РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 7, с. 663-694
ОБЗОР =
УДК 53.01:517.5:519.6,523.4,550.388,621.396
ПРИМЕНЕНИЕ СЕМЕЙСТВ АТОМАРНЫХ, WA-СИСТЕМ И R-ФУНКЦИЙ В СОВРЕМЕННЫХ ПРОБЛЕМАХ РАДИОФИЗИКИ. ЧАСТЬ III
© 2015 г. В. Ф. Кравченко1, 2, 3, О. В. Кравченко1, 2, Я. Ю. Коновалов2, В. И. Пустовойт2, 3, Д. В. Чуриков1, 3, 4
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 125009 Москва, ул. Моховая, 11, корп. 7 2Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005 Москва, ул. 2-я Бауманская, 5 3Научно-технологический центр уникального приборостроения РАН, Российская Федерация, 117342 Москва, ул. Бутлерова, 15 4Московский физико-технический институт (государственный университет), Российская Федерация, 141700Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 9 E-mail: kvf-ok@mail.ru, mpio_nice@mail.ru Поступила в редакцию 15.12.2014 г.
Третья часть обзора посвящена использованию семейств атомарных функций при построении весовых функций (окон) на основе сверток, позволяющих снизить уровень боковых лепестков, в задачах непараметрической оценки плотности вероятности, а также в системах фазовой синхронизации с выборками.
DOI: 10.7868/S0033849415070104
1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СЕМЕЙСТВА АТОМАРНЫХ ФУНКЦИЙ еЬа„(х)
Известно [1—16], что весовые функции (окна), построенные на атомарных функциях (АФ), нашли широкое применение в цифровой обработке сигналов (ЦОС) и изображений, анализе и синтезе антенн, при решении краевых задач математической физики, томографии, радиоастрономии, в статистических методах обработки данных и т.д. При решении таких классов задач основное внимание [1—15, 17] уделяется следующим физическим характеристикам: максимальный уровень боковых лепестков (УБЛ), когерентное усиление (КУ), максимальные потери преобразования (МПП), ширина окна на уровне 3 и 6 дБ. При этом необходимо, чтобы они обладали хорошим УБЛ и по возможности высоким КУ при малых МПП. Однако согласно принципу неопределенности [9, 10] эти требования являются противоречивыми. Предложенный подход позволяет достигнуть компромисса между ними. Для этого сначала строится многократная свертка [18], обладающая согласно свойствам преобразования Фурье низким УБЛ, а затем производится ее усечение для увеличения КУ и уменьшения потерь преобразования. Следует отметить, что свертки АФ [19—25, 29] сами являются АФ [1, 2] и могут быть найдены как решения соответствующих функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) без вычисления свертки.
А. Постановка задачи и метод ее решения
Рассмотрим построение весовой функции (ВФ) с низким УБЛ и хорошим значением КУ в виде произведения двух функций /(кх)g(x), где /(х) является многократной сверткой АФ, боковые лепестки которой быстро убывают с ростом порядка свертки, а функция g(x) обладает высоким КУ. Исследуем свертки АФ Ьа(х), которые образуют двупараметрическое семейство АФ еЬа „(х) [19-25].
Б. Основные свойства сверток атомарных функций
Рассмотрим свертку двух атомарных функций /(х) и g(x) с одинаковым параметром масштабирования а, заданных уравнениями вида
м
г(п/ ) = X с^(*х - ). (1)
т=1
К
g= X^/(«х - ^). (2)
к=1
Отметим, что эта свертка существует как свертка двух бесконечно гладких функций с компактным носителем. Преобразования Фурье уравнений (1)
и (2) представляют собой уравнения для спектров с носителем [—п/^ — 1); п/^ — 1)], удовлетворяю-функций ¥ = — и О = # следующего вида: щие условию нормировки
да
(И)п—¥Ц) = ¥ ехР (- ~1, (3) I У(х)йх = 1
—да
Теорема. При каждом п = 1,2,3, ... и а > 1 ФДУ
al a v a
(it)"gG(t) = G (- )У ^ exp \- ^1. (4) »
Xa'k=i a V a J yn = i'Ckn (-1)ky(ax + n - 2k) (9)
Перемножив (3) и (4), получим уравнение для k=0
произведения спектров P (t) = F (t )G(t) имеет единственное финитное с носителем
[- n¡(a -1); n/(a -1)] бесконечно дифференцируе-(it)nf+ngp(t) = P (t )yV cfmcgk exp /Ц (h + b )) (5) мое решение, удовлетворяющее условию норми-
a2 ' a fm gk ' Г / w , n
m k ровки I y(x)dx = 1. Для существования решения
•—да
Применив обратное преобразование Фурье к (5), необходимо, чтобы i = a n+12 -n.
