РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2007, том 52, № 12, с. 1413-1421
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621. 371. 334:537.874.6
ПРИМЕНЕНИЕ СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА НЕЗАМКНУТОМ ЭКРАНЕ В ПЛОСКОМ ВОЛНОВОДЕ
© 2007 г. С. А. Маненков
Поступила в редакцию 15.05.2007 г.
Разработан новый метод решения задачи рассеяния на тонком металлическом экране, расположенном внутри планарного волновода. Метод применим для любой геометрии экрана и может быть распространен на задачи рассеяния на телах и незамкнутых экранах, расположенных в сложных слоистых структурах.
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе рассмотрена двумерная задача дифракции основной моды плоского диэлектрического волновода на бесконечно тонком металлическом экране, расположенном внутри волновода. В основе метода решения задачи лежит метод продолженных граничных условий (МП-ГУ), который предложен в [1]. Основная идея метода состоит в том, что граничное условие краевой задачи "переносится" на вспомогательную поверхность, расположенную на небольшом расстоянии от исходной поверхности в области, где определяется поле. При этом задача сводится к решению интегрального уравнения 1-го рода относительно искомой функции (тока) с гладким ядром. В работах [1-3] для решения указанного интегрального уравнения применен метод коллока-ции [4], причем искомый ток разлагался либо по кусочно-постоянным функциям, либо по базису, состоящему из вейвлетов. В данной работе также использован метод коллокации, но основанный на разложении тока по базису из 5-сплайнов. Еще одно существенное отличие рассматриваемого метода состоит в том, что в данной задаче приходится учитывать слоистый характер среды. В такой ситуации в методе коллокации (при любом выборе базиса) возникает необходимость вычислять двойные интегралы. Это обусловлено видом функции Грина для плоскослоистой среды. Таким образом, объем вычислений очень громоздкий. Для преодоления указанной трудности ядро интегрального уравнения разбивали на две части : сингулярную и регулярную. Интегралы от этих частей вычисляли по отдельным алгоритмам, что позволило существенно сократить объем вычислений.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим математическую постановку задачи. Пусть бесконечная незамкнутая цилиндриче-
ская поверхность (экран) расположена внутри планарного волновода (слоя) толщиной 2ё, который ограничен двумя одинаковыми диэлектрическими полупространствами. Для упрощения формул будем предполагать, что экран симметричен относительно оси волновода, т.е. оси х (рис.1). Ось г направлена вдоль образующей цилиндрической поверхности. В силу того, что задача двумерная, можно рассмотреть отдельно случаи Е- и Н-по-ляризации. В качестве первичного поля выберем основную моду плоского волновода. Обозначим область внутри слоя через В,, а область вне волновода - через Ве. Считаем, что г, и ге - диэлектрические проницаемости в областях О, и Ве. Полное поле удовлетворяет уравнениям Гельмгольца:
А и + к2 и = 0 (1)
или
А V + к2 V = 0 (2)
соответственно внутри и вне слоя, а также условиям сопряжения
43 и
X У = - !
Рис. 1. Геометрия задачи.
1414
Щу = ±d V\y = ±d,
д n
= V
у = ±d
Э n
у = ±d
MAHEHKOB
случае Е-поляризации и ■Э G
(3)
на границах волновода. В формулах (1) - (3) в случае Е-поляризации U = Ez (или V = Ez), а в случае H-поляризации U = Hz (или V = Hz). Величина V равна единице в случае, если рассматривается Е-поляризованное поле, либо ег/ев в случае H-поля-ризации. Вторичное (рассеянное) поле удовлетворяет условию излучения на бесконечности:
lim U1 = 0, lim V1 = 0, Im к, ke < 0. (4)
r ^ га r ^ га
На поверхности экрана S полное поле удовлетворяет условию
U|s = 0 (5)
в случае рассеяния Е-поляризованной волны или
ЗЩ д n
= 0
(6)
в случае дифракции ^-поляризованного поля. Здесь д/дп означает дифференцирование по внешней нормали, U = U0 + U1. Поле U0, представляющее собой поле нулевой моды рассматриваемого волновода, распространяющейся при отсутствии тела, определяется по формуле
U (X, y) = cos (p,y) exp (—вх), |y| < d, (7) и аналогично первичное поле вне волновода есть V = cos(pd)exp(pe(d- |y|))exp(-iвх),
lyl > d,
где^ = ^к2 - ß2, pe = Vß2 - к2 (считаем, что к > ke). В формуле (7) ß - постоянная распространения, которая удовлетворяет уравнению
(Рг tg (Prd) - Pi V)( Pi ctg (pd) + рг V) = 0. (8)
Заметим, что рассматриваемый подход полностью может быть распространен на случай произвольного первичного поля и произвольного расположения и формы экрана.
2. ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Будем решать поставленную задачу при помощи МПГУ. Получим интегральное уравнение относительно неизвестного тока на поверхности экрана. Используя теорему Грина, можно записать выражение для рассеяного поля внутри волновода:
U1 (х, у) = J G(Г, Г' )j(Г')dss
(9)
U1 (х, у) = J |Gj (r') ds'
в случае Я-поляризации. Здесь д/дп' означает дифференцирование по внешней к поверхности
нормали, ](Р) - неизвестный ток на поверхности экрана, причем
формуле (9) j( r) = -д-П
формуле (10)](г) = и\5. В формулах (9) и (10) О -функция Грина рассматриваемой слоистой среды. Нетрудно показать, что функция Грина внутри диэлектрического слоя имеет следующий вид:
О(х, у, ху') = Оо(х, у, ху') + Ог(х, у, ху'), (11)
где
Go(х, у, х', у') = -4H02)(kV(х - х')2 + (у - у')2),
Gi(х,у, ху') = J [cos(y,(у + у'))-
+ ^oexp (-2iytd) cos (yг(у - у' ))х R0exp(- 2iуid - iк(х - х'))
(12)
(13)
dK.
Здесь
Ro (к) =
Y ,■ - V Y e
Y i + V Y e
А(к) = 1- RO (k) exp (-4 iY
M
Y
22 - к ,
Y e
Д
22 - к .
(14)
(15)
(16)
Подставим формулу (9) или (10) соответственно в граничное условие (5) или (6). В соответствии с МПГУ данное граничное условие задается не на самой поверхности экрана, а на некоторой вспомогательной поверхности X, смещенной на небольшое положительное расстояние 5 относительно исходной поверхности 5 (см. рис.1). В результате получим следующее интегральное уравнение:
JG(Г, r')j(r')ds' = -U
S
случае Е-поляризации или
J
(17)
i (r') ds1 = -дЩ0
д n д n ' J (r ) ds д n
(18)
для Я-поляризации. В обеих формулах г е X. Заметим, что в данных интегральных уравнениях
S
S
S
S
S
ядро является гладкой функцией, так как точка источника и точка наблюдения не совпадают, т.е. находятся на разных поверхностях. Вследствие этого, в уравнении (18) дифференцируем под знаком интеграла, что допустимо, так как подынтегральное выражение не имеет особенности в рассматриваемом случае. Такая структура ядер полученных интегральных уравнений очень удобна для построения вычислительного алгоритма.
З.ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ СПЛАЙНОВ
Будем считать, что уравнение контура г е Ъ экрана задано в параметрической форме:
X = х, (г), у = у, (г),
(19)
где г - безразмерный параметр, который изменяется в интервале [-г0, г0]. Тогда уравнение вспомогательного контура имеет вид
X = хъ(г), у = Ух( г),
(20)
где
Хх(г) = X,(г) , Ух(г) = у,(г) -^8,
г) п,( г) (21)
Ь (т) =
~и°( г), Е-
поляризация,
(у^ дХ - Х£ ду ^ и° (г), Н - поляризация,
(25)
концах экрана [4]. Тогда получим следующее интегральное уравнение:
|р(г)К(т, г)ц(г)Ж = Ь(т),
(26)
где
Р(т) =
1Цг20- т2, Е-поляризация,
г о- т
(27)
Н - поляризация.
