КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2014, том 59, № 2, с. 173-183
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ
УДК 548.1
ПРИМЕНЕНИЕ СЛОЕВЫХ ГРУПП РОЗЕТОЧНЫХ Р-СИММЕТРИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ПЯТИМЕРНЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ
КАТЕГОРИИ G532 © 2014 г. А. Ф. Палистрант
Молдавский государственный университет, Кишинев E-mail: mepalistrant@yandex.ru Поступила в редакцию 27.11.2012 г.
Известные пространственные кристаллографические слоевые группы G32, сохраняющие инвариантной в трехмерном пространстве двумерную плоскость, представлены в символике, отражающей полную систему их образующих элементов. Отмеченные классические группы обобщены с кристаллографическими розеточными Р-симметриями при P — G20. Доказано, что полученные при
р
этом новые слоевые группы G32 розеточных Р-симметрий интерпретируют с точностью до строения
все различные группы симметрии пятимерного евклидова пространства с инвариантными трехмерной и вложенной в нее двумерной плоскостью, т.е. группы симметрии категории G532 в краткой записи. Установлена структура выявленных пятимерных групп симметрии, моделируемых разными
р
типами слоевых групп G32 розеточных Р-симметрий. DOI: 10.7868/S0023476114020179
ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Под слоем понимаем пространственную фигуру, бесконечную в двух измерениях. Интерпретировать слой можно вложенной в пространство инвариантной двусторонней (с "верхом" и "низом") плоскостью, именуемой плоскостью слоя. Совокупность преобразований симметрии пространства, сохраняющих в нем плоскость слоя и не сохраняющих инвариантными ни одной точки и ни одной прямой в этом пространстве, составляют мультипликативную группу, которую назовем слоевой группой симметрии. Такая группа является дискретной, если ее преобразования симметрии удовлетворяют следующим двум аксиомам: где бы в пространстве ни поместить цилиндр некоторого радиуса Я с образующей, перпендикулярной плоскостью слоя, внутрь его попадут эквивалентные образы любой наперед заданной точки слоя (однородность); хоть одна точка слоя не имеет сколь угодно близких к ней ее эквивалентных образов (дискретность). В символике, неоднократно использованного ранее способа записи рассматриваемых групп симметрии по наборам особенных элементов, нужные нам слоевые группы симметрии получают запись 032, ввиду того, что они, согласно определению, сохраняют инвариантной в трехмерном пространстве вложенную в него двумерную плоскость. Следовательно, эти группы являются подгруппами пространственных федоровских групп 03, полностью выписанных в приложении 1 в [1].
Для удобства применения шубниковского метода при обобщении дискретных слоевых групп симметрии 032 с антисимметрией [1, 2] и другими ее расширениями, подробно описанными в [1, 3, 4], нужно было отмеченные группы симметрии представить не в интернациональной символике, как это осуществлялось в [5, 6], а в новой символике, отражающей полную систему их образующих элементов. Такая символика в духе [7] для записи слоевых групп симметрии 032 была предложена в [8].
Введя в этой символике векторы а и Ь, на которых строится параллелограмм Бравэ соответствующей сетки слоевых групп симметрии, получим
группы переносов {а, Ь} и |а, а + Ь |, обозначаемые в интернациональной символике одной буквой А и С соответственно, что нарушает полноту системы образующих элементов нужных групп.
Далее обозначим символами а2 и -т (где вектор d равен a, Ь или а + Ь) соответственно двой-
а
ную винтовую ось с ходом винта - и плоскость со
скольжением ^ (ср. [8]). Индекс а или Ь справа
внизу элемента симметрии в этой символике характеризует его сдвиг на соответствующий вектор
от главной оси, перпендикулярной плоскости слоя; символ боковой плоскости справа от главной оси означает ее перпендикулярность вектору а, а слева — параллельность ему, символ боковой двойной оси справа от главной означает ее параллельность вектору а, а слева — перпендикулярность этому вектору (ср. [3]). Точка и двоеточие между символами элементов симметрии сохраняет обычный по Шубникову смысл, т.е. параллельность направлений элементов симметрии или их перпендикулярность соответственно [1, 2]. В группах, где нет осей, нормальных плоскости слоя, вводим вспомогательную единичную ось 1, которую условимся считать перпендикулярной плоскости слоя (ср. [8]).
