ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 4, с. 575-581
УДК 519.65
ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ КРЕЙНА К ВЫЧИСЛЕНИЮ СУММ, СОДЕРЖАЩИХ НУЛИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ1)
© 2015 г. Е. В. Сумин, В. Б. Шерстюков
(115409 Москва, Каширское шоссе, 31, Нац. исследовательский ядерный ун-т "МИФИ") e-mail: sumevbir@gmail.com; shervb73@gmail.com Поступила в редакцию 16.06.2014 г.
Рассматриваются функции Бесселя I рода Jv(z), где v > —1. На основе общей теоремы о представлении обратной величины целой функции в виде ряда Крейна получено разложение функции 1/Jv(z) на простые дроби. Дано приложение этого результата к вычислению сумм рядов определенной структуры, содержащих степени положительных нулей функций Бесселя. Библ. 24.
Ключевые слова: мероморфные функции, ряды Крейна, суммационные соотношения, нули функций Бесселя, функция Рэлея.
DOI: 10.7868/S0044466915040134
ВВЕДЕНИЕ
В теории функций и математической физике разложение мероморфных функций на простые дроби является эффективным аналитическим инструментом. Классические методы представления функций рядами простых дробей опираются на теорему Миттаг—Леффлера, аппарат бесконечных произведений и теорию вычетов (см., например, [1, гл. 7]). Важный подкласс мероморфных функций, связанный с рядами простых дробей, был введен в 1947 г. М.Г. Крейном (см. [2]) в связи со спектральными задачами для дифференциальных уравнений. В [2] изучались свойства целых функций L(z) с простыми вещественными нулями zk ^ 0, k е N, допускающих при каком-либо p е N и {0} представление вида
да
ш =0 (г)+zp Е ттЬЛ, (°л)
L (z) к = 1 zkL( zk)z " Zk
где Q(z) — некоторый многочлен, а ряд сходится абсолютно и равномерно на любом компакте комплексной плоскости, не содержащем точек zk. В дальнейшем представление (0.1) стали называть разложением функции 1/L(z) в ряд Крейна. Изучению вопросов, относящихся к рядам Крейна и их приложениям, посвящено значительное число исследований (историческую справку и библиографию можно найти в [3]).
Цель данной работы — получить разложение в ряд Крейна обратной величины функции Бесселя Jv(z) и использовать его для вычисления точных значений сумм определенной структуры, содержащих нули функции Jv(z). Опыт подобного рода применительно к некоторым специальным функциям изложен в [4], [5].
Будем опираться на следующий общий результат, полученный ранее одним из авторов (см. [3, следствие 2.3]; см. также [5, формула (2)]).
Теорема 1. Пусть L(z) — четная целая функция экспоненциального типа с простыми вещественными нулями ±zk, где 0 < z1 < z2 < ... < zk < ..., lim zk = +да. Пусть при некоторомp е N выполнено
k ^ да
условие
да
~ 1 < + да. (0.2)
Е
k=1 zkp+1L ■( zk )|
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 13-01-00281).
Тогда функция F(z) = 1/L(z) допускает разложение в ряд Крейна
да
Дг) = а, (I) + 2 г2р X -Р^Т, "гЧ, (°-3>
к = 1 ^ () % -
сходящийся абсолютно и равномерно на компактах области ^{±2^ е Здесь Qp(z) — многочлен, заданный формулой
Р - 1 Л2т) ( 0 ,
а,) = X тИО?% - (0-4)
ттс(2 т)!
При этом справедливы суммационные соотношения
X ^^- = -1 , т = р,Р + 1,.... (0.5)
XI ¿т + 1V2 (2 т)! , РР ()
Отметим, что приведенный результат удобен в применении и позволяет охватить семейство функций Бесселя I рода Jv(z) с V > —1. Всюду далее функции Jv(z) рассматриваем только при таких V. Укажем, что в отличие от метода Коши наш подход не требует построения специальных контуров и оценок на них разлагаемой функции, а по существу сводит задачу к проверке основного условия (0.2).
