РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 2, с. 109-148
ОБЗОР =
УДК 53.01:517.5:519.6
ПРИМЕНЕНИЕ СЕМЕЙСТВ АТОМАРНЫХ, WA-СИСТЕМ И R-ФУНКЦИЙ В СОВРЕМЕННЫХ ПРОБЛЕМАХ РАДИОФИЗИКИ. ЧАСТЬ II
© 2015 г. В. Ф. Кравченко1, 2, 3, О. В. Кравченко1, 2, В. И. Пустовойт2, 3, Д. В. Чуриков1, 3, 4, А. В. Юрин2
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 125009 Москва, ул. Моховая, 11, корп. 7 2Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005 Москва, ул. 2-я Бауманская, 5 3Научно-технологический центр уникального приборостроения РАН, Российская Федерация, 117342 Москва, ул. Бутлерова, 15 4Московский физико-технический институт (государственный университет), Российская Федерация, 141700, Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 9 E-mail: kvf-ok@mail.ru, mpio_nice@mail.ru Поступила в редакцию 01.07.2014 г.
Вторая часть обзора посвящена применению WA-систем функций Кравченко к различным физическим приложениям. Благодаря локальным свойствам как в пространственной, так и в частотной области, ортогональности, нулевым моментам и кратномасштабному анализу вычислительные алгоритмы на основе вейвлетов обладают существенными преимуществами перед преобразованиями Фурье. Поэтому большой научный и практический интерес представляет построение новых классов ортогональных, а также аналитических WA-систем функций Кравченко на основе атомарных функций. Эффективность этого подхода показана на конкретных физических примерах, относящихся к цифровой обработке сигналов и изображений.
DOI: 10.7868/S0033849415020084
1. ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
^А-СИСТЕМ ФУНКЦИЙ КРАВЧЕНКО
А. Ортогональные ЯА-системы функций {ир()}
Пусть требуется построить такую конструкцию ^А-систем функций [1—13], чтобы масштабирующая функция ф (х) образовывала совокупность замкнутых вложенных друг в друга подпространств
Уу с Ь2(1К), у е 2, порождающих кратномасштаб-ный анализ (КМА) [1—7, 10], который обладает следующими свойствами:
1. = Ь2(Щ
2. П у^у = {0}.
3. /(х) 6 V о /(2х) 6 ¥у+1.
4. Существует масштабирующая функция ф(х) е е К0, сдвиги которой образуют базис Рисса пространства К0.
Основополагающим является свойство 4. Согласно [1—7] в качестве масштабирующей функции ф(х) можно взять функцию, преобразование Фурье ф(ю) которой является четной и финитной функцией. Процесс построения ^А-системамы функций рассмотрим с использованием атомар-
ной функции (АФ) ир(р) [9], так как основные элементы алгоритма переносятся на другие семейства АФ.
Пусть У0 — подпространство в Ь2(1К), порожденное сдвигами функции ф(х). Чтобы функции фп(х) = ф(х - п) образовывали базис Рисса [1—7] подпространства К0, необходимо выполнение следующих теорем.
Теорема 1. Система {ф(х - п)} 2, полученная
сдвигами некоторой функции ф(х) е Ь2(1К), образует
базис Рисса подпространства У0 с Ь2(1К) тогда и только тогда, когда существуют положительные постоянные А и В такие, что
A < ^ |ф(ю + 2пп)|2 < B.
(1)
п^Т
Более того, для ортонормированных функций фп(х) = ф(х - п) справедлива следующая теорема. Теорема 2. Функции фп(х) = ф(х - п) образуют ор-
тонормированный базис подпространства У0 с Ь (К) тогда и только тогда, когда
^ |ф(ю + 2пп)2 = 1.
(2)
пе
(а)
(б)
У 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
П
1.0
4 t
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ю
Рис. 1. Графики функций Mpsum(t) (1), up(t + k) (2) (а), а также ф(ш) для WA-системы функций {up(®)} (б) k = —1, 0, 1.
Будем искать сначала функцию х(ю) = |ф(ю)| ,
сдвиги которой х„(ю) = х„(ю + 2пп) образуют разложение единицы
^ Х(ю + 2пп) = 1,
пе!
и сама функция удовлетворяет условиям
1) supp (/(ю)) =
2) /(ю) = 1 при ® е
(3)
4п 4п 3 ' 3 .
2п 2п
3 ' 3 J
3) /(ю) = 0.5 при ю = п. Согласно свойствам АФ [2] up(i)
^ up(t + n) = 1.
