РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2012, том 57, № 9, с. 987-995
^=К 100-ЛЕТИЮ Я.Н. ФЕЛЬДА
УДК 621.371.333;537.874.6
ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАССЕЯНИЯ ВОЛН ГРУППОЙ ТЕЛ © 2012 г. А. Г. Кюркчан1, 2, С. А. Маненков1
Московский технический университет связи и информатики Российская Федерация, 111024, Москва, ул. Авиамоторная, 8а 2Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова РАН Российская Федерация, 141190, г. Фрязино Московской обл., пл. Введенского, д.1
E-mail: mail44471@mail.ru Поступила в редакцию 06.02.2012 г.
Предложен новый вариант модифицированного метода дискретных источников для решения задачи дифракции на группе соосных импедансных тел вращения. Показано, что предложенный подход позволяет строить эффективные алгоритмы решения данных задач для сильно вытянутых и сильно сплюснутых рассеивателей, а также для тел вращения тороидальной формы. Приведены численные результаты для тел с различной геометрией и продемонстрирована высокая точность полученных результатов.
ВВЕДЕНИЕ
Модифицированный метод дискретных источников (ММДИ), предложенный в работе [1, 2]), был применен для решения задач теории дифракции, таких как рассеяние на одиночном теле вращения [3, 4], дифракция на группе соосных тел вращения [5, 6], рассеяние на теле вращения с киральным покрытием [7], дифракция плоской волны на бесконечной решетке из импе-дансных тел вращения [8, 9]. В указанных выше работах носитель дискретных (вспомогательных) источников был выбран в полярной (в двумерном случае) либо сферической (в трехмерном случае) системе координат.
В работе [10], появление которой было стимулировано статьей [11], рассмотрена статическая задача для группы сильно вытянутых или сильно сплюснутых соосных тел вращения. Задача решена модифицированным методом нулевого поля (ММНП), который является в определенном смысле двойственным по отношению к ММДИ. При этом были использованы сфероидальные координаты для выбора вспомогательной поверхности, на которой поставлено условие нулевого поля. В данной работе предложен новый вариант ММДИ, позволяющий рассматривать задачи дифракции на телах вращения в наиболее подходящей ортогональной системе координат. В частности, это могут быть сферические, вытянутые или сплюснутые сфероидальные координаты, а также тороидальные координаты. В указанных системах координат вводится подходящая комплексная координата, что позволяет применить аналитиче-
скую деформацию контура осевого сечения рас-сеивателя. При таком подходе, во-первых, удается получить высокую точность вычислений при расчете дифракции на сильно сплюснутых или вытянутых телах и на телах тороидальной формы. Во-вторых, расширяется класс тел, для которых можно применить ММДИ (либо ММНП). В частности, рассмотрена дифракция на различных "многолистниках" вращения (в том числе чебы-шевских частицах и деформированных торах).
Отметим, что для решения задачи дифракции при помощи перечисленных выше координатных систем требуется совершать переход от одной системы координат к другой. Как известно, одним из преимуществ ММДИ (как и других модификаций метода дискретных источников) является возможность использования тензорных функций Грина для решения различных краевых задач. Для перехода к требуемой координатной системе удобно выразить рассеянное поле в виде интегрального оператора, ядро которого представляет собой электрический или магнитный тензор [7]. При этом наиболее просто указанные тензоры записываются в цилиндрической системе координат. Для перехода к другим системам используем матрицу перехода от одного базиса к другому. Такой подход позволяет легко свести исходную задачу дифракции к системе интегральных уравнений в рассматриваемой системе координат. В частности, в работе [12] этот способ применен для решения задачи дифракции на неоднородности в виде тела вращения, расположенной в цилиндрическом волноводе.
г, 71, 2
г2
Р2
с
70 71
Р1
V У
пр X
Е = 1р \пр х (пр х Н)], р = 1,2,
(1)
Ух Е1 =-1кС Н1, Ух Н1 = -Е1,
С
(2)
где к = ю^/бц — волновое число, ю — круговая частота, е и ц — соответственно диэлектрическая и
магнитная проницаемости среды, ^ = ^ц/о — волновое сопротивление среды. Кроме того, вторич-
ное поле удовлетворяет условию излучения на бесконечности:
(г1хг)+сН1 = »(1), (*■хг)
Н1 X ГI - 1 Е1 = »(1)
77 г ^ да.
(3)
Рис. 1. Геометрия задачи.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим для определенности задачу дифракции волн на двух телах. Развиваемый подход легко обобщается на случай нескольких тел. Итак, пусть имеется группа из двух тел вращения, расположенных на одной оси (сечения тел показаны на рис. 1), ограниченных поверхностями 51 и 52. Выберем систему координат так, чтобы ось г совпадала с осью вращения тел. Будем предполагать, что на поверхности каждого рассеивателя выполнено импедансное краевое условие:
2. ВЫВОД СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Будем решать поставленную задачу при помощи ММДИ. Для удобства вывода основных формул используем так называемый модифицированный метод вспомогательных токов (ММВТ). Введем локальные системы координат, связанные с каждым рассеивателем, причем ось г направим вдоль оси вращения структуры (см. рис. 1). Заметим, что поверхности могут быть заданы в различных координатных системах (например, одна из поверхностей может быть задана в сферической, а другая — в сфероидальной системе координат). Вторичное поле будет равно сумме полей, рассеянных каждым телом:
2
Е1 = £ V X у X £ |Щ, г^^й? =
д=1
(4)
= £ |Е(гд, г^Г^УМ,
д=1 2„
Н1 = кУ х
£ | щ, г^у¿г^? =
9=1 2„
(5)
= £ | нг, ГУ (г'Ж
9=1 2„
где
Щ, г) =
где Е = Е0 + Е1, Н = Н0 + Н1, причем Е0, Н0 и Е1, Н1 — соответственно первичное и вторичное электромагнитные поля, пр — внешняя нормаль к поверхности 8р. Вторичное (рассеянное) поле всюду вне областей, занимаемых телами, удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла:
ехр(ЧкЯд) 4пкЯ, '
ъ =
г — г
'д 'д
д = 1,2. (6)
Здесь — вспомогательная поверхность вращения, расположенная внутри исходной поверхности тела У д — неизвестный ток, распределенный на поверхности Матричные функции Е и Н представляют собой функции Грина электрического и магнитного типов [13].
