Магнитные и электрические методы
УДК 620.179.14
ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ МАГНИТОСТАТИКИ К ЗАДАЧАМ МАГНИТНОЙ ТОЛЩИНОМЕТРИИ. ЧАСТЬ 2
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
Работа является продолжением первой части статьи с тем же названием, где (для решения прямых и обратных задач магнитной толщинометрии) при произвольном внешнем поле выведены формулы расчета результирующих магнитных полей для двухслойных магнетиков, содержащие двойные интегралы по всей координатной плоскости от функций, определяемых конкретным видом внешнего поля. В данной части работы из этих формул получены аналитические безынтегральные формулы расчета результирующих магнитных полей для некоторых конкретных моделей внешнего поля. Проанализирована чувствительность результирующего поля к величине зазора между изделием и точкой измерения этого поля. Обоснована корректность (при определенных условиях) решения обратной задачи толщинометрии — однозначное определение толщины верхнего слоя неоднородного магнетика по измеренному результирующему полю.
Ключевые слова: магнитная толщинометрия, интегральное уравнение магнитостатики, магнитный неразрушающий контроль, преобразование Фурье.
В опубликованной ранее части 1 этой статьи рассмотрена одна из типичных задач магнитной толщинометрии для следующей конфигурации магнетиков (рис. 1). Двухслойный магнетик занимает полупространство ниже плоскости 5 Постоянная магнитная проницаемость ^ верхнего слоя (между плоскостью 51 и параллельной ей плоскостью 5) отлична от постоянной магнитной проницаемости ^ нижнего слоя, занимающего полупространство ниже плоскости 5. На рис. 1 изображено сечение указанной конфигурации магнетиков координатной плоскостью уОг. Описанная математическая модель соответствует достаточно "толстому" изделию с плоской верхней поверхностью, имеющему верхний "защитный" слой, с магнитной
n p=1
Б°(г)
O
► У
-d
z
d
2
S
n
S
Pd
Рис. 1. Сечение двухслойного магнетика плоскостью yOz.
Вильям Вячеславович Дякин, профессор, доктор физ.-мат. наук, главный научный сотрудник ИФМ УрО РАН. Тел. 378-38-84.
Ольга Валерьевна Кудряшова, канд. физ.-мат. наук, доцент ИФМ УрО РАН. Тел. 378-37-58. Вениамин Яковлевич Раевский, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник ИФМ УрО РАН. Тел. 378-37-58. E-mail: ravskii@mail.ru
проницаемостью слоя отличной от магнитной проницаемости ^ остальной части изделия. Указанный магнетик находится в произвольном внешнем поле Н0(г) = {Я°(г), НДг), #0(г)}, г = (х, у, г). Задача состояла в том, чтобы найти аналитическое выражение для напряженности результирующего поля Н(г) = {Нх(г), Н (г), Н(г)} в произвольной точке вне двухслойного магнетика при произвольном внешнем поле Н0(г), что способствовало бы решению типичной прямой и обратной задачи магнитной толщинометрии — исследованию зависимости результирующего поля от толщины а?: = ? + а?2 "защитного" слоя. Это позволит контролировать толщину этого слоя по измеренному результирующему полю, а также исследовать чувствительность результирующего поля к величине зазора между изделием и точкой измерения этого поля.
