АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 5, с. 816-822
ОБРАБОТКА АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 534.8
ПРИМЕНЕНИЕ НЕРЕГУЛЯРИЗАЦИОННОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ В ПАССИВНОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ ТЕРМОТОМОГРАФИИ НА ВЕЙВЛЕТ-БАЗИСЕ
© 2008 г. К. М. Бограчев
Институт радиотехники и электроники РАН 101000 Москва, Старосадский пер. 8 Тел.: (095) 924-5166 Факс: (095) 924-5285 E-mail: ynmk@yandex.ru Поступила в редакцию 30.10.07 г.
Выполнено сравнение качества восстановления распределения температуры, получаемых при гипертермии, при использовании регуляризации и нерегуляризационного метода решения систем линейных уравнений (СЛУ), возникающих при формулировке некорректной обратной задачи пассивной акустической термотомографии. В качестве базисных функций использованы вейвлеты, что позволило получить компактное представление восстанавливаемого температурного пика. Показано, что при нагревании участков ткани, расположенных далеко от поверхности, нерегуляризацион-ный метод (МНК) дает существенно меньшую систематическую погрешность восстановления температуры в точке фокуса. При этом случайная компонента погрешности восстановления возрастает. Нерегуляризационный метод восстановления может быть использован в комбинации с регуляризацией при контроле процесса гипертермии в онкологии для получения более полной информации о глубинной температуре.
PACS: 43.80. Qf, 43.80 Sh, 43.80.Vj, 87.63.Df, 87.63.Hg
Перспективным методом уничтожения опухолей является локальный нагрев ткани (гипертермия), в частности с использованием фокусированного ультразвука. При проведении гипертермии важно контролировать температуру в нагреваемой ткани. Для такого контроля можно использовать метод пассивной акустической термотомографии [1-5, 8]. В этом методе восстанавливаемая температура представляется в виде суммы базисных функций с соответствующими коэффициентами.
Учет физических особенностей процесса гипертермии позволяет использовать вейвлет-разложе-ние [6] для уменьшения шума в измеряемом сигнале. В работе [7] было показано, что из-за локального характера нагрева ткани эффективным и компактным является вейвлет-представление температурного распределения. Вейвлет-представление позволяет существенно сократить число неизвестных при решении некорректной обратной задачи, которую затем решали методом регуляризации. Было показано, что сокращение числа неизвестных с отбрасыванием компонент, не вносящих существенного вклада в решение, позволяет повысить точность восстановления температурного распределения. При этом, как было показано в [7], решение обратной задачи методом регуляризации приводит к систематической погрешности при восстановлении температуры. Покажем, что решение обратной задачи нерегуляри-
зационным методом (МНК) дает существенно меньшую систематическую погрешность, хотя случайная погрешность при этом увеличивается.
Рассмотрим условия задачи, аналогичные исследованным в работе [7]. При моделировании принимается, что акустояркостная температура (которая пропорциональна интенсивности принимаемого термоакустического излучения), измеряется пьезопреобразователями на поверхности тела (рис. 1). При решении прямой задачи в качестве исходных задавали распределения температуры, установившейся в объекте при наличии гауссового теплового источника вида
х, у) = доехр[-((х - х0)2 + (у - у0)2)//], (1)
где характерная ширина источника й = 0.4 см, х0, у0 - координаты источника, д0 - нормировочный множитель. При этом учитывали, что соответствующее распределение температуры в теле человека должно удовлетворять уравнению температуропроводности с учетом конвективного теплопе-реноса, обеспечиваемого кровотоком [4]. В простейшем случае среды, однородной по своим теплофизическим характеристикам, стационарное уравнение температуропроводности имеет вид:
Т(х, у) - х2в А Т(х, у) = д (х, у), (2)
ей
ч
О H
л
H о о
X
X
а о m о
С
y, см 10
9
8
7
6
5
4
ПРИМЕНЕНИЕ НЕРЕГУЛЯРИЗАЦИОННОГО МЕТОДА нагретая область
ПП<
У / \ \
n / Г 1 г s I 1 L J
) 7
У г / Г 1
) / 1 /
) [ \ у 1
У У
)
---h--/ У I / -у s r-U —"—1
) 7 \Г 1_ X о ■
) /!// .—- i 2
■l^-i 1 ! i i1 i
шегося распределения температуры при значениях хВ = 0.3 см (рис. 2а) и хВ = 1.6 см (рис. 26). По оси ординат отложен инкремент температуры; его максимальное значение в точке фокуса равно Tf = 5 К, что типично для процесса гипертермии (диапазон температуры 37-42°С).
Принимается, что коэффициент поглощения ультразвука у = 0.2 см-1; что у не зависит от координаты и от частоты в полосе приема ПП; что аппаратная функция ПП приближенно может быть заменена лучом I (что допустимо при использовании фокусированного ПП). При каждом измерении (или скане) значение акустической температуры (АТ) представляет интеграл, в который вносят вклад все точки исследуемой области, лежащие на данном луче:
0 2 4 6 8 10
Глубина х, см
Рис. 1. Схема сканирования исследуемой области Ь размером 10 х 10 см2 в плоскости (х, у). Координата х направлена вглубь тела (координата х = 0 - поверхность тела), координата у ориентирована вдоль поверхности тела, область Ь разбита вдоль оси х на Ых точек, вдоль оси у - на N точек (разбиение показано тонкими пунктирными линиями сетки). Отсчеты температуры среды проводили в Мн = Ых х N точках. Половинками кружков показаны пьезопреобразователи (ПП). 1, 2, 3, ..., п - номера углов сканирования ПП, отсчитываемых от оси х. При 0 < г < 5 см угол поворота а = 0°-80° (где а отсчитывается против часовой стрелки), при 5 < у < 10 см - а = -80°-0°, при у = 5 см диапазон а = 80°-80°. Ых = N = 15.