Рассмотрим любое преобразование / из слоевой группы 032. Его можно разложить в произведение переноса ж на вектор, лежащий на плоскости слоя и "поворота" w вокруг наперед заданной точки О, также лежащей на плоскости слоя этой же группы: / = ж ■ м>. Поставив в соответствие всякому/входящий в него "поворот" w, получим гомоморфизм взятой слоевой группы из множества 032 на множество "поворотов" V, составляющее конечную точечную группу симметрии таблетки 0320 [9]. Ядром гоморфизма служит двумерная подгруппа параллельных переносов Т, тогда по основной теореме о гомоморфизмах Т — нормальный делитель в 032, а фактор-группа 032/Т изоморфна Ж[9].
Всех слоевых (трехмерных плоскостных) кристаллографических групп симметрии 032 80, из которых 43 симморфных, 16 гемисимморфных и 21 асимморфная. В [8] эти группы полностью приведены в табл. 1 в предложенной и интернациональной символиках, взятых из [6]. Из таблицы следует, что всякая группа симметрии слоя 032 есть произведение группы, порожденной переносами на два неколлинарных вектора а и Ь, лежащих в плоскости слоя, на группу, образующие элементы которой не являются переносами. Воспроизведем каталог слоевых групп симметрии 032 в предложенной в [8] символике в такой последовательности: симморфные, гемисимморфные и асимморфные слоевые группы.
Слоевая группа симметрии 032 называется симморфной, если исходную точку О можно выбрать так, что эквивалентные ей точки образуют сетку Я, связанную с двумерной подгруппой переносов Т этой группы. Следовательно, слоевые группы разлагаются в полупрямое произведение двумерной группы параллельных переносов, порожденных двумя переносами на основные векторы, лежащие в плоскости слоя, и точечной кристаллографической группы симметрии двусторонней розетки (таблетки) О320 [10]. Отсюда становится ясно, как можно вывести такие группы — все сетки одной сингонии из пяти различ-
ных между собой [7] поочередно комбинировать со всеми точечными группами таблетки, относящимся к этой же сингонии. Гемисимморфной называется слоевая группа, подгруппа преобразований симметрии первого рода которой симморф-ная, но сама группа не симморфная, ибо в гемисимморфной слоевой группе имеются такие преобразования симметрии / = ж ■ т, что по отдельности ж и т не принадлежат слоевой группе, но ее преобразования симметрии первого рода образуют симморфную группу. Следовательно, для получения слоевых гемисимморфных групп нужно "испортить" слоевую симморфную группу, т.е. среди элементов симметрии симморфной слоевой группы ее плоскость симметрии превратить в плоскость скользящего отражения (ср. [10]). Асимморфные слоевые группы — это группы симметрии, в которых среди преобразований симметрии первого рода имеются неразложимые на переносы и повороты в самой группе. Следовательно, асимморфные слоевые группы выводятся из слоевых симморфных групп путем превращения их двойных осей, лежащих в плоскости слоя, в соответствующие винтовые оси [10].