В практике неразрушающего магнитного контроля особый интерес представляет (и может измеряться в эксперименте) не столько само результирующее поле Н(г), сколько так называемое эффективное поле На(г) (при расчетах внутренних дефектов изделий аналогичное поле называют полем дефекта). Это поле показывает величину возмущения, которое вносит в результирующее поле наличие магнитного полупространства с проницаемостью и граничной плоскостью по отношению к полю от однородного магнитного полупространства с проницаемостью ^ и граничной плоскостью 51 (то есть разница результирующих полей для случаев Ф^. и Это поле вычис-
ляется по формуле На(г) = Н(г) - Нр(г), где Нр(г) — результирующее поле от однородного магнитного полупространства с магнитной проницаемостью ^ и граничной плоскостью 5р вычисляемое по приведенной в первой части статьи формуле
№(г) = Н0(г)-Ау+г? . Н0((у'?2) ахау,
(х - х )2 + (у - у )2 + ( - а2 )2
где X = 1 Как оказалось, значение эффективного поля зависит только от ц + 1
значений ^-составляющих внешнего поля Н0(г) на плоскостях 5 (с уравнением г = - ?1) и 51 (с уравнением г = а?2), для которых (в целях компактности формул) введены обозначения:
фДх, у): = Я0(х, у, -?1); Ф2(х, у): = Я0(х, у, (1)
В дальнейшем нам, как и в части 1, понадобятся формулы прямого и обратного преобразования Фурье, которые для произвольной функции Дх, у) имеют вид:
+да +да
Д( к2): = 2-\\Д (х, у) • е-(к2у)ахау,
1 +да +ГС
Дх,у) = — | (1,к2)• е'(х+ку)Мк2. (2)
В части 1 этой работы получены следующие выражения для эффективного поля Н?(г) как через сами значения фДх, у) и ф2(х, у) внешнего поля Н0(г) на плоскостях 5 и 51,так и через их фурье-образы (к1, к2) и ф2 (к1, к2):
Н(г) = ( + А)А х
2л -И 1-АА, • е-2Лк
- да - да а
х I• е-(+ ?!)к • е'(х+к2у)ак,к2; (3)
к
«м- С1+Х)Х гу77ф(х' у'Ь^,,
2 I п=0 - м - х Л
м +м+мр (! у А
Х^^ )" У^^ dx•dy•\, (4)
п=0 -м -м ^2п+2 \
где г = (х, у, г); г > d2;
х = я-!- ^ = я- ^ ■
Ц + 1 ц + ^
Яп. = 7(х- х')2 + (у - у')2 + (г - d2 + nd)2, п = 0, 1, ... . (5)
Для численных расчетов эффективного поля вне магнитных тел в случаях разного типа внешних полей, различных физических и геометрических параметров конфигурации магнетиков, изображенных на рис. 1, в части 1 из (3) и (4) получены выражения для компонент эффективного поля как через сами значения ф1 (х, у) и ф2(х, у) внешнего поля Н0(г) на плоскостях 5 и 5 так и через их фурье-образы ф (к1, к2) и ф2 ((, к2):
= С1 + Х)Х, .-Тгф(х, у') ■ С - х)
Н(г) = га^ \Ё(хх, )п п
2Л I П=0 м м ^2П+1
■х-ёр*, )п ЦФ;( Л)(х■ -х (6)
п=0 -м -м Л2п+2 \
.- (1 + Х)Хd.[vc„ )П>"ТФ,(х',У)- (-у)
„V =11+2), )п у ^
2Л I п=0 - м - м К1
х.^ )п Цф2(х' -Л)0'''у> - (7)
Л2п+ 2
(1 + Х)Х, Г» ч п +м +м Ф! (х', у') ■(г - d 2 + (2п + l)d)
„(г) = ЩХХ, )п | ^^^-Оdx'dy'-
2Л п=0 „ „ Л-1
чп +г+гФ2 (х, у ' )■(- d2 + (2п + 2^) ]
)п I ^^^^-и. dx'dy' \ (8)
п=0 Л, 1
12 п+2
„(г) = (1 + ^ 7+г к ■ср, (к1,к2)-Хе~dk ■к ■Ф2(к1,к2)х х (Г) 2л 1 1 1- ХХd • е-2Л
- м - м d
х I ■ е-(+dl)к ■ е''(к1х+к2у)dk1dk2; (9)
к
_ (1 + A)Ad +да+да ik2•ф ( k2 )- Ae~*•ik2-ф2 ( k2 )
я>)=^ л
2л J J 1- AA, • e
x 1 • +d)k • ei(+k2y)dk1dk2; (10) k
_ (1 + 7+fcp1 (k1,k2)-Ae-dk •ф2(k1,k2) _(Z+
-2 dk
Hd(r) J J
2л -да -да 1 - AAd • e
¿•((x + kz y)
-2 dk
x en % y>dk1dk2. (11)
Найдем выражения компонент эффективного поля Hd(r) для некоторых типов модельных внешних полей, когда интегралы, входящие в (6)—(8) и (9)—(11), могут быть вычислены аналитически. Как видно из приведенных выше формул, эффективное поле зависит лишь от значений z-компоненты внешнего поля Н^(г) только на граничных плоскостях S и Sj (это функции ф1(х, у) и ф2(х, у), определенные в (1)).
