АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 3, с. 272-278
АКУСТИКА СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ ТВЕРДЫХ СРЕД. ГЕОЛОГИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
УДК 550.843
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СЕЙСМИЧЕСКОГО ПРОФИЛИРОВАНИЯ © 2014 г. Л. С. Загорский, В. Л. Шкуратник
Московский государственный горный университет 119991 Москва, Ленинский пр-т, 6
E-mail: ftkp@mail.ru Поступила в редакцию 05.06.2013 г.
Рассмотрен метод решения обратной задачи нахождения двухмерного вертикального профильного сейсмического скоростного разреза продольных и поперечных волн в массиве по регистрируемым на поверхности волнам поляризации Рэлея. Приведен алгоритм метода, основанный на применении теории возмущений и почти-периодических функций, а также алгебраических многочленов Б.М. Левитана. Возможности метода иллюстрируются результатами сравнения с геологическими данными, полученными в районах Северного Кавказа с помощью активной сейсмики. Сформулированы условия устойчивости вычисления и приводится пример, основанный на данных микро-сейсм, полученных ОИФЗ РАН на участке в Северной Осетии.
Ключевые слова: двухмерная обратная задача, сейсмический разрез, волны Рэлея, возмущения, алгебраические многочлены, почти-периодические функции, микросейсмы, геологические данные.
DOI: 10.7868/S0320791914030174
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] авторами была рассмотрена одномерная обратная задача нахождения по амплитудам и фазам волны Рэлея, регистрируемой на поверхности массива, скоростей продольных и поперечных волн в функции от его глубины г. Подобная задача в двухмерной постановке при изменении скорости волны Рэлея вдоль горизонтального профиля ранее не рассматривалась.
В связи с этим в рамках настоящей статьи предлагается теоретическое и экспериментальное обоснование возможности применения развитых в [1] подходов для определения двухмерных глубоких профильных вертикальных сейсмических разрезов при возрастающих шагах расчета скорости поперечных и продольных волн с применением теории почти-периодических функций [2] и теории возмущений. Основная идея метода состоит в коррекции амплитуд волн Рэлея в двухмерном случае и границ лакун в спектре, опираясь на теорию возмущений. Использование аппарата почти-периодических спектральных собственных функций, возникающих при обработке регистрируемых на поверхности сейсмограмм, позволяет отбрасывать большие периоды на резонансных частотах и использовать малые почти-периоды.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим свободное от напряжений неоднородное по вертикали и горизонтали упругое
полупространство г < 0 с постоянной плотностью и меняющимся модулем упругости, зависящим от координат х, г. Для решения обратной задачи определения сейсмического разреза полупространства задаются являющиеся функцией координат и времени смещения частиц волны Рэлея в точках профиля, где эта волна регистрируется. При этом число указанных точек составляет не менее восьми, а их шаг равен половине длины волны на преобладающей высокой частоте. Кроме того, предполагается, что кривизна профиля (отклонение от прямой линии по горизонтали) много меньше длины волны на максимальной из анализируемых частот, а длина профиля равна длине волны на низшей частоте исследования.
Плоско-слоистая среда считается однородной по координате у. Скорость распространения продольных и поперечных волн аппроксимируется функцией с непрерывной второй производной, причем горизонтальные изменения скоростей много меньше вертикальных.
Задача решается либо сразу для всего профиля, опираясь на теорию возмущений для глобальной фазовой скорости и вычисляемых локальных амплитуд и опорных максимальной и минимальной скоростей, либо текущим разбиением на участки, имеющие свои фазовые скорости и амплитуды.
Решение обратной задачи определения скорости поперечных (либо продольных) волн ищется в классе непрерывных функций, разлагаемых в
ряд Тейлора и имеющих непрерывную вторую производную.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
В [3] было доказано, что разделение переменных приводит для рэлеевских волн к задаче Штурма—Лиувилля, но в матричной форме, для ряда систем координат, в том числе и декартовых. В [4] приводится возникающая после разделения переменных система уравнений для плоских монохроматических волн вертикальной поляризации.
В [1] путем подстановки Трикоми было показано, что уравнения для монохроматических волн преобразуются к виду, описывающему взаимодействие и трансформацию компонент волны Рэлея:
12 д и
дг2'
ю
- к
2 А(г) + 2ц(г)
ц(г)
УцСг)" л/Й(г)
и =
д
дг2
ю
У2(г)
= 5(г-0* Ц©
ц(г)
А(г, А, ц),
- к2
УМг) + 2Цг)''
А(г) + 2ц(г) ^Щг) + 2ц(г)
* Л(г, А, ц),
(1)
w ■■
/2(1, А, ц) = —к
^А + 2ц -т-Ц
2 А + 2ц
5
, 1А' + 2ц' w + ^---— +
А + ц ди
(2)
(Аи) + ц
_дг дг
(3)
= 5г -С) А© + 2ц©
где ю — частота; к — волновое число; ), ц(г) —постоянные Ламе; и, ^ — компоненты вектора смещений частиц волны Рэлея; г — координата; ^ — сдвиг аргумента в свертке; знак * в правой части (1) обозначает свертку,
/1(1, А, ц) = —к ,А + ц х
и<0) = 0, и>'(0) = 1, и(0) = 1, и'(0) = 0, = 0, агг = 0.
Здесь граничные условия для прямой задачи приведены в напряжениях, а для обратной — в смещениях. В качестве исходного уравнения было взято уравнение движения упругих волн в локально-изотропном твердом теле. Решение было выбрано в виде разложения по плоским волнам. Но так как реальный фронт не плоский, то нормируя предварительно трассы по максимуму амплитуды, для ^К-компоненты после нормирования получаем, что на свободной поверхности амплитуда равна 1.
