РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 10, с. 1176-1183
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 517.95 : 537.874.6
ПРИМЕНЕНИЕ Я-ФУНКЦИЙ К РЕШЕНИЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
© 2004 г. М. А. Басараб, В. Ф. Кравченко
Поступила в редакцию 09.02.2004 г.
На основе теории Я-функций предложен и обоснован метод получения уравнений и сглаживания границ сложных звездных областей в полярных координатах. Рассмотрена новая схема построения аналитических вспомогательных контуров в методе разложения по неортогональным функциям (фундаментальным решениям) для решения задач дифракции электромагнитных волн на цилиндрических экранах сложной формы.
введение
Чаще всего решение внешних задач электродинамики эффективно реализуется путем сведения их к граничным интегральным уравнениям (ИУ), чем достигается понижение размерности аппроксимируемого пространства. Одним из основных подходов к решению задач такого рода является метод дискретных источников [1-3]. Он представляет собой, в свою очередь, один из вариантов метода разложения по неортогональным функциям (МРНФ) [4, 5]. В данном методе возникает необходимость аналитической деформации границы области, в результате чего вместо сингулярного ИУ получается ИУ 1-го рода с различными областями изменения аргументов ядра. При такой деформации возникает произвол в выборе вспомогательного контура. В данной работе рассмотрен подход к построению уравнений границ основного и вспомогательного контуров сложной геометрии в полярных координатах с помощью метода Я-функций [6-8].
1. постановка задачи и схема метода
Пусть в области О с Я", ограниченной поверхностью ЭО, определено дифференциальное уравнение в частных производных
Аи(х) = /(х), х е О,
(1)
где у(у) - заданный элемент функционального пространства Я3(ЭО).
Определить и(х) из уравнений (1), (2) в элементарных функциях удается лишь для узкого класса канонических областей. Обычно это области с границей, образованной координатными линиями (поверхностями) одной из систем координат, в которых переменные разделяются. В остальных случаях для решения задачи (1), (2) следует применять приближенные методы, а решение искать в виде ряда с неопределенными коэффициентами по
некоторой системе базисных функций {фк}к =1:
и ~ иД
= I
(N)
Ск фк.
(3)
к = 1
При этом целесообразно вначале свести неоднородную задачу (1), (2) к граничной задаче с неоднородными краевыми условиями и однородным уравнением
Аи(х) = 0, х е О, Ьи(х)|эп = ¥(у), у еЭО.
(4)
где А - линейный дифференциальный оператор; и(х), /(х) - искомый и известный элементы некоторых функциональных пространств Я1(О) и
Я2(О), например, пространства Соболева (О). Пусть оператор Ь определен на поверхности ЭО соотношением
Ьи(х)|эо = у(у), у е ЭО,
(2)
При решении задачи (4) следует заботиться об удовлетворении граничным условиям, не учитывая при этом основное уравнение. Основным преимуществом такого подхода является то, что коэффициенты разложения (3) находятся с помощью граничных аналогов вариационных и проекционных методов (Ритца, Бубнова-Галеркина, наименьших квадратов, коллокации и др.), реализуемых на многообразиях меньшей размерности (по границе ЭО вместо области О). При этом на базисные функции фк налагаются следующие требования: каждая функция фк должна удовлетворять однородному уравнению Афк = 0; система функций {Ьфк} должна быть линейно независима и полна в функциональном пространстве Я3(ЭО).
Д
Один из подходов к решению задачи (4) методом разложения по неортогональным функциям [4, 5] основан на интегральных тождествах
и (х) = ^ (х) + у) К (х, у) , х ей, у) К (у) йБу = г), г гП,
(5)
(6)
эп
{К(гк, у)}Г=1 = {фк(у^
(7)
= X Ск )%к
(8)
к = 1
WJ[V( у )] = (У( у ),ф. ( у )) = ^ (1} ).
(10)
Pv(у) = ^(г), у е ЭП, г еГ.