(4)
= [-2,2] к носителю supp (up2um(t)) = получим модифицированную АФ
up2um(t) = up (—t +1 ) + up (—t ) + up (• \2n ! \2n) \
2n
-t -1
(6)
ющей функции ф(ю) необходимо извлечь квадратный корень из х(ю)
ф(ю) = up(®)
up ю + l) + up (( ю) + up (( ю - l).
\2п ! \2п ! \2к I
(7)
График ф(ю) для WA-систем функций {йр(ю)} представлен на рис. 1б.
Следовательно, условие теоремы 2 выполняется по построению. Для доказательства достаточно проверить равенство (2), которое выполняется, если
|up(®)| + |up(® - 2п)|
= 1
(8)
на промежутке ю е
Чтобы ширина плоской вершины была больше или равна половине носителя функции, рассмотрим (рис. 1а) частичную сумму
upium(t) = up(t + 1) + up(t) + up(t -1). (5)
Далее перейдем от носителя supp (up[um(t)) =
4п 4п 3 , 3 .
2п 4п _ 3 ' 3 _'
Докажем теорему 2 для случая WA-системы функций {мр(ш)}' Разложим левую часть (8) в сумму ыр(')
|up(®)| + |up(œ - 2п)| = up (-3- ю) + up œ
\2п
i + 11 +
и
+ up(ю- l) + up(П(ю- 2п))+ (9)
+ up ( (ю - 2п) + 1) + up ((ю - 2п) -1). Раскрывая скобки в аргументе up(' ), получим |up(©)| + |up(© - 2тс)| = up уП ©) + up (^П © + 1) +
\2п
удовлетворяющую всем условиям, которыми должна обладать функция х(®)- Осуществим формальную замену аргумента I ^ ю — х(ю) = «р2иш(®)' Для определения преобразования Фурье масштабиру-
(( ю- 1) + up (( ю - :
+ up ю - 1 ) + up ю - 31 + + up (- ю - 2 ) + up ю - 4
(10)
0
2
ne
ПРИМЕНЕНИЕ СЕМЕЙСТВ АТОМАРНЫХ, ^А-СИСТЕМ И Я-ФУНКЦИЙ Формулу (10) запишем в виде
~ 2 ~ 4
|ир(ю)| + |ир(ю - 2п)| = I ир (—ю - п).
п=-1
Согласно свойству АФ ир(') (8) |ир(к>)|2 + |ирю - 2п)2 =
(11)
111
Согласно [8] первые два свойства КМА, сформулированные в виде теорем 4 и 5, также выполняются.
Теорема 4. Если сдвиги фп(х) = ф(х - п) масштабирующей функции ф(х) образуют базис Рисса пространства У0, то ^ ^ V = {0}.
= I ир((п
п=-1
"2п4п1
. 3 ' 3 ]
= 1.
(12)
Тогда
I |ф(ю + 2тся)|2
пеЖ
1 ир ((ю- п
п=-1
2п 4п
(13)
2п 4п 3 ' 3
= 1,
что и требовалось доказать.
Для выполнения третьего свойства КМА необходимо, чтобы выполнялось масштабирующее уравнение
ф (ш) = [ШУ^Ф (®) = П Н
к = 1
(ш^
к
V2 У
(14)
Н0(ю) = I ф(2(ю + 2пп)).
(15)
При подстановке (15) в (14) убеждаемся, что масштабирующее уравнение выполняется
Щ ю)ф I ю
= I ф(ю + 2яп)ф^-) = ф(ю). (16)
Тогда для функции Н0 (ю) справедлива следующая теорема [5].
Теорема 3. Если сдвиги фп(х) = ф(х - п) масштабирующей функции ф(х) образуют ортонормиро-ванный базис подпространства У0, то частотная функция Н0 (ю) обладает следующим свойством:
|Н)(ю)|2 + |Н (ю + п)|2 = 1. (17)
Доказательство теоремы 3 следует из (15) и (13).
1у
Теорема 5. Пусть масштабирующая функция
ф(х) е Ь2(К) удовлетворяет условию (1). Здесь ф(ю) ограничена для всех ю и непрерывна в окрестности
ю = 0. Тогда ^ _Уу = Ь2(Ш).
Таким образом, построено преобразование Фурье ф(ю) (рис. 2а) функции ф(х) (рис. 2б, кривая 1), порождающей КМА
ы
ф(х) = --П |ф(ю)ехр(Iюх)dю =
—ы
-4п/3 = 1 [ ф (ю)<
П J
(18)
) ео8 ю хйю.
