РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 10, с. 1199-1204
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.396.98
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КОТЕЛЬНИКОВА К ОПИСАНИЮ ДИСПЕРСИИ СИГНАЛОВ
© 2004 г. Н. А. Арманд
Поступила в редакцию 06.11.2003 г.
Теорема Котельникова применена для описания искажения формы сигналов при их распространении в средах с дисперсией. Введено понятие гармоник Котельникова. Показано, что дисперсия сигналов сопровождается ростом числа гармоник Котельникова. Описаны приемы восстановления формы сигнала на основе знания энергии гармоник Котельникова.
Данная работа связана с предыдущей публикацией [1]. Здесь развиваем несколько иной подход к описанию дисперсии сигналов при распространении радиоволн в средах, комплексная диэлектрическая проницаемость которых является функцией частоты. В дальнейшем ее действительную часть будем описывать функцией е(ю), а мнимую часть будем фактически выражать через коэффициент ослабления волн у(ю). Здесь ю -круговая частота радиоволн. Обычное представление сигналов базируется на разложении Фурье. При их распространении в средах с дисперсией происходит изменение фазовых и амплитудных (при наличии поглощения) соотношений между спектральными компонентами, и поэтому форма суммарного сигнала изменяется. Одним из существенных элементов изменения формы является увеличение длительности сигнала. Поэтому и само явление называется "дисперсией". В этом случае его разложение в ряд или интеграл Фурье не всегда удобно, поскольку рассматриваем разложение по функциям с переменной шкалой. Это особенно неудобно для широкополосных и сверхширокополосных сигналов. Во многих случаях ширина спектра сигнала практически не изменяется. За дисперсию сигнала в основном ответственна его фазочастотная характеристика, за которой в иных случаях трудно следить "из-за проблемы 2п". Более удобным может оказаться разложение сигнала по функциям сдвига. Таковыми, в частности, являются функции
ф„(X) = 8ШС(X - пп) =
8Ш ( X - П П ) X - П К
(1)
тельникова [2, 3], такие функции могут быть представлены в виде ряда
( ') = 1 /(ш)фп(АГ '
(2)
Таким образом, функция с ограниченным спектром может быть задана своими значениями в точках
2пп п
1п АО В'
(3)
где В - спектральная полоса сигнала, АО = 2пВ. Это дает основание для частого употребления термина "теорема выборок". В дальнейшем рассматриваемые выборки удобнее называть компонентами или гармониками Котельникова.
Обратим внимание на то обстоятельство, что число значимых выборок зависит от протяженности функции. Мы употребили выражение "значимые выборки" для того, чтобы исключить из рассмотрения "далекие хвосты" функций, неизменно присутствующие при их аналитическом описании. В реальности их не следует учитывать хотя бы потому, что они должны скрываться в шумах. Также следует принимать во внимание их малый энергетический вклад. Основная идея применения теоремы выборок в нашем случае заключается в том, что в процессе дисперсионного "размазывания" сигнала происходит его обогащение компонентами Котельникова.
Они обладают свойствами полноты и ортогональности. Практически сигналы следует рассматривать в качестве функций с ограниченным в частотной области спектром. Согласно теореме Ко-
Вслед за [1] под сигналом будем подразумевать интенсивность огибающей колебаний на выходе оптимального фильтра. Она по существу является корреляционной функцией между по-
п =
сланными и принятыми волнами (колебаниями) и в нормированном виде выражается формулой
А(г) = -. 1 [ |„(О)|2 х
4ял/и(0) и(г) { (4)
х ехр [ г Ф(О, г) - у(ю + О) г - г От] йО.
Здесь „(О) - спектр излученных волн, ю - средняя (несущая) частота излученных волн,
Ф(О, г) = [ к (ю + О) - к (ю) - О К (ю)] г (5)
- нелинейная по частоте часть фазового сдвига, ответственного за искажение формы сигнала, где
к(ю) = мл/е(м) /с - волновое число в среде, с - скорость света,
и (г) = 4П1„ (О)!2 ехр [-2у(ю + О) г ] йО
(6)
- энергия сигнала, г - расстояние, пройденное волной в диспергирующей среде,
т = г -
V „ (ю)
(7)
_1_ = йк(ю)
йю
V „(ю)
(8)
г (ю, г) =
V „(ю, г)'
(9)
где
1
V „ (ю, г)
| „(О)|4ехр[-2у(ю + О)г] V-1 (ю + О)йО (10) | |„(О)|4ехр[-2у(ю + О)г]йО
- усредненная по спектру величина, обратная групповой скорости. Тогда п-я выборка сигнала равна
ь„(г) = а (г, гп), гп = г + |О = г +В. (11)
Соответствующие времена отсчета относительно момента прихода с групповой скоростью задаются формулой
V „
(12)
Итак, сигнал может быть представлен в виде ряда
А(г,т) = X Ьп(г)фп
АО
(т - т)
(13)
Отсюда, в частности, следует выражение для "энергии" сигнала:
<(г) = I А(г'т)2йт = 8«^) 1 „(О)1
(14)
х ехр[-2у(ю + О)г]йО = АО X Ь(г)|2.