(11)
Первые N этих функционалов на разности РУд-(у) -- Е(г) должны обращаться в нуль:
ф} [ PVN (у) - ^ (г)] = 0,
(12)
или, в развернутом виде
X скД)Ф} ¡Хк(у)К(г, у)dSy
где ^(х), К(х, у) - известные функции, v(y) - неизвестная функция, подлежащая определению из интегрального уравнения (6). Берется вспомогательная поверхность Г и всюду плотная на ней система точек {гк }^=1. Показывается, что система
функций {К(гк, у )}к = 1 является полной в подпространстве ¿2(ЭП) функций из ^з(ЭП) (у(у) е Я3(ЭП)), которые обеспечивают существование и единственность решения уравнения (6). Система
к = 1
ЧП
= Ф.. [ г)]. (13)
Если Ф} - функционалы в гильбертовом пространстве функций, определенных на Г, то (13) принимает вид
N
Ск
к = 1 гЦп
X с{д ^ ¡Хк (у) К (г, у) dS:
П
= ¡ г )ф. (г) dSz,
ф. (г) dSг =
(14)
состоит из фундаментальных решений Я(гк, у) оператора А.
Приближенное решение уравнения (6) ищется в виде разложения
по произвольной полной в ^3(ЭП) системе {хк} ¡°= 1, причем коэффициенты разложения находятся из линейной системы
N
X скд)^ [Хк(у)] = [v(у)], } = 1,..., N. (9)
к=1
Правая часть (9) может быть вычислена из (6), если функционалы ^ определить следующим образом:
где ф. - функции, определяющие функционалы Ф.: Ф}(и) = (и, ф.). (15)
В методе коллокации ф. - дельта функции
ф. = 5(г - г.), (16)
тогда Ф(и) = и(г) и система (14) записывается в виде
N
X сГ ¡ Хк (у) К(г., у) dSy = ^(г.). (17)
к=1
ЭП
Принципиальной особенностью такого способа решения краевых задач является получение из ядра К(г, у) уравнения (6) полной системы функций (7). Перепишем (6) в операторной форме:
Оператор Р переводит пространство функций, определенных на ЭП, в пространство функций, определенных на Г.
Чтобы получить систему алгебраических уравнений для приближенного решения (8) уравнения
(6), вводится система функционалов {Ф.}~= х, определенных на вспомогательной поверхности Г.
Метод разложения по неортогональным функциям пригоден для решения как внутренних, так и внешних задач. При этом возможно получение апостериорных оценок погрешности, так как единственным ее источником является приближенное удовлетворение граничным условиям.
При практическом использовании МРНФ возникают и сложности геометрического характера, так как существует большой произвол в выборе вспомогательного контура Г. Один из способов устранения этой неопределенности путем аналитической деформации контура ЭП описан в работах [9, 10].
Кроме того, при решении ИУ (6) часто целесообразно осуществить параметризацию контура ЭП, переходя, например, в двумерном случае к полярным координатам. В следующем пункте рассматривается геометрический подход к устранению указанных сложностей с помощью метода ^-функ-ций. Ранее метод ^-функций использовался в качестве вариационного для решения внешних задач теории дифракции [8].
N
V
N
2. построение уравнении вспомогательных контуров с помощью я-функциИ
Пусть О с Я2 - звездная относительно начала координат область (не обязательно выпуклая). Считаем, что методом Я-функций в неявном виде получено уравнение (нормализованное или ненормализованное) ее границы ЭО:
ю(х, у) = 0.
(18)
х = r cos ф, у = r sin ф. В итоге (18) запишется в виде
ю(rcosф, rsinф) = 0.
(19)
(20)
Формально из (20) путем эквивалентных преобразований можно выразить г через ф, т.е. получить зависимость
r = г(ф) .
