где
G0(Rs) =
exp(-ikRs)
4п kRs
Rs = Vp2 + p'2- 2pp'cosy + (z - z'- sd)2, y = ф - ф'.
(8)
Таким образом, рассеянное поле в виде (6) удовлетворяет условиям периодичности Флоке.
Зададим далее поверхность S0 в сферической системе координат:
х = rsin0cosф, y = rsin0sinф, z = rcos0, (9)
где r = r(0). Вспомогательную поверхность £ 0, на которой поставлено условие нулевого поля, будем строить, как уже отмечалось, при помощи аналитической деформации поверхности S0. При этом имеют место уравнения [1—4, 7]
х = r2sin02cosф, y = r2 sin02sinф, z = r2 cos02,(10) где
9Z = arg5(т), rz = |^(x), £,(т) = r(x + z'5)exp(z'x - 5), т e [0,п].
(11)
ратного корня выбираем из условия неположительности его мнимой части. На поверхности каждого элемента решетки выполнено импеданс-ное краевое условие для полного поля:
В формулах (11) 8 — положительный параметр, отвечающий за степень деформации контура осевого сечения тела. Выбор параметра 8 подробно описан в работах [1—4, 7].
В силу периодичности рассматриваемой структуры и падающего поля задача сводится к определению неизвестного тока только на поверхности центрального элемента решетки. Как известно [6], интеграл, стоящий в правой части равенства (б), равен с отрицательным знаком первичному полю в любой точке внутри поверхности S0. В соответ-
S
'У J
s = -O
ствии с ММНП потребуем, чтобы выполнялось следующее равенство:
J J(r )
G(r, r) - Z
dGir, f ) dn
ds = -u\f), r e S0. (12)
Jit,y) = X 7™(0ехР(™ф),
(13)
где
s _ V"1 fexp(-ik/^ - isK - imy)
Sm = 2П X J
dv. (15)
2п ^
5 = -ад 0
В результате подстановки формул (13) и (14) в уравнение (12) получим бесконечную систему одномерных интегральных уравнений 1-го рода относительно неизвестных гармоник тока:
jKm(T,t)Im(t)dt = BJj),
m = 0, ± 1, ±2,..., т е [0,п].
(16)
Здесь
Km(T,t) = ^lip(smiT,t) - z), Bm(T ) = -imJm(kp sin 8 0)exp(-ik cos 8 0z),
(17)
где x :
■■JÂî)
+ r ' (t) и Jm(x) — функция Бесселя.
Предполагаем, что окружающее решетку пространство заполнено изотропной и однородной средой так, что рассеянное поле вне решетки удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла:
Таким образом, имеем интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода относительно неизвестного тока на поверхности центрального элемента решетки. Как отмечено выше, это уравнение разрешимо лишь при условии, что поверхность Е 0 охватывает множество особенностей аналитического продолжения дифракционного поля внутрь S0.
Учтем осевую симметрию задачи. Разложим неизвестный ток в ряд Фурье:
V х Ё1 = - ikçH1, V х H1 = —Ё1,
(19)
где 1т(р) — неизвестная функция, I = 0'. Функция Грина (7) также может быть представлена рядом Фурье:
да
О(г,0,г',0',у) = — У Sm(г,0,г',0)ехр(шу), (14) 4п ^
где к = к0^/ёц, е, ц — диэлектрическая и магнитная
проницаемость, ^ = ^ц/е, к0 — волновое число в свободном пространстве. Кроме того, вторичное поле удовлетворяет условиям периодичности Флоке по оси я:
Ё\р, ф, z + d) = Ё\р, ф, z)exp(-iK).
(20)
Формулы для магнитного поля аналогичны (20). Как и в акустическом случае, на бесконечности вторичное поле удовлетворяет условиям излучения:
E(x, y, z)
г~ œ
J2exp(in/4) X ÄХф)^-^'
-Jv sp
f — _rv-l *
p ^ да.
exp(-ivsP - iwsz) (21)
На поверхности каждого элемента решетки выполнено импедансное краевое условие для полного поля:
n х Ё = Z■ n х (n х H).
(22)
Применим ММНП. Вторичное волновое поле запишем в виде
Ё\r) = -z'ç V х V х Jj3(r )G(r,г ')ds' - kV х
S0
х jjM(f)G(f,г)ds',
(23)
H (Г) = -
--V X V X [jjr )G(r,r )ds' + kV X Ç J
X JJ((r )G(r,r ')ds',
(24)
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВЕКТОРНАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ НА РЕШЕТКЕ
Вновь рассмотрим решетку, составленную из одинаковых тел вращения с периодом d и центральным элементом, ограниченным поверхностью S 0. Считаем, что на решетку падает плоская волна вида
E0 = р0 exp(—kr(sin 0 0sin 0 cos ф + cos 0 0cos 0)). (18)
где J3 = n x H, JM = Ё x n — неизвестные электрический и магнитный токи. С учетом граничного условия (22) на поверхности элемента решетки и формул векторного анализа получим следующее представление для вторичного электрического поля вне рассеивателя:
Ё \r) = J Q—/ç (-(J3,V ' G)VG + k2) +
S0
+ kZ(VG x (n'x J3)) ds '.
s
Ç
»
m =
m = -œ
S
0
S
В соответствии с методом нулевого поля ставим следующее условие на вспомогательной поверхности £ 0, расположенной внутри ¿0,:
п х О)УО + к27эО) +
+ кг {УО х (п 'х Jэ))] <&' = -п х Е0, г
(26)
е £о.
п х
|[Ё(Г, Г )7э(г') + г Н(Г, Г )(п 'х Jэ(F '))]<$'
(27)
г г,0
= -п х Е .
Здесь 15 и Н — тензорные функции Грина электрического и магнитного типов [9].
Поверхность £ 0 выбираем по алгоритму, описанному выше. Пусть
Jэ(t,ф) = X 1и(0ехР(™Ф).
(28)
Тогда в результате подстановки этого ряда и ряда (14) для функции Грина в формулу (27) тензорные функции Грина также будут разложены в ряды Фурье. Коэффициенты этих разложений обозначим через 11 т,
Н т Матричные элементы функций 11 т, Нт выражаются следующим образом:
= _£_ 4п/
к2 (ео80ео80'+ 8т081и0' Р-) -
12
= _£_
4п/
к2 (-ео80 0' Бт + б1П0 ео80' Р+)
13 с
о — _2.
д 2Ят дгдг'.
.1 Ат"
г'дгд0'
4п
к2sin 0Рт д—-
г'sin0' дг _
21
= _£_ 4п/
к2 (- ^^^ 0 еos 0' Бт + еos 0 sin 0' Р+)-1
22 С
о — _2_ V
1 5 2Бт
(29)
(30)
(31) 32)
гд0дг'
4т
к2 (п 0 sin 0 'Бт + еos 0 cos 0' Р-^
23 _ д
ет _ . .
4п/
31 -Я е = —2
т .
4п
к еos 0Рт +-
1 5 2Бт
гг' 5050'
т дБ,
к sin 0'Р- +
гг'sin0' д0
т дБ-
гsin0 дг'
(33)
(34)
(35)
32 —С
е = —2
33 с
е = —-
4п
_с
4п/
к 2еos 0' Рт +■ т
к Рт
гг'sin0 д0'_
2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.