Требование того, чтобы длина волны была много больше размера слоя, необходимо для представления собственной функции в виде суммы косинуса и минимальной интегральной добавки. Небольшое же приращение шага по глубине должно приводить к небольшим изменениям (приращениям) потенциала, модуля сдвига, собственной функции. Это позволяет производить расчеты на разных шагах независимо друг от друга и избежать накопления ошибок при продолжении на фиксированном шаге. Таким образом, глубина расчета ограничена фактически только длиной волны в дискретном спектре.
В (1) для ^К-компоненты волны Рэлея собственное значение записывается в виде
А ^ =
ю2 _ К2 А(0) + 2ц(0) П2(0) ц(0) ,
а для Р-компоненты в виде
X р -
со
Гр2(0)
- К2
ц(0)
(4)
(5)
Свертка появляется в связи с взаимодействием Р- и ¿К-волн, их трансформацией и приводит к вращению компонент волны Рэлея. Поэтому уравнения (1) рассматриваются как система, а разделение компонент происходит на резонансных частотах ^К-волны при ориентации сейсмоприемников в вертикальной плоскости. Это обеспечивает следующее соотношение амплитуд компонент: Л5К > АР. Выделение резонансных частот волны осуществляется сортировкой спектральных амплитуд по убыванию. Аналогичное (1) преобразование для нелинейных волн применено в [5].
Граничные условия для уравнений (1) на вещественные компоненты вектора смещений и тензора напряжений при г = 0:
• р^ Х(0) + 2ц(0)
Здесь К — волновое число волны Рэлея. Анализ выражения (4) показывает, что волновое число для ^К-компоненты больше, а фазовая скорость меньше, чем для Р компоненты.
Для ^К-компоненты в декартовых координатах X, ^ (далее под Xпонимается двухмерная матрица координат источников и приемников) найдем прямые Фурье-преобразования Р1(ю, к, х1), Р2(ю, к, х2) сигналов в точках профиля х1, х2 по времени ? и координате х (от плюс-минус бесконечности до фиксированного х). По В.С. Владимирову [6], можно получить функцию Грина на свободной поверхности г = 0 для случая зависимости скорости поперечной волны от вертикальной координаты г:
#(ю, к, хь х2) = -^(ю, к, *1)12(ю, к, х 2)/Ц(Х0)Ж(^0),
Х1 — х0 — х2, /¿ч
- , (6) g(ю, к, Х2, Х1) = -^2(ю, к, Х2)/1(ю, к, х^/ Ц(Х0)Ж(Х0),
х 2 — Х0 — Х1.
Здесь Р — прямое Фурье-преобразование нормированных по максимуму амплитуды записей в ба-
зовой х1 и текущей х2 точках профиля, /¡,2 — комплексно-сопряженная функция к F1¡2(ю, к, х1). Указанная нормировка приводит волну к плоской. Вронскиан равен
Ж(х0) = /0(ю,к,х0)(-г'к)/0(ю,к,х0) -- /0(ю, к,х0)(г'к)/0(ю, к,х0) = = 2/0(ю, к, х0)(-г'к)/0(ю, к, х0). Далее очевидно, что спектральная матрица-функция равна
/¡(м, к, х)
g(xb х2, g), к) —
gfo, -1, W, к) ——
2ikF0(<s>, к, х0)ц(х0) F2(w, к, -2)
, х0 — ^
х0 — х1.
(7)
(8)
G(xb х2) = —A(xb х2) + J G(s, x2)A(xb s)ds,
+т
G(x1 + t, х2) = = —A(x1 + t, х2) + J G(s, х2)А(х1 + t, s)ds,
(9)
где ? — сдвиг, х1, х2 — двухмерные матрицы координат источников и приемников. В нуле г имеем
-1,0
G(xb0,x2,0) = -8— - x2,0) + J G(s,х2)8(x1,s)ds. (10)
Здесь возможны три случая: 1) среда с горизонтальной однородностью А = const, и поправкар равна нулю, тДю) — нормировочные числа не меняются вдоль профиля:
(
А'(Х1, Х1) =
V j
1
m, (ю)
= 0,
(11)
2/к/0(м, к, х0)ц(х0)
После обратного преобразования Фурье и нормировки по амплитуде ^-функция Грина будет выглядеть так (при равных спектрах в двух точках—это формула для плоской волны из [6]):
0(х1, х2, ю) =
= £ Гк/?кк,Ы ) еХр(-'к|х1 - х2|),
К 2гк/2(ю, к, Х2)^(Х2)
0(х2, х1, ю) =
= £)ехР(-'к|х! - х1).
ГГ 2/к/1(ю, к, х1)и(х1)
Построенная функция (8) обладает всеми свойствами функции Грина: она симметрична, удовлетворяет волновому уравнению и краевым условиям в двух точках регистрации, ее вторая производная по координате х дает дельта-функцию, на ее диагонали имеется скачок производной.
В реальной геосреде возможны почти горизонтальные слои с малыми изменениями в гипсометрии пластов по сравнению с длиной самой низкочастотной волны, и тогда необходима постановка задачи в возмущениях [7], иначе требуется применение области расчета с изменяющейся глобальной дисперсией фазовой скорости. Интегральное уравнение Гельфанда—Левитана, описывающее волновое поле, имеет вид
а функция Грина определена интегрированием по профилю равномерно распределенных источников. При этом интеграл в (10) на бесконечности стремится к нулю;
2) среда с горизонтальной неоднородностью
дА Ф 0,
дг
и тогда решаем уравнение для поправок;
3) в формуле (9) анализируются большие глубины и соответственно малые значения волнового числа, тогда главной в функции Грина стан
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.