Приведем минимальный необходимый в дальнейшем набор сведений о бесселевых функциях. Подробное изложение различных аспектов общей теории см. в [6]—[9]. Итак, рассматриваем функцию Бесселя I рода
" ( 1 \к /\v + 2к
= X-Ш-( , % е С, (0.6)
^ х к! Г( V + к + 1 )Ч2/
к = 0
где Г(х) — гамма-функция Эйлера. Тогда
\к /_\2к
« % Ч2)« %) = Хкг^^ (и о*
к = 0
является четной целой функцией переменной z е С, имеющей бесконечно много нулей. Благодаря условию V > —1 все нули функции (0.7) будут вещественными (изящное доказательство этого факта дано в [10, § 8.6]) и простыми. Их можно записать в виде {±уЛ, v}k е где
0 <У1, V <У2, V <-..<Ук, V ^^ Ит Ук, V = +(0.8)
к ^ да
Свойства последовательности (0.8) при различных значениях параметра V интересовали многих математиков. Еще Л. Эйлер (см. [6, с. 551—553]) вычислил приближенно несколько первых
положительных нулей функции J0(2Л/Z), исходя из открытого им способа нахождения точных значений сумм вида
да
X ,
2т
т е
к=1 У к, о
Позднее Рэлей и ряд других исследователей получали явные формулы для более общих сумм
да
(V) = X -2-Г , т е N. (0.9)
к = 1 Ук, V
Этим и другим вопросам, связанным с нулями бесселевых функций, отведена глава 15 специализированной монографии [6]. Современное состояние теории специальной функции Рэлея заданной по формуле (0.9), обстоятельно изложено в обзорах [11], [12]. Нулям функций Бесселя посвящен огромный пласт научной литературы. Отметим здесь лишь работы [13], [14], в которых изучались комплексные нули функций Бесселя при V < —1, и несколько работ сравнительно недавнего времени, принадлежащих зарубежным авторам (см. [15]—[17]).
да
1. РАЗЛОЖЕНИЕ ОБРАТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ В РЯД КРЕЙНА И ОБЩИЕ СУММАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Применим теперь теорему 1 к функции (0.7) для получения разложения в ряд Крейна обратной величины функции Бесселя.
Теорема 2. Пусть Jv(z) — функция Бесселя Iрода с V > —1, заданная посредством формулы (0.6), и ук v — ее положительные нули, упорядоченные согласно (0.8). Пусть натуральное числор и многочлен 0р(1) определяются, соответственно, формулами
'IV + 1"
р = тах 11,
где квадратные скобки обозначают целую часть, и
17 - о \ I , а2т, V ( Т /
(2т)! V/v(z
+ 1 к (1.1)
р 1 2т / V \ (2т)
*) = X а2т, ^ , *2т, V = ((0). (1.2)
т = 0
Тогда справедливо разложение
да
т = «) - 2^2р - v X 2р- V- • ( ) т-Цг, (1-з)
•'V(г) к = 1 ук, V • +1 (Ук, V) г - ук, V
сходящееся абсолютно и равномерно на любом компакте в С, не содержащем точек z = 0 и z = ±ук, ^ При этом выполняются суммационные соотношения
1
Х1 у?Г+1(Ук, V) 2(2т)!
