Магнитные методы
УДК 620.179.14
ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МАГНИТОСТАТИКИ К ЗАДАЧАМ МАГНИТНОЙ ТОЛЩИНОМЕТРИИ. ЧАСТЬ 1.
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
Для решения прямых и обратных задач магнитной толщинометрии выведены аналитические формулы расчета результирующих магнитных полей для двухслойных магнетиков при произвольном внешнем поле.
Ключевые слова: магнитная толщинометрия, интегральное уравнение магнитостатики, магнитный неразрушающий контроль, преобразование Фурье.
Для решения задач неразрушающего магнитного контроля актуальной является проблема создания обоснованных алгоритмов аналитического или численного решения прямых и обратных магнитостатических задач применительно к магнитным телам различной формы с возможными инородными включениями. Для решения подобных задач исходим из основного уравнения магнитостатики [1, с. 16], которое эквивалентно системе уравнений Максвелла для описываемого случая, но имеет, на наш взгляд, ряд существенных преимуществ как для качественного аналитического исследования, так и для эффективного построения аналитических или численных решений этих задач. Упомянутое основное уравнение магнитостатики в интегро-дифференциальной форме связывает напряженность результирующего магнитного поля Н(г) = {Нх (г), Ну (г), Н (г)} в произвольной точке пространства г = (х, у, ¿) (не лежащей на границе раздела магнетиков) с заданным полем Н0(г) = {Нх0 (г), Ну° (г), Н0 (г)} внешнего источника и имеет следующий вид:
Н(г)-Ус11уГ(ц-1)НИ 0г' = Н0(г), г е (1)
У ' I 4%-Я У '
где ц= ц (г) — магнитная проницаемость присутствующих в системе магнетиков, занимающих в трехмерном пространстве область ограниченную поверхностью «5, Я:=|г - г ' |. Отметим, что в [2—6] доказана однозначная разрешимость уравнения (1) для ограниченных и неограниченных областей Уравнение (1) применялось нами и ранее для построения алгоритмов численного решения прямых и некоторых обратных задач для случая ограниченных или неограниченных магнетиков с внутренними дефектами (полостями) различной формы (см., например, [7—11]).
В данной работе это уравнение применяется для решения задачи магнитной толщинометрии, решение которой позволяет находить и контролировать толщину защитных покрытий различных изделий, определять величину зазора между контролируемым изделием и точкой измерения результирующего поля, а также изучить чувствительность интенсивности отклика от величины такого зазора. Принцип магнитной толщинометрии основан на измерении результирующих магнитных полей. Для проведения исследований вблизи изучаемого объекта от внешнего источника генерируется магнитное поле с известными параметрами. По последующему изменению характеристик результирующего магнитного поля и судят о толщине разных «слоев»
Вильям Вячеславович Дякин, профессор, доктор физ.-мат. наук, главный научный сотрудник ИФМ УрО РАН. Тел. 378-38-84.
Ольга Валерьевна Кудряшова, канд. физ.-мат. наук, доцент ИФМ УрО РАН. Тел. 922-11-25-732.
Вениамин Яковлевич Раевский, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник ИФМ УрО РАН. Тел. 903-08-67-096. Е-таП: ravskii@mail.ru
контролируемого изделия и/или величине зазора между контролируемым изделием и точкой измерения результирующего поля.