Прежде всего рассмотрим самую простую (но достаточно востребованную) модель внешнего поля, когда z-компоненты внешнего поля H(r) постоянны на каждой из указанных плоскостей (но сами их значения на S и S1 могут различаться). Такой случай возникает, например, если внешнее поле постоянно (не зависит от координат): H0(r) = H0. Итак, пусть
ф1(х, у) s H0(x,y, -dj) = hj, ф2(х, у) = H0(x,y, d2) = h2; hj, h2 — const. (12)
При подстановке такого вида функций в интегралы формулы (6) после естественной "сдвиговой" замены переменных получим интеграл вида
+да +да x
I I . =■ dxdy, который обращается в ноль из-за нечетности
J J //о О о\3
и
2 2 2 x + y + a
подынтегральной функции. Аналогично в ноль обращаются и оба интеграла в (7). Таким образом, для внешнего поля Н0(г), удовлетворяющего условиям (12), выполнено:
Н(г) = 0; Я/(г) = 0. (13)
Найдем из (8) выражение для ^-координаты эффективного поля НДг), если внешнее поле удовлетворяет (12). В этом случае оба несобственных интеграла в (8) приводятся к несложному интегралу вида
+да +да 11 г\
г г ахау 2л
I I . - —, а > 0. С учетом этого из (8) получаем
■'■'//•'> о 2 а
2 2 2 1 x2 + y2 + a
Г да да |
H(r) = - (1 + A)Ad U ^X(AAd)" - Ah-£(AAd)n L.
L n=0 n=0 J
Откуда окончательно:
Hd(r) = (1 + A)Ad ; r = (x, y, z); z > d2. (14)
1- AAd
Если h = h2 = :h (например, при H0(r) = h = const во всем пространстве), то из (14) имеем:
(l- X2 ) d
Hd(r) = -V 1-^ d • h; r = (х, у, z); z > ^2- (15)
Как видно из формул (13)—(15), в случае постоянства z-компонент внешнего поля на граничных плоскостях S и S1 эффективное поле вне магнетиков постоянно и не зависит от толщины d слоя между плоскостями S и S1, а потому при таком внешнем поле невозможно по измеренному эффективному полю определить величину параметра d, что является целью магнитной толщинометрии (кроме, быть может, случая, когда зависимость от d входит в правую часть (14), если явно известна зависимость h1 от z). Однако формулы (13)—(15) могут служить, например, в качестве тестовых проверок для более полезных (в обсуждаемом смысле) типов внешних полей при соответствующих предельных переходах в них.
Прежде чем рассмотреть другую модель внешнего поля, вычислим необходимое для этого преобразование Фурье характеристической функции для круга CR радиусом R с центром в начале координат вида, то есть функции вида
Ц х2 + y2 < R2 ¥(х, У) = Г 2 2 2- (16)
[о, х2 + У2 > R2
Поскольку функция у(х, у) финитна, то в формуле (2) ее преобразования Фурье интегрирование будет вестись только по кругу CR:
у (k1, к2 ) = (2л) Цe-l(k1X+k2y^dxdy. После полярной замены переменных
Cr
в интеграле (х = rcos9, у = гапф) приходим к выражению
R я
(2л)1 jrdr j e~1А"ш(ф+ф°>dф, где ф0 такова, что sinф0 = k1/k, cosф0 = k2/k,
0 - я
k = yj k2 + k2. Поскольку функция под внутренним интегралом периодична по ф, то ф0 можно опустить и привести выражение к виду
Г0
R
(2л) 1 J rdr J cos (kr sin ф) ф + i J sin (kr sin ф) ф
Учитывая четность-
нечетность подынтегральных функций, а также интегральное представле-
R
ние функции Бесселя нулевого порядка J0(z) = л-1 J cos (z sin t) dt и тот факт,
г 0
что I xJ0 (x) dx = xJ1 (x) + C [1, с. 635], окончательно получаем
у(k1, k2) = R• J1 (kR), k =J k2 + k22, (17)
где J1(-) — функция Бесселя 1-го порядка.
Рассмотрим теперь случай, к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.