2т,
т = р,р + 1, .... (1.4)
Доказательство. При заданном V > —1 для функции Бесселя Jv(z) определяем согласно формуле (0.7) целую функцию Ь^). Привлекая формулу Стирлинга для вычисления порядка и типа целой функции Ь(г) по ее тейлоровским коэффициентам (см. [1, гл. 7, § 1]), получаем, что обе эти характеристики равны единице. Последний факт по отношению к порядку отмечался в [10, § 8.4]. Нужный результат можно извлечь также из общих формул, вычисляющих порядки и типы специальных функций Райта и Миттаг—Леффлера (см. [18], [19]). Таким образом, Ь(г) является четной целой функцией экспоненциального типа с простыми вещественными нулями ±ук, ^ Проверим, что для функции (0.7) условие (0.2) выполняется с показателем р, заданным по правилу (1.1). Воспользуемся асимптотическими формулами
^(х) = /А соеГх- П - —) + О(, х — + да, (1.5)
ПХ ( 4 2 У (х^Х
Ук, V = Пк - П + ^ + о(1), к — да. (1.6)
Асимптотика (1.5) приводится в большинстве стандартных учебников по уравнениям математической физики (например, [8], [9]). Поведение нулей (0.8), характеризуемое соотношением (1.6), допускает более детальное описание. В монографии [6, §§ 15.32—15.35] приводятся результаты Шафхейтлина о локализации нулей ук,,, при V > —1/2, а также разложение ук,,, в асимптотический ряд. Отметим еще, что (1.6) есть частный случай установленной в [18] асимптотической формулы для нулей функции Райта; при—1/2 < V < 1/2 формула (1.6) содержится также в теореме об асимптотическом поведении нулей специального финитного преобразования Фурье [20, § 3.1, теорема 4]. В силу рекуррентного соотношения
• (г) = -' +1( г) + V (г) (1.7)
г
имеем
•ЛУк, V) = -• +1 (Ук, V), к 6 N. (1.8)
да
Заменим в (1.5) параметр V на V + 1 и в полученную формулу подставим (1.6):
IV +1 (Ук, V) = I -2- сое (ук, V - ^ - + 0{ -1
'(пук, V ( 4 2) ук V
V
2-008(пк- п + о( 1)) + оШ = (-1 )к-1 Р- + о(-1
пук V Ук' Ч^к V УУк,
Следовательно,
¡/V +1 (Ук, V) 00 р!, к — да, (1.9)
А/пУк, V
Далее, согласно определению (0.7) имеем
V' (Ук, V) = ( —) Ч(Ук, V), к е N. (1.10)
Ук, V
Возьмем какое-нибудьp е N и оценим поведение общего члена ряда в условии (0.2) с учетом соотношений (1.8)—(1.10):
1 2^ Тп 1 ,
- ю —гг--, к —- да.
2р + \1 2р + 1 - VI т < ч| nv + 1/2 2р + 1/2- V
^ V \Ь (Ук, VЯ Ук, V /V + 1(Ук, v)| 2 Ук, V
Отсюда и из (1.6) видно, что условие (0.2) равносильно требованию 2p + 1 — V > 1. Наименьшее
значениеp е Ы, при котором выполняется последнее неравенство, задается формулой (1.1). Итак, по теореме 1 для функции
1 (г)v 1
«%) = ш = (2)
Щ) ^ Jv(z)
справедливо разложение в ряд Крейна (0.3) с многочленом (0.4) в правой части этого разложения:
р -1 г(2т)^п\ да л
*%) = X У)? " + X -¡р-н!;
т = 0 (2т )! к = 1 У^ 1(Ук, V) ^ - Ук, V
Подставляя сюда
V'(Ук, V) = -(—) VJv +1 (Ук, V), к е N, (1.11)
Ук, V
и умножая на (2Д)^ приходим к (1.3), (1.2). Наконец, соотношение (1.4) есть прямое следствие (0.5) и (1.11). Теорема доказана.
Общее разложение в ряд простых дробей (1.3) обратной величины функции Бесселя Jv(z) с произвольным V > —1 нам не встречалось. Напротив, разложения
ш
/V) 72 - V2 % %X
^ к = ¡к, V т = 1
дада
V ^ х-4' 1 V 2 ^^ / ч 2т
= ;+ X= ; "; X ст2-( ^ ,
дада
Jv + 1(1 2 ^ { Ч 2т
/-Л = X Г1—^ = Г X т( V)% ,
■> V(%) , 1 % - Ук, V %
v т = 1
да
V
где — функция Рэлея (0.9), хорошо известны и связаны посредством рекуррентного соот-
ношения (1.7). Первое разложение, следуя Эйлеру, обычно получают логарифмическим дифференцированием (по переменной z) представления
Jv(z) =
1
Г( V + 1)
П (
к = 1
1 -
2
Ук, У
а второе — методом Коши (см., например, [6, § 15.41], [11, § 3]).
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНКРЕТНЫХ СУММ РЯДОВ, СОДЕРЖАЩИХ СТЕПЕНИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Полезно конкретизировать разложение (1.3) и формулы (1.4) в зависимости от диапазона изменения параметра V > —1.
Пусть вначале —1 < V < 3/2. Тогда согласно (1.1) имеем p = 1. По формуле (1.2) с учетом определения (0.7) многоч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.