ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2013, том 451, № 2, с. 151-155
ФИЗИКА
УДК 533.9-15+533.932+533.9.01
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛА ПЛОТНОСТИ К РАСЧЕТУ КОЭФФИЦИЕНТА ОТРАЖЕНИЯ ОТ УДАРНО СЖАТОГО КСЕНОНА © 2013 г. П. А. Жиляев, Г. Э. Норман, И. М. Саитов, В. В. Стегайлов
Представлено академиком В.Е. Фортовым 04.02.2013 г.
Поступило 20.02.2013 г.
БО1: 10.7868/80869565213200127
Значения коэффициента отражения от плазмы ударно сжатого ксенона были получены в уникальных экспериментах [1—3] для длин волн лазерного излучения X = 1064, 694 и 532 нм. Удовлетворительного теоретического объяснения этим результатам пока не найдено. Как показано в [4], применение модели Друде с частотой столкновения в приближении Борна при малых плотностях плазмы дает расхождение с экспериментом в 2.5— 3 раза. Подходы, основанные на других способах оценки значений частоты столкновений, также не позволяют объяснить характер спада величины коэффициента отражения при уменьшении плотности. В работах [4—6] получено приемлемое согласие с экспериментом. Этот результат был следствием введения предположения об ушире-нии фронта ударной волны. Однако такой эффект не наблюдался в эксперименте.
В работе Дейжале [7] был применен квантовый метод молекулярной динамики в рамках теории функционала плотности для конечных, отличных от нуля температур [8]. Для расчета коэффициента отражения использовали формулу Кубо—Гринвуда и преобразование Крамерса—Кронига. Результаты, полученные в [7], лучше согласуются с экспериментом [1] по сравнению с данными, рассчитанными в рамках модели Друде. При этом значения коэффициента отражения [7] все же заметно превышают данные измерений [1] в области малых плотностей. Введение поправок, увеличивающих ширину энергетической щели между связанными и свободными состояниями, улучшает согласие результатов [7] с экспериментом [1] при малых плотностях, но приводит к недооценке значений коэффициента отражения в области больших плотностей.
Объединенный институт высоких температур Российской Академии наук, Москва Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный Московской обл.
В данной работе проводится расчет зависимости коэффициента отражения от ударно сжатого ксенона от плотности при различных значениях длины волны падающего излучения. Используемый подход во многом схож с примененным в [7]. Однако в отличие от [7] мнимая часть диэлектрической проницаемости рассчитывается по формуле, полученной в работе [9] и являющейся адаптацией формулы Кубо—Гринвуда для используемого как в [7], так и в настоящей работе метода расчета волновых функций. Так же как и в [7], никаких дополнительных предположений о ширине и форме фронта ударной волны не вводится, что соответствует условиям эксперимента.
МЕТОД РАСЧЕТА
Зависимость мнимой части диэлектрической проницаемости от частоты ю при заданном значении температуры и конфигурации частиц определяется по формуле Кубо—Гринвуда
,(2)
(Ш) =
14я2е2Й2 3 т2ш20.
^ 2^к[/(8;-к) - /(е^)]:
а,1, у,к 2
*К^,к |Уа| ¥ у, к) |2 8 (к -еу,к - йш),
(1)
где О — объем системы, е — элементарный заряд, т — масса электрона, Н — постоянная Планка. Суммирование проводится по всем состояниям /, ] и по всем Сточкам в зоне Бриллюэна, wk — вес Сточки; множитель 2, стоящий перед