При выводе этой формулы было учтено свойство ортогональности
- время, отсчитываемое от момента прибытия сигнала с групповой скоростью vg. Последняя определяется через производную
I Фя(X)фт(X)йх =
л5„
(15)
Для вычисления выборок принятого сигнала необходимо определить нулевое время отсчета. В качестве такового можем взять момент прибытия сигнала, определяемый формулой [1]
По мере распространения волн в среде и развития дисперсионных процессов происходит, как уже отмечалось, обогащение сигнала гармониками Котельникова. Энергия этих гармоник зависит от пройденного расстояния и степени дисперсии волн. Поэтому, сравнивая энергию гармоник в точке приема с ее первоначальной величиной, можно определить параметры среды, ответственные за дисперсию волн. Поясним сказанное на основе примера сигнала с равномерным спектром в заданной частотной полосе. Сигнал в этом случае описывается одной 8те-функцией ф0(л£г), т.е. задается всего лишь одной выборкой или только нулевой компонентой спектра Котельникова. При наличии дисперсии генерируются высшие составляющие спектра Котельникова. Их энергия изымается из основной моды. Поэтому основная мода ослабевает, в то время как высшие возрастают до некоторого предела.
Отношения энергии высших гармоник к энергии основной будет зависеть от степени расширения сигнала. Это отношение запишем в виде
в( г) = —Ц Х[| Ьп( г )| 2+ Ь-п (г )|2 ]. (16)
Ь(г)| п = 1
т = г -
пп
п=-
х
п = -^
Назовем введенное отношение коэффициентом дисперсионных искажений. Если воспользоваться формулой (14), то легко установить, что
Р( г ) =
AQ u(г)
2п
M г)|2
- 1 = B
u ( г )
bo ( г )|2
-1.
(17)
Последнее выражение приобретает особенно простой вид для случая равномерного спектра. При этом
Р( г ) =
1
bo( г )|2
-1.
(18)
Рассмотрим указанный процесс на примере высокочастотного приближения для диэлектрической проницаемости среды, когда для волнового числа справедлива аппроксимация [1]
а
к (ю) = к0 —
ю
(19)
Для этого случая выражение для спектральных компонент Котельникова может быть представлено в виде
= 2 J
exp
- IHKS - l
Р s ( p + s ) ■
1-p2 1 + Ps J
Здесь
Р
I I r.2
I а| B г 4n f3'
ds. (20)
(21)
где f - средняя частота ( f = ю /2п), a величиной
(22)
B
p = 2f
обозначен коэффициент широкополосности сигнала. Заметим, что при подстановке 1 + р8 =
= л/1 - р2 ехрг в (20) выражение для нулевой гармоники в данном случае сводится к интегралу
bo(р,P) =
P
exp | -1 0 P
2Р
ch t -1 ф ch tdt,
Ф =
1- P'
1-
P
to = ln
1 + P
1 - P'
A(q)\2 0.4
-10
10
20
30 q
Рис. 1. Сравнение действительной формы сигнала с вычисленной на основании ряда Котельникова при р = 5, p = 0.5.
\ЬЙ(Р)\2 1.0
0.5
который выражается через неполные цилиндрические функции [4].
На рис. 1 представлено сравнение формы сигнала, полученной при суммировании 21 члена ряда Котельникова (кружочки), с его действительной формой (сплошная кривая). Здесь безразмерное время д = пВт. Расчет проведен для
Рис. 2. Энергия гармоник Котельникова в зависимости от пройденного расстояния при p = 0.5. Кривые 1-5 соответствуют n = -2; -1; 0; 1; 2.
случая высокочастотного приближения и сигнала с однородным спектром. Для расчетов выбраны значения параметров р = 5, p = 0.5. Совпадение сигналов, рассчитанных двумя способами, не только по форме, но и по времени показывает, что время, определяемое формулой (9), действительно является временем прибытия сигнала.
Процесс генерации высших гармоник для случая, когда применимо высокочастотное приближение, отображен на рис. 2. Здесь при p = 0.5 показано изменение энергии гармоник в функции безразмерного расстояния р, которое само зависит от параметров среды, ответственных за дисперсию. Рисунок демонстрирует уменьшение мощности основной гармоники, сопровождающееся генерацией высших составляющих.
0
b
n
0
\A(q)\2 1.0
0.5
\bn\2
'M
1.5
1.0
0.5
0
-2
-10
10
q
1a
2«
Рис. 3. Сравнение форм искаженного и неискаженного сигналов при р = 0.1. Кривые 1, 2 соответствуют р = 0; 2.
Рис. 4. Процесс возникновения высших гармоник Котельникова для случая слабого искажения сигнала при р = 0.1. Точка 1 - р = 0, точка 2 - р = 2.
2
0
0
Рис. 5. Возникновения гармоник Котельникова для случая сверхширокополосного сигнала при р = 5, p = = 0.5.
Рис. 6. Коэффициент дисперсионных искажений в функции в зависимости от безразмерного расстояния. Кривые 1, 2 соответствуют p = 0.1; 0.5.
На рис. 3 показано различие в формах исходного (р = 0) и искаженного (р = 2) сигналов для случая, когда широкополосность сигнала умеренная (р = 0.1), на рис. 4 - возникновение высших гармоник Котельникова для этого случая. Искажение формы сигнала в рассматриваемом случае не является сильным, что подтверждает возникновение слабых гармоник первого порядка.
Для случая более сильного искажения формы сигнала (рис. 1) для р = 5 и р = 0.5 (весьма широкополосный сигнал) число и интенсивность высших гармоник значительно увеличивается (рис. 5).
На рис. 6 представлена зависимость от расстояния коэффициента дисперсионных искажений для узкополосного (р = 0.1) и широкополосного (р = 0.5) сигналов. На основании полученных кривых можно ввести условную границу слабых и сильных дисперсионных искажений. Она может быть определена, например, услови-
ем в < 1 для слабого искажения сигналов и в > 1, когда эти искажения следует считать сильными. По существу указанный критерий от
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.