Из (14) определим частотную характеристику отклика масштабирующей функции Н0 (ю). Поскольку ф (ю/2) равно единице на промежутке [-4я/ 3, 4я/ 3], а ф(ю) обращается в ноль вне промежутка [-4п/3,4я/3], то Н0(ю) равно ф(2ю) при юе [-2я/3,2я/3] и нулю при юе [-п,-2п/3] и и[2я/ 3, я].
Далее Н0(ш) продолжаем периодически с периодом 2я
Следовательно, можно определить ортогональный базис, полученный посредством сжатий и сдвигов вейвлета Кравченко у(х) е W0 У+1 = Уу © Wj, ± Уу, ± Жк для всех у, к е Ж, к ф у), который обладает многими свойствами ф(х). Согласно [1—7] преобразование Фурье функции \ф(ю) определяется по формуле
у (ю) = ехр (I ю / 2) Н^ + п)ф (ю
(19)
= ехр(Iю/2)(ф(ю - 2я) + ф(ю + 2п))ф(ю
Покажем, что сдвиги уп(х) = у(х - п) образуют ортонормированный базис [8]
I |\|/(ю + 2пп)|2 = I |\|/(ю + 4пп)|2
+
п е Ж 2
+ I (ю + 2п + 4пп)| =
Н0 ( ю + п
I
ф [ю + 2пп
+
Н0
I
ю
ф + п + 2п п
(20)
2
Н,(ю + п
= 1.
сое
юе
ше
да
0
п е
п е
п е
п е
2
X
пе
пе
А(ю)
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
(а)
'1 Г\
: 1 2
1 ) 1
10 -8
2 0 2 4 6 8 -10 ю
a(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
(б)
1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 г 1 1 1 1
-6
02
6t
Рис. 2. Спектры масштабирующей функции (1) и вейвлета (2) (а) WA-системы {up(m)} и их графики (б) при а = 2, Ж = 1.
Из (14), (17) и (19) следует свойство квадратов преобразования Фурье вейвлетов и масштабирующей функции
( 2 ю)|2 = |Н,(ш + п)| 2| ф (ш)|2 = = (1 - \Щ(ш)|2)|ф(ш)|2 = |ф(ш)|2 - |ф(2ш)|2, которое имеет вид
1ф (i)l 2 + № (i)l2 =
«I
со
y(x) = J exp(ii/2)ф(i/2)(ф(i - 2я)
-8п/3
+ ф(i + 2я))exp(/ix)di = 1 Г ф(i/2)
п J
2п/3
2) нулевое среднее: уу-п(х) йх = 0 или, что эквивалентно, ф(0) = 0;
3) сдвиги уу-п(х) = уу(х - п) при любом масштабе ] образуют ортонормированный базис.
Функции ф(х) и у(х) удовлетворяют следующим масштабирующим уравнениям:
(21)
Подставив в (21) преобразование Фурье масштабирующей функции ф(ю) и вейвлета ф(ю), убедимся в том, что оно выполняется. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что с помощью
WA-системы функций {¿/р(ю)| и масштабирующей функции уровня ] можно получить масштабирующую функцию уровня ] + 1 (принцип вложенности подпространств соблюдается). Выполнив обратное преобразование Фурье для ф(ю), получим вейвлет в пространственной области у(х) (см. рис. 2б, кривая 2)
ф(х) = 72 X hnф(2x - n),
n е Z
v(x) = 72 X gnф(2x - n), gn = (-1 )n +1 h
(23)
где {Н„} — элементы фильтра низких частот (ФНЧ) разложения Н(ш) = 72Но( ш) = V ^ Ьп х
' п е ^
х ехр(-¿пш), которые находятся разложением в ряд Фурье функции Н0(ю)
72п
Нп = — Г Н0(ш) ехр (¿пш) йш. (24)
2 п 1
-П
Для коэффициентов фильтра {Н„} выполняется условие
(22)
1X hn = H (о) = 1.
N2 n е Z
(25)
х ф(i - 2я)cosi(x + 0.5)dI.
Функция Кравченко у(х) обладает всеми свойствами, которыми должен обладать вейвлет-ба-зис. Они состоят в следующем:
1) jx)G L2 (R), I I jx)|| = 1;
Через Н(ю) фильтры определяются следующим образом (рис. 3):
G(i) = exp(ii)H(i + я) = X gnexp(-ini) =
n е Z
= X (-1)n +1 h-n-iexp(-ini)
4
n е
<yj
n е
hn
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2
(а)
gn 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6
(б)
0
10 15 20 25 30 35 n
0
10 15 20 25 30 35 n
Рис. 3. Низкочастотный {hn} (а) и высокочастотный {gn} (б) фильтры ра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.