Симморфные слоевые группы симметрии имеют следующую запись: {а, Ь}, {а, Ь}(2),
{а, Ь}(1 ■ т), {а, Ь}(2-т), |а, |(1 ■ т), |а, |
(2 ■ т), {а, Ь}(4), {а, Ь}(4 ■ т), {а, Ь}(3), {а, Ь}(3 ■ т), {а, Ь}(т ■ 3), {а, Ь}(6), {а, Ь}(6 ■ т), {а, Ь}(1 : т), {а, Ь}(2 : т), {а, Ь}(1 : т ■ 2), {а, Ь}(2 ■ т : 2),
|а, а-+Ь| (2 ■ т : 1), |а, а-+Ь| (2 ■ т : 2), {а, Ь}(4 : т),
{а, Ь}(4 ■ т : 2), {а, Ь}(3 : т), {а, Ь}(2 ■ т : 3), {а, Ь}(3 : т ■ 2), {а, Ь}(6 : т), {а, Ь}(6 : т ■ 2),
{а, Ь}(2), {а, Ь}(2 : 1), {а, Ь}(1 ■ т : 2), {а, Ь}(2 : 2), •|а, ^ (2 : 1), ^ ^ (1 ■ т : 2), |а, ^ (2 : 2),
{а, Ь}( 4), {а, Ь}( 4 ■ т), {а, Ь}(4 : 2), {а, Ь}( 4 : 2),
{а, Ь}(2 : 3), {а, Ь}(3 : 2), {а, Ь}(6), {а, Ь}(3 ■ т : 2), {а, Ь}(6 : 2), {а, Ь}(2 : т ■ 3) — всего 43 группы.
Гемисимморфные слоевые группы симметрии
запишутся следующим образом: {а, Ь} ( 1 • ^т) >
{а, Ь} (2 • 2т) , {а, Ь} (2 • 2т,) , {а, Ь} (4 • 2та), {а, Ь} (1 : 2т) , {а, Ь} (2 : 2т) , {а, Ь} (2 • 2т : 1) , {а, Ь} (2 • ат : 1) , | а, Ц(2 • 2т : 1) , {а, Ь} (2 :
: Ьт • 2 , {а, Ь} (1 • 2т : 2) , {а, Ь} (2 • т : 1) , {а, Ь} (2 : т • 2) , {а, Ь} (4 : а-+Ьт) , {а, Ь} (4 :
. а + Ьт . 2) ; {а, Ь} (4 • Ьта) — всего 16 групп.
Асимморфные слоевые группы симметрии запишутся так: {а, Ь} (а2 • т : 1) , {а, Ь}(2 : т • а-2)) ,
{а, Ь} Г2 • 2-та : 2-2^^ , {а, Ь} (4 • 2-та : ^ , {а, Ь}
2 4 2 4 4 2 4 2 4
(2-2 • 2т : 1) , {а, Ь}(2-2 : ^ , {а, Ь}(2-2 • |т : ^ , {а, Ь} (2 • т : 22) , а, а-±-Ь}(2 • т : , {а, Ь}(2 : -2) , {а, Ь} (1 • т : ^ , {а, Ь} (2 • 2т : 2-2^-) , {а, Ь} (2 : 2т • 2-2) , {а, Ь}(1 • 2т : 2-2^ , {а, Ь}(2 : 2-2--) , {а, Ь} (2-2 • т : 1) , {а , Ь } (2 • т : 2 2а) , {а, Ь} (2 • 2т : 2-2) , {а, Ь}(4 • т : ^ , {а, Ь}(4 : 2-2-), {а, Ь}(4 • - та) — всего 21 группа.
( 2 4)
Имея полный перечень слоевых групп 032 в нужной символике, можно обобщить эти группы с розеточными Р-симметриями и полученные результаты использовать для исследования пятимерных групп симметрии с инвариантными трехмерной плоскостью и вложенной в нее двумерной, т.е. пятимерных групп симметрии категории 0532 в краткой записи. Решение этой задачи и является главной целью данной работы.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Р-СИММЕТРИИ
Для решения поставленной задачи понадобит-
р
ся каталог слоевых групп 032 розеточных Р-сим-метрий при Р = О20, когда группа Рпоследовательно изоморфна каждой из десяти двумерных кристаллографических точечных групп симметрии розеток О20. В схеме Р-симметрии розеточные Р-
пР
симметрии, нульмерными группами &0 которых интерпретируются группы симметрии О20, исчерпываются р- и (р')-симметриями прир = 1, 2, 3, 4, 6 [11]. Следовательно, сначала нужно вывести
р
слоевую группу 032 р- и (р')-симметрии прир = 1,
2, 3, 4, 6.
Отметим [1, 3, 4], что такие группы делятся на порождающие, старшие, младшие и 0-средние. Порождающие группы любой Р-симметрии совпадают с рассматриваемыми классическими группами с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.