АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 3, с. 386-399
УДК 534.26
ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА РАССЕЯНИЯ ЗВУКА НА СЛУЧАЙНЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛНАХ ОКЕАНА
© 2007 г. А. К. Морозов, Д. А. Колоси
Woods Hole Oceanographic Institution, Woods Hole, MA, 02543 USA E-mail: amorozov@whoi.edu, jcolosi@whoi.edu Поступила в редакцию 22.11.06 г.
Рассматривается рассеяние узконаправленного слабо расходящегося звукового пучка на случайных неоднородностях флуктуирующего океана в приближении метода связанных акустических мод. Случайный коэффициент рефракции звука определяется в виде разложения по модам внутренних волн с энергетическим спектром Гаррета-Манка, и задача решается с помощью стохастических дифференциальных уравнений для статистических моментов первого и второго порядка. Уравнения определяются в соответствии с методом кумулянтных разложений. Существование узконаправленных слабо расходящихся пучков звуковых лучей при дальнем распространении звука было одним из последних отрытий Л.М. Бреховских, которому он придавал большое значение. Концентрация звука в виде узких пучков вдали от оси подводного звукового канала была замечена экспериментально и получила объяснение в работах Бреховских и его учеников Гончарова, Курте-пова, Петухова. В работе рассчитывается интенсивность рассеянного поля звукового пучка для различных частот и глубин источника. Получены аналитические выражения для коэффициентов дифференциального уравнения. Анализируется обмен энергией между акустическими модами в процессе дальнего распространения слабо расходящегося звукового пучка. Проводится сравнительный анализ расчетов, сделанных предлагаемым методом и традиционно используемым методом Монте-Карло в приближении параболического уравнения.
PACS: 43.30, 43.30.Bp, 43.30.Ft
1. ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящается исследованию рассеяния слабо расходящегося пучка звуковых лучей [1-4] при дальнем распространении в океане через случайное поле внутренних волн.
В соответствии с современными представлениями акустики океана акустическая энергия в океане рассеивается на флуктуациях скорости звука, вызванных в первую очередь наличием внутренних волн. Статистика акустических флуктуаций в случайном океане определяет структуру оптимальных алгоритмов обработки сигналов и потенциальные характеристики систем измерений. Стохастические свойства акустических полей, рассеянных внутренними волнами при достижении условий насыщения на больших расстояниях, изучены недостаточно. В соответствии с современной лучевой теорией предполагается высокая чувствительность траекторий к малым возмущениям начальных условий и параметров среды. При дальнем распространении этот эффект ведет к усложнению акустического поля и в конечном итоге к лучевому хаосу. Методы, основанные на возмущении звукового поля, распространяющегося вдоль исходных лучевых траекторий, плохо
применимы для расчета звукового поля в таком случае. Поэтому приближение параболического уравнения и теория связанных мод являются основным инструментом исследования низкочастотного поля звука на больших расстояниях. Группа авторов [5-7] изначально рассматривала акустическое поле в приближении параболического уравнения, обосновала применимость марковского приближения и получила дифференциальные уравнения для статистических моментов. Дозьер и Тапперт [8] предложили статистическую теорию распространения звука в океане со случайными внутренними волнами на основе разложения по нормальным модам и стохастических дифференциальных уравнений в марковском приближении. Эта теория не учитывала межмо-довые корреляции. В статье [9] были получены приближенные аналитические выражения для меж-модовых корреляций, применимые на не слишком больших расстояниях от источника. Марковский подход развивался далее в статьях [10-12]. Обзоры по методам анализа статистических моментов случайного поля с помощью дифференциальных уравнений в марковском приближении можно найти в книгах [13, 14]. Поскольку коэффициен-
ты в модовом разложении акустического поля в океане со случайной средой удовлетворяют системе простых дифференциальных уравнений со случайными параметрами, в статистической физике существует много примеров процессов, соответствующих такой модели. Такие дифференциальные уравнения так же, как и уравнения Лан-жевена со случайным аддитивным шумом, называются стохастическими, несмотря на то что флуктуации в них входят параметрически. Эта форма стохастических уравнений в общем случае была изучена в ранних работах Кюбо и Ван-Кам-пена [15-17] и применительно к рассеянию звука в [18]. Эти результаты положены в основу анализа, проводимого в настоящей работе.
Целью настоящей работы является обобщение теории стохастических дифференциальных уравнений для корреляции мод звукового поля на случай учета взаимных модовых корреляций и демонстрация возможности использования метода для моделирования детальной пространственной картины интенсивности акустического поля в присутствии внутренних волн. Обсуждается соответствие данного подхода с марковским приближением, развитым в работах [5-12]. Первоначальное акустическое поле берется в виде слабо расходящегося пучка как интересный пример для такого анализа. Интенсивность рассеянного поля рассчитывается для различных частот и глубин источника. Получены аналитические выражения для коэффициентов дифференциального уравнения. Найден быстрый, вычислительно эффективный вариант решения уравнения, позволяющий значительно увеличить число учитываемых мод.