согласно свойству ^exp(—)F(-) ~ f (ax + b) полу- Доказательство. Будем искать решение урав-a \a } \a) нения (9) в пространстве L> суммируемых на всей
чим уравнение для свертки p(x) = f(x)*g(x) в виде оси функций. Применив к уравнению (9) преобразование Фурье, получим
+ng> = ''fC^ - bfí - bgk). (6) n
m k a (it)nF(t) = l'Ckn (-1)k 1F(-) exp(i-(n - 2k)), (10)
Так как (6) имеет вид (1), то полученная функция k=0 a a ^a '
p(x) является АФ.
где F(t) — преобразование Фурье искомой функ-Используя явный вид (6) для вычисления ции y(x). Для упрощения выражения (10) вос-функции p(x), можно построить итерационный пользуемся тождеством, вытекающим из бинома алгоритм по методике [20, 21] или применить Ньютона быстросходящийся ряд Фурье.
n /• \ Пример 1. Рассмотрим свертку ha(x) [13] с са- у ck/ 1)k exp ( n - 2k)) =
мой собой. Применяя предложенную выше мето- n \a /
дику, получим уравнение следующего вида: k=0 ( )
3 = (exp ()-exp (-t) = 2nin sinn Í).
y"(x) = — (y(ax + 2) - 2y(ax) + y(ax - 2)) (7) ^ a ^ a'' a
4 Подставив выражение (11) в (10), имеем
Заметим, что уравнение для АФ cup(x) является п n
частным случаем (7). Повторяя данную процеду- F(t) = I—F(-)sinn (-) — = l—_F (-)sincn (-)
ру несколько раз, получим уравнение для свертки а \а) \аЦ" ап+1 \а) \а)
п экземпляров функции Ъа(х). Такую свертку бу- Тогда ¥{I) представляется в виде дем обозначать сЬ (х).
да , ,
Докажем их существование и исследуем ос- ¥(Л = П/ 2" 81ПСп | X\ (12)
новные свойства. А 1 а "+1 ^ак J
к=1
Для сходимости бесконечного произведения (12)
В. Определение г г , 0-п п+1 „
ЛгТ. , . ч необходимо, чтобы / = 2 а . Таким образом,
и теорема существования АФ спа п(х) ^
Определение. Атомарные функции сЬа п(х) — это = Пз1пС" | — | (13)
финитные решения ФДУ ^ ^ \ак)
к=1
" , Согласно теореме Винера—Пэли, функция у(х)
(п) п+1 г*-п^^к, , , * _ ^ „ ' ^ '
У = а 2 ^Сп (-1) у(ах + п - 2к), (й) существует, может быть найдена в виде
(8)
k=0
a > 1, n = 1,2,3.... 2П
y(x) = — Г exp(itx)F(t)dt и обращается в ноль вне
2п
отрезка
а - 1 а - 1.
Из (13) следует, что
Я30
I у(х)йх = 1. Теорема доказана. Полученную функцию обозначим сИ«„(х) = у(х).
Г. Основные свойства семейства атомарных функций сИ«„(х)
ТаккакД/) = Пк,- (±] = (П^
= (£«()) , то функция сИ«„(х) представляет собой свертку п экземпляров функции Иа(х). В силу этого АФ ир(х), Ь«(х), еир(х) и Е „(х) являются частными случаями АФ сИ«„(х), а именно: сИ21(х) = ир(х),
ch2l2(x) = еup(x), chaд(x) = Ь«(х), сИ„н„(х) = Е„(х). При этом уравнение (8) совпадает с уравнением соответствующей АФ. Кроме того, сИ«„(х) можно рассматривать как бесконечную свертку В-сплай-нов Шенберга степени п - 1.