(21)
Чтобы получить уравнение внутреннего вспомогательного контура, следует вместо (18) выбрать
ю(X, у) = £,
(22)
[г1(ф) - r] А [г2(ф) - r] = 0, [г1(ф) - r] V [г2(ф) - r] = 0.
(23)
(24)
Пусть, для определенности, а, v - символы Я-опе-раций системы Ш0:
/ 2 2 /22 х а у = х + у -Vх + у , х а у = х + у + л/X + у .(25)
Тогда, выполнив преобразования, можно из (23), (24) получить следующие выражения:
Г = Г! Аг Г2 5 0.5 [ Г! (ф) + Г2(ф) -Г (ф) - ^(ф)| ] 55
S min { ri (ф), r2 (ф)} ,
(26)
Для выпуклых областей уравнение (18) может быть получено и без использования Я-операций, путем обычного перемножения функций, описывающих элементарные участки ЭО. Учитывая звездность области, осуществим переход к полярным координатам г, ф по формулам
r = ri Vr r2 s 0.5 [ri(ф) + Г1(ф) + |ri(ф) - ^(ф)|]
smax{ri(ф), r2(ф)},
(27)
в полярных координатах определяющие границу ЭО.
Если, вводя малый параметр £ > 0, воспользоваться почти Я-операциями [8, 11]
£ £ X А у S X А у - £, X V у S X V у - £,
то вместо (26), (27) получим
r = Г, А£ Го S
(28)
S 0.5 [ri(ф) + Г1(ф) -J[Г1 (ф) - Г2(ф)]2 + 2£2] - £,
(29)
Г = Г i Vr Г2 S
(30)
- £.
где £ > 0 - малый параметр, и затем аналогично получить уравнение (21).
В силу громоздкости выражения для ю, переход от неявного уравнения границы к заданию вида (21) труднореализуем или вообще невозможен для областей произвольного вида, особенно несимметричных относительно координатных осей. Поэтому целесообразно воспользоваться следующим приемом.
Пусть г = Гх(ф) и г = Г2(ф) - уравнения в полярных координатах границ ЭОХ, ЭО2 ограниченных областей Оь О2, звездных относительно начала координат. Очевидно, гх(ф) - г > 0 и г2(ф) - г > 0 внутри Ох и О2 соответственно. Аналогично, за пределами Оь О2 выполняются неравенства гх(ф) - г < 0 и г2(ф) - г < 0. Если сложная область О (звездная) образована путем пересечения или объединения Оь О2, т.е. О = Ох п О2 или О = Ох и О2, то уравнение ее границы ЭО в неявной форме может быть записано с помощью Я-операций конъюнкции и дизъюнкции соответственно:
50.5[Г!(ф) + Г1(ф) + ^[Г-^фЬГСф)]7^?]
Уравнения (27), (28) определяют границу вспомогательного внутреннего контура ЭО-. Из условия г> 0 следует
£ — т!п(Г1 (ф) + г2(ф) - Vг1 (ф) + г2(ф ). (31)
ф
Рассмотрим предложенный алгоритм на конкретных примерах.
Пример 1. Для прямоугольной области [-а, а] х х [-Ь, Ь] имеем
Г(ф) = Г i А£ Г2, Ыф) =
a , , b , Г2(ф) =
cos ф
sin ф|'
(32)
Пример 2. Для крестообразной области, полученной дизъюнкцией двух прямоугольных областей [-а, а] х [-Ь, Ь], [-с, с] х [-/, й] (а > с, Ь < й), выражение, описывающее границу вспомогательного контура ЭО-, имеет вид
Г(ф) = ( ri А£ Г2 ) V£ ( Г2 А£ Г4),
ri (ф) =
Гз(ф) =
cos ф
с
cos ф
Г 2 (ф) =
Г4 (ф) =
sin ф|' d
| sin ф|'
(33)
Пример 3. Уравнение внутреннего контура ЭП- ¿-образной области (уголок), образованного дизъюнкцией двух прямоугольник
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.