Статья организована следующим образом. Настоящая секция 1 является вступлением. В секции 2 рассматриваются и сравниваются два различных подхода для обоснования дифференциальных уравнений для среднего значения рассеянного поля. В секции 3 выводится дифференциальное уравнение для функции корреляции и описывается быстрый алгоритм вычислений. В секции 4 рассматривается статистическая модель внутренних волн со спектром Гаррета Манка и связь ее параметров с коэффициентами дифференциального уравнения. В секции 5 рассматриваются особенности вычислительного алгоритма. В секции 6 обсуждаются условия генерации узкого слабо расходящегося пучка. В секции 7 представлены результаты компьютерного анализа полученных дифференциальных уравнений для распространения акустического пучка в присутствии поля внутренних волн и сравнение полученных результатов с моделированием методом Монте-Карло. Секция 8 посвящена итогам и выводам.
2. ДВА РАЗНЫХ ПОДХОДА К ОБОСНОВАНИЮ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ МОДОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Допустим, что скорость звука в океане с(х, 2) состоит из средней скорости звука профиля С (2), зависящего только от координаты глубины 2 и возмущения 5с(х, 2), зависящего также и от расстояния по горизонтали х, с(х, 2) = С (х) + 5с(х, 2). Предполагая, что акустическое давление имеет форму р(х, 2) = ¥(х, 2)ехр[г(к0х - юО], можно использовать параболическое дифференциальное уравнение для волновой функции Ф(х, 2).
—2г Ко"^ — 7
дх д22
+ (К2- К2 ( х, 2 ))¥, (1)
где к = ю/с(х, 2), к0 = ю/с0, ю = 2л/
Представление волновой функции как разложения по невозмущенным модам фп(2) имеет вид:
¥(х, 2) — £ Лт(х)ф„(2), (2)
= 1
Фи = 0; т 2) = ВД, К =
т — 1
где
а _2. ч 2 —2 + К (2) - К„
а2
= ю/ с.
Модовые амплитуды Лт(х) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений
22 кп — Ко
дЛ„ = г_„_
д х 2 К0
N
Лп г ^ , ртпЛт
(3)
со стохастической стационарной матрицей связанных мод с коэффициентами
и
Ртп — к0 [6с(х' 2)Фп(2)фт(2)а2, (4)
J со
где и - глубина океана.
После исключения множителей с детерминированными осцилляциями из комплексных амплитуд мод, уравнение принимает вид
д и
N
"дхП = —г ^ еХР (—гктх) Ртп еХР ( гкпх)ит,
где
ип = Лп ехр (—гкпх); кп — или в матричной форме
22 Кп — Ко
2 ко
N
2
т — 1
о
т—1
dU ..„, ----- = iMU, dx
(5)
где M - квадратная симметричная матрица со случайными, связанными с флуктуирующей средой компонентами,
U = { un } = { An exp (-iknx)}, U( x = 0) = U0, M( x) = {-exp (-ikmx )Pmn( x) exp (iknx)} .
(6)
В том случае, когда матрица M есть многомерный гауссов процесс, из (5) и (6) строго следует уравнение для среднего значения (Ц). Система стохастических дифференциальных уравнений (5) со случайными параметрами М типична для многих процессов статистической физики. Решение стохастических уравнений типа (5) было в общей форме рассмотрено в работах Кюбо и Ван-Кампена [1517]. Это решение имеет вид операторной экспоненты с временным упорядочением ('о'):
( x
U = expo
iJ M(x') dx'
U
i x
expc
ijM( x )dx = X
i
^ 0
i x i
0
x ч m
i J M(x') dx'
m!
(7)
X <<M(x1)M(x2)...M(xm)>>dx1dx2...dx„
/ x -4
exp
-J dxj J dx2 <M( x j) M( x 2 )>
4 0 0 ' Принимая во внимание (7), найдем
ё- (Ц) = -& (М(х)М(х'))ёх' X
X ехр(-йх2 Мх^Х^^Ц = = - |х (М (х)М(х'))ёх'( Ц).
В итоге, после замены переменных получим
d < U> = -J (M( x )M( x - £)> d^< U>,
(8)
где ^ = х - х'.
После некоторого переходного процесса интеграл стабилизируется и становится не зависимым от расстояния со значениями, соответствующими бесконечным пределам. Это позволяет получить уравнения в окончательном виде:
d < U> = -J<M(x)M(x - £)>d^< U>.
(9)
x-11 -1
X imJJ... J M(x 1 )...M(xm-1)dxj ...<
m - 1 •
m =0 0 0
Если случайные процессы М(х) и (^М (х')ёх')
являются гауссовыми, то все его кумулянты порядка выше второго равны нулю и кумулянт ((М(х1М(х2))) = (М(х1)М(х2)), где ((■)) - оператор кумулянта; (■) - оператор среднего значения. Отметим, что компоненты ((Мп(х)ёхпМ(х])ёх^^)) в общей экспоненциальной форме исчезают для всех порядков, где п > 1, когда ёх —► 0, и можно найти простой кумулянтный интеграл для индекса экспоненты [15]:
< U> = exp(
i J M (x) dx
exp
/ ^ x m
xx
X imJdx1 Jdx2... J
dx m X
m =1 0 0
При выводе (9) мы не использовали предположения, что процесс марковский, при этом существенным требованием являлась нормальность случайной матрицы М. Дополнительным преимуществом данного подхода является также формальный учет членов очень высокого порядка.
Другой подход основан на предположении, что случайный процесс (Ц) марко
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.