Докажем некоторые свойства АФ сИ«„(х).
1. Функция сИ«„(х) — неотрицательна как свертка неотрицательных функций Ь а(х).
2. Функция сИ«„(х) — четная как свертка четных функций.
3. Согласно условиям теоремы существования
сИ «Лх)ёх = 1, а 8ирр(еЬ«„(х)) =
а -1 а -1.
сИ«,„(х) =
а -1
(
да
1+1 '
Пда
sinc
к=1
к=1
а
а - 1 , \ /а - 1 , -пк со^ -пкх
( „
Л/ \ „ + 1п -„ Т„
А(у) = а 2 I
XСкп (-1)ку(ах + п - 2к)
где I(у(х)) =
Г
>/(а-1)
V к=0 у(})йг.
Тогда сИ«„(х) будет пределом равномерно сходящейся последовательности {¡к(х)}, ¡к(х) = А (¡к_1(х)).
Различные варианты реализации алгоритма изложены в [19—25].
6. Производные сИ«„(х) порядка кратного п вычисляются последовательной подстановкой выражения (9) в самое себя.
7. Функция с\„(х)*с\т(х) = сИ«„+т(х).
8. Сдвиги АФ сИ«„(х) обеспечивают разложение единицы
ке!
- X сЬ«,„ (х + —) = 1.
4. При периодическом продолжении АФ cha„(x) представляется рядом Фурье вида
5. Другим способом вычисления АФ сИ«„(х) является итерационный алгоритм, основанный на том, что сИ«„(х) как решение уравнения (9) будет неподвижной точкой следующего оператора:
Доказательство. Обозначим Б(х) = = ~Хк ! еЬ«„ (х + —). Тогда согласно уравнению (9)
Б (х) = 0. Из этого следует, что Б(х) — многочлен степени не выше п. Заметим, что Б(х) — ограниченная функция. Следовательно, Б (х) = Б — константа, значение которой равно а/2.
Отметим, что сдвиги функции сИ«„(х) точно представляют не только единицу, но и многочлены любой степени вплоть до степени п - 1. Доказательство этого факта проводится аналогично пункту 8. Свойство точного представления многочленов позволяет использовать сдвиги функций сИ«„(х) в качестве эффективного аппарата интерполяции гладких функций. Алгоритмы одномерной и двумерной интерполяции сдвигами АФ Л« , „(х) описаны в [24, 25].
9. Полезным свойством АФ является возможность вычислять их моменты по рекуррентным формулам, не прибегая к операции интегрирования.
Построим рекуррентные формулы для моментов еЬ«2. Известно, что моменты функции связаны с коэффициентами разложения в ряд Тейлора ее преобразования Фурье
2/(«-1)
I х2т сИ« 2 = (-1)т(2т)! С2т.
-2/(«-1)
Преобразование Фурье еЬа 2 имеет вид (13). Для него справедливо равенство
"(0=8,пе2 (а) ' (а).
(14)
„
„
ОТ
„
Разложим обе части равенства (14) в ряды Тейлора в точке t0 = 0. Для этого представим
2
sine
т
в виде
• 2 t sine - =
• 2 t sin -
a! _
1 - cos (a)_
2 (
(-1)* ((
a
2k+2
( 1)* 22k+1t 2*
k=o (2k + 2)! 2 I-
a
t_\2 k=0(2k + 2)! a
2k'
Так как преобразование Фурье (13) четная функция, то только коэффициенты при четных степенях t отличны от нуля, а (14) принимает вид
Д. Новый класс весовых функций и его основные свойства
Впервые идея использования сверток АФ в ЦОС была предложена В.Ф. Кравченко, В.А. и В.Л. Рвачевыми в [3, 4]. Введение нового семейства сЬап(х) позволяет обобщить некоторые результаты [3, 4]. Исследуем новые конструкции весовых функций (окон) следующего вида: = = сЬа ^^/сЬа^ф), где множитель 5 = (а - 1)/п приводит функцию к носителю [—1; 1]. Согласно [1— 15, 17], для исследования физических свойств семейства новых окон используем следующие физические характеристики.
1. Максимальный УБЛ (дБ)
к1 = -20^ шах \\ (юк)/\(0),
/ ^ 21+1.21
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.