При этом новая неизвестная функция ц(г) = = цх(г)/р(г) будет гладкой. Представим функцию ц(г) в виде линейной комбинации В-сплайнов с четным числом узлов. Разобьем интервал [-г0, г0] точками
т„ = - *о + (П -0.5)N п = 1, 2, ..., И, (28)
и выберем на рассматриваемом интервале сетку в соответствии с формулами [5]
*п =
(г) = 7х.2 + у.2.
Здесь точка означает дифференцирование по параметру г. Интегральные уравнения (17) и (18) могут быть записаны в общем виде:
'о
|К(т, (г)Ж = Ь(т), теИо, *о], (22)
-го
где ядро вычисляется по формулам
К(т, г) = О(Гх(т), г)) (23)
в случае Е-поляризации и
„, ч 1 Л Э . Э V - дО . ЭОЛ ....
К(т,г) = х^д)уАу*э7"х-ъу) (24)
в случае Н-поляризации и = ](г, )Ь,(г). Правая часть имеет вид
tо, п 1 ^ • • ^ к,
п - (к-1)/2
п - (к - 1)/2 - 1
п = к + 1, к + 2, ..., N, ио, п = N + 1, N +2, ..., N + к,
(29)
где к - порядок сплайнов, причем к - нечетное число. В случае разложения неизвестной функции по сплайнам четного порядка формулы (28) и (29) необходимо заменить следующими:
тп = - *о ■
2*о(п -1)
п = 1, 2, ..., N,
гп =
--г,
о 5
п - к/25
N - 1 п = 1, 2, ..., к,
п = к + 1, к + 2, ..., N,
(30)
(31)
■Л,
п = N + 1, N +2, ..., N + к.
Данный выбор сплайнов соответствует условию в концевых точках интервала [-г0, г0] типа "нет узла" [5]. Заметим, что в [5] приведена удобная рекуррентная формула для вычисления сплайнов любого порядка. Таким образом,
г) = £ СпВкп (г),
(32)
где г = тъ (т).Для численного решения уравнения (22) выделим в явном виде особенность тока на
где Вп (г) - сплайн порядка к, принимающий ненулевые значения на интервале [гп, гп + к], п = 1, 2, ..., N. Подставим далее формулу (32) в уравнение (26) и приравняем полученное выражение в точках кол-локации, которые выберем в точках тп. В резуль-
N
п = 1
тате получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида
I-
= Ьт, т = 1, 2, ..., Ы,
(33)
п = 1
которой
А =
|р( X) К(Тт, X) Вкп( X) йх, Ьт = Ь(Тт ) . (34)
К(Т, X) = К0(Т, X) + К1 (Т, X),
(35)
А = А + А1
тп тп тп
(36)
вать сплайны того же порядка, что и при аппроксимации тока:
К1 (Тт, X) = I ( X) .
(38)
I = 1
Полученная матрица СЛАУ хорошо обусловлена, так как, во-первых, ядро интегрального уравнения имеет максимум при совпадении аргументов и, во-вторых, точка коллокации с номером т находится в точке максимума сплайна того же номера.
Основной проблемой при решении данной СЛАУ является вычисление матричных элементов, которые представляют собой двойные интегралы (см. выражения для функции Грина). Для преодоления этой трудности представим ядро интегрального уравнения (26) в виде суммы:
Коэффициенты Кт1 могут быть найдены из алгебраических систем:
N
I Вр1Кт, = К1 (Тт,Тр), (39)
I = 1
где Вр1 = В\(Тр), т,р = 1, 2, ..., N. Матрица ||Вр|| является ленточной с преобладающей диагональю, а для решения систем с подобными матрицами разра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.