Как показано в работах [3—9], в случае, если задача решается при помощи стандартного ММДИ, т.е. с использованием сферических координат, для вспомогательной поверхности X каждого тела (индекс q для краткости опускаем) справедливы уравнения
х = г2 бш 02 СОБ ф, у = г2 81П 02 81П ф, г = г2 СОБ 02,
р
где
= , В, = arg t,
(9)
's п. ^ -о, (8)
t(B) = r(B + /5) exp(/B - 5), 0e [0, n].
В этих формулах предполагается, что уравнение исходной поверхности тела в сферических координатах имеет вид r = r(9). Величина 8 — положительный параметр, отвечающий за степень деформации исходной границы рассеивателя (для каждого тела он будет иметь различное значение). Пусть теперь исходная поверхность вращения рас-сеивателя задана в сфероидальных координатах, например в вытянутых. Как известно [14],
х = f sh a sin р cos ф,
y = f sh a sin p sin ф, z = f ch a cos p.
При этом поверхность вращения задается уравнением а = а(в). Вспомогательная поверхность определяется соотношениями
а2 = Reп, р2 = Im п, п(Р) = а(Р + /5) + /(Р + /8),(10)
где (а2, р2, ф) — сфероидальные координаты "образа" точки с координатами (а, Р, ф) на исходной поверхности. Для получения декартовых координат точки на вспомогательной поверхности нужно воспользоваться формулами
х2 = Im 2, cos ф, y2 = Im 2, sin ф, z2 = Re 2, (11)
где ^(P) = /chn(P), P e [0, я]. В случае сплюснутых сфероидальных координат необходимо взять 2(Р) = /shn(P). Рассмотрим также случай тороидальных координат. При этом [14]
_ f sh a cos ф х —
_ f sh a sin ф ch a- cos P ch a- cos P f sin в
(12)
ch a - cos P
где a = a(P) — уравнение поверхности тела в тороидальных координатах. Формулы (10) для определения тороидальных координат точек на вспомогательной поверхности остаются в силе, а для нахождения декартовых координат точек на I в формулы (11) следует подставить величину 2(Р) =
= ,/cth(np), р е [0, 2я]. Таким образом, имеем
единообразный подход, позволяющий строить вспомогательные поверхности в различных ортогональных координатах.
Отметим, что указанная деформация исходной поверхности частицы (в любой системе координат) возможна до тех пор, пока отображение п(Р) остается взаимнооднозначным (однолистным). Таким образом, необходимо определить максимальную величину параметра деформации 8макс, которая зависит от формы исходной поверхности тела. Ниже приведен численный алгоритм нахождения 8макс для "многолистников" вращения, за-
данных в различных координатах (в частности, чебышевских и тороидальных частиц).
Перейдем к решению исходной краевой задачи. Обозначим через (стр, Хр) координаты точки в выбранной ортогональной системе координат (где Стр = гр, хр = либо Стр = ар, Хр = Рр). Разложим неизвестные токи и функцию О в ряды Фурье:
да
•?р(Хр, Ф') = 2 Зрт(Хр^^(/тф) (13)
£(ст p, х p, ap, xP, у =
да
= 4П 2 р, хр, ^р, хр) exp(шy), (14)
у = Ф - ф', р = 1,2.
При подстановке этих рядов в формулы (4) и (5) волновые поля также будут разложены в ряды Фурье:
2 Y q
E1 = X XjEq, Xq, ^ X'q)Jqm(X'q)hh
Хл1 h9r + 'id x'q
(15)
exp(/mф),
2 Yq
H1 = XX /Hm^ Xq, a'q, xq)Jqm(lqh X
q= 0
W hlt + hl«b '<ldX'q
(16)
exp(шф).
Здесь = ) — уравнение q-й вспомогательной поверхности, А ., А?х. и Ню. — коэффициенты Ламе выбранной системы координат, точка означает производную по переменной х. В формулах (15) и (16) параметр yq = п в случае, если рассматриваются сферические или сфероидальные координаты, и yq = 2п для тороидальных координат.
Как указано выше, матричные функции Em, Hm удобнее задавать в цилиндрических координатах, в которых элементы этих матриц имеют следующий вид:
«11 =
e12 =
2
k
2 Sm-1 + Sm+1 д Sm
5pq5pq J
Sm+1 Sm-1 i m dSm
j' dPq
(17)
(18)
m=-<»
е21 _
т /С
22 2
ат _ К д Бт
е13 - —
2 дрддгд
к2 Бт+1 Бт-1 + т дБт
■2 $т+1 + $т-1 т2
рд 5pдJ
РдРд
т _ С,т дБт
"23 _
2Рд дг'д
т _ И^дБ^
ез1 ~ ;
2 дрддг
т
ез2 =
д д
От дБт
2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.