Рассмотрим ситуацию, когда область занятая неоднородным магнетиком , представляет собой полупространство (ниже плоскости параллельной координатной плоскости хОу на расстоянии а?2 от нее), в котором имеется «дефектная» подобласть 0,й (с граничной поверхностью 5), в которой постоянная магнитная проницаемость ц отлична от постоянной магнитной проницаемости ц в остальной части полупространства (рис. 1). К данной
системе приложено произвольное внешнее магнитное поле с известной напряженностью Н0(г) = {Их0 (х, у, г), Иу0 (х, у, г), Нг0 (х, у, г)}. Для такой конфигурации в [7] из уравнения (1) получено, что результирующее поле Н(г) = {Нх (х, у, г), Ну (х, у, г), Н (х, у, г)} вычисляется по формуле
Н(г) = Н0(г)-—V? 7Н°(х,у,^ ск'сИу' + уГн (г') (- + 41 dS', (2) 2л -И Яо У 4%^ 1 ^ Ч Я Я ) '
г е^3\(5 и51), где нормальная составляющая Нп(г) (точнее, ее предельное значение изнутри области с магнитной проницаемостью ц) результи-
рующего поля Н(г) на поверхности 5 является решением следующего интегрального уравнения на поверхности 5:
Н (г) Г Н (г ')—- 'ГНп(г ')—Л dS' =
л ' 2% 5 ^ 'дпЯ 2% 5 ^ 'дпЯ
о I ^ Л 1
_ d I н 0(г) Г Г ио^„ ' ,, ' л\д 1
(г) - — { 1 Н0(х',у',d2)—— dx'dy' \, г е5. (3)
^ + ^ I 2%--м-1 дпЯ
В выражениях (2) и (3) Нп0(г) — нормальная составляющая внешнего поля Н0(г) на поверхности 5:
Я :=>/(х - х ')2 + (у - у ')2 + (г - г ')2 ;
(х - х')2 + (у - у)2 + (г - У2)2 ;
ц + 1
(4)
(5)
Первый интеграл с сингулярным ядром в левой части (3) представляет собой прямое значение на поверхности нормальной производной потенциала простого слоя, ядро которого [12, с. 266] имеет вид
д 1 _ С08(г ' - г, п)
дп Я | г - г '
|2 '
г, г '
(6)
Отметим, что при отсутствии дефектной области (то есть при = ц, а потому = 0) из (2) получается известная формула для результирующего поля (в дальнейшем обозначим его Нр(г)) от полупространства, ограниченного сверху плоскостью г = У с магнитной проницаемостью ц в произвольном внешнем поле Н0(г)
Нр (г):_ Н0(г) - |
Н0( х', у, а 2)
2л
,у1(х - х ')2 + (у - у )2 + (г - а2 )2
Ух'ау, г (7)
Учитывая (7), формулу (2) для результирующего поля можно переписать в более компактной форме
Н НР (г)+'^-17¥|Нп(г') ^
X
Я + ^ | а«', г е^3\(5 и(8)
Основная сложность вычисления результирующего поля Н(г) по формулам (2), (3) заключается в решении интегрального уравнения (3) для произвольного внешнего поля Н0(г). Рассмотрим теперь такую конфигурацию магнетиков, для которой это уравнение может быть решено аналитически, что дает возможность получения из (2) аналитического же выражения для результирующего внешнего поля. Пусть «дефектная» область представляет собой также полупространство с граничной плоскостью 5 (с уравнением г = - У1), параллельной плоскости . На рис. 2 изображено сечение указанной
11
Цу
г
Ц = 1
п,
О
б/.
-■л
Н"(г)
*• V
С}
ц
Рис. 2. Сечение полупространства с «дефектной» полосой плоскостью уОг.
конфигурации магнетиков координатной плоскостью уОг. Требуется найти аналитическое выражение для напряженности результирующего поля Н(г) в произвольной точке вне этих тел при произвольном внешнем поле Н0(г). Эта постановка включает в себя и типичную задачу магнитной толщино-метрии — исследование зависимости результирующего поля от толщины С:= С1 + С2 слоя между плоскостями £ и £ с магнитной проницаемостью ц, отличной от проницаемости цс остальной части полупространства (ниже плоскости £).