где А - оператор Лапласа, q(x, у) - пространственная плотность теплового источника; хВ = 4оТк -характерная длина, определяемая коэффициентом температуропроводности В и величиной объемного кровотока X - количеством литров крови, протекающей через 1 кг ткани за 1 с; в разных тканях значение хВ - 0.3-1.6 см [4]. В данной работе будет исследовано восстановление установив-
TA = yj T( l ) exp ( -yl) dl,
(3)
где l - координата вдоль акустической оси ПП, (точка l = 0 совпадает с положением ПП); T(l ) -распределение температуры вдоль акустической оси ПП; множитель exp(-yl ) определяет поглощение акустической волны при ее распространении от источника (находящегося в точке l на акустической оси ПП) до ПП. На рассчитанные по формуле (3) значения акустояркостной температуры накладывали случайную ошибку, распределенную по Гауссу со среднеквадратическим значением 0.1 К, что примерно соответствует уровню ошибки измерения, для фокусированного ПП:
0.1 K ~ cTlJÂfx , где T = 310 K - термодинамическая температура тела, f = 1 MHz - полоса частот ПП, т = 100 c - время усреднения, c ~ 3 - коэффициент, определяемый техническими характеристиками акустотермометра.
Для всех сканов получаем систему линейных уравнений, в которой неизвестными являются коэффициенты вейвлет-разложения восстанавливаемого температурного пика [7]:
о
T, K 6
4
2
0 10
y, см
(a)
00
xD = 0.3 см
10
T, K 6
4
2
0 10
x, см
y, см
(б)
00
xD = 1.6 см
10
x, см
Рис. 2. Примеры температурного распределения, установившегося в ткани (а) с сильным кровотоком (хв = 0.3 см) и (б) слабым кровотоком (х^ = 1.6 см).
818
БОГРАЧЕВ
ТеА1 = уХ /)ехр(-у/)й/ +
с е С 0
+ У Х "й/^йК /) ехр (-у/) й/
й е В о
ТА; = УХ ^с¡ф7г( /) ехр (-у/) й/ +
С е С о
+ уХ "й|^й;(/) ехр(-у/)й/
ы /
й е В о
где ТеА - значения акустояркостной температуры
при с учетом измерительной ошибки, ф^ (/) - значение скейлинг-функции фс(х, у) в точке, лежащей на акустической оси ПП на расстоянии / от ПП
(уйс - аналогично для вейвлет-функции); и>с, пй -соответствующие этим функциям коэффициенты разложения, которые нужно определить для восстановления распределения Т(х, у); г - номер скана, С и В - множества всех коэффициентов при скей-линг- и вейвлет-функциях соответственно (в дальнейшем все коэффициенты будут называться вей-влет-коэффициентами). В работе [7] было рассмотрено решение системы (4) с применением глобальной регуляризации по Тихонову (при которой минимизируется средний квадрат температуры). При этом в качестве неизвестных рассматривались не все коэффициенты м>с, пй, а только те, которые вносят наиболее существенный вклад в систему (4), то есть СЛУ (4) заменяли на систему
ТеА1 = У Х ^с/ф" (/) ехр(-у/)й/ +
с е Со о
+ У Х "й/уй1 (/) ехр (-у/) й/
й е Во о
ТеАг = У Х ^с/фсХ/) ехр(-у/)й/ +
с е Со о
+ У Х Пй|уй;(/)ехр(-у/)й/
ы /
й е Во о
где С0, В0 - подмножества С и В, содержащие номера только тех вейвлет-коэффициентов, которые вносят наиболее существенный вклад в систему (4). После этой замены число неизвестных "сотр сокращается до суммарного числа элементов в С0 и В0. Положение существенных компонент и их вклад в решение определяли, используя "оценочное" температурное распределение, по-
(4) лученное при восстановлении методом локальной регуляризации по Тихонову (при которой дополнительно минимизируется средний квадрат плотности тепловых источников и учитываются теплофизические свойства ткани) с использованием разложения Фурье [7]. Это позволило существенно уменьшить число неизвестных псотр (например 40 вместо 256), сделать систему (5) переопределенной и улучшить качество восстановления температуры. Однако применение регуляризации приводило к систематической погрешности восстановления, проявляющейся в "сплющивании" восстановленного температурного пика, как показано на рис. 3а и рис. 36 для значений хВ = 0.3 см и хВ = 1.6 см соответственно ("сотр = 40). Этот эффект тем сильнее, чем глубже находится нагретый участок. В данной работе рассматривается случай, когда источник тепла расположен достаточно глубоко (на глубине 8 см), поэтому восстановление методом глобальной регуляризации искажает распределение, а именно, существенно уменьшает температурный пик. В то же время при практическом контроле процесса гипертермии оценка максимального значения температуры играет существенную роль. Кроме того, при некоторых реализациях шума восстановление мет
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.