В физической литературе ставился ряд похожих задач в менее общей постановке. Так, в [13] рассмотрена бесконечная однородная ферромагнитная пластина в однородной немагнитной среде (например, в воздухе) в поле двух фиктивных точечных магнитных зарядов (аппроксимируют поле длинного однородного магнита). В рамках используемого в этой статье подхода авторами сделан вывод о возможности определения величины зазора между описанным источником внешнего поля и пластиной и отсутствии возможности определения толщины самой пластины. В [14] исследован плоскопараллельный лист конечной толщины с постоянной магнитной проницаемостью в вакууме. Внешнее поле считается двумерным, а размеры его источника — малыми. В работе получены формулы для вектор-потенциалов магнитного поля вне и внутри ферромагнитного плоского листа, когда источник двумерного магнитного поля действует на него либо с одной стороны, либо одинаково с двух сторон граничных плоскостей.
Для случая, представленного на рис. 2, в (8) и (3) нормальная составляющая результирующего поля Нп(г) на поверхности £ переходит в ^-составляющую поля (Нп(г) = Н(г)), а интегралы по поверхности £ перейдут в двойные интегралы по соответствующей координатной плоскости. В уравнении (3) для нормальной составляющей поля первый интеграл в левой части обращается в ноль, поскольку обращается в ноль его ядро (6). В этом и состоит значительное упрощение уравнения (3) для данной конфигурации тел, которое и позволит получить далее аналитическое выражение для результирующего поля. Уравнение (3) в этом случае переходит в следующее уравнение:
Н(х,у,-Сх)| | Нг(х',у',-4)
2л
А_1
& Я
Сх Су' =
2Кс
/■1 + ^ + ^
Н0(х, у, -С1) - — | \н(0(х', у, С2)
& Я0
К+Кс (х, у) е^2,
где из (4) (с учетом, что г ' = -С1, а г < С2 на £) получаем
Сх'Су'
г=-С1
(9)
Я* =у1 (х - х ')2 + (у - у ')2 + С + С - г)2 Яо = >/(х - х ')2 + (у - у ')2 + (г - С2)2 ,
(10)
а буквой С обозначена величина зазора между плоскостями £1 и £ (то есть толщина слоя с магнитной проницаемостью ц)
С:= С1 + С2.
(11)
Формула результирующего поля (8) для рассматриваемой конфигурации преобразуется в следующую формулу:
Н(г) = Нр (г) + ^V} } Нг ((у',—йх )•
га —да —да
1
7сХ-х57+(у-у)7+о(+а1))
^(х—х )2 + (у—у )2 + ((—а2\+а )2
ах' ау', г = (х, у 2) £ S (12)
5 1
Вычисляя непосредственно частные производные |--*
52 Я ,
52 Я
и вводя (для компактности записи) обозначения 2-составляющих
полей на плоскостях S1 и S:
ф(х,у) := И2(х,у, —4); фДх,у) := И°(х,у, —ф2(х,у) := И°(х,у,а2), (13)
из (9) получаем уравнение для ф(х,у), содержащее известные 2-составляющие ф1(х, у) и ф2(х, у) внешнего поля Н0(г) на S1 и S
1 л л +да +да
ф(х,у) — ^^ } }
ТГ •> •>
ф(х ', у у ) ах а '
[(х — х ' )2 +(у — у ' )2 +
4а2
ф1
, ч а •х+да+да ф2 (х' , у')ахау'
(х, у)—}—^—
>[(х — х ' )2 +(у—у ' )2 + а2
, (х, у )е^2. (14)
Из (12) следует, что после решения уравнения (14) относительно ф(х, у) результирующее поле можно будет вычислить по формуле
Н (г) = Нр (г) + ^4-Ь^{ }ф(х', у')
д/(х — х ' )2 +(у — у ' )2 +(2 + )
+
+
X
л/(х — х ' )2+(у — у ' )2 + (2—а2!+а )2
ах ау' , г = (х, у, 2) й s и s1. (15)
Основная сложность данного подхода, заключающегося в решении интегрального уравнения (14) с последующим вычислением поля по формуле (15), состоит в решении уравнения (14). Вид этого уравнения подсказывает, что, по-видимому, наиболее эффективный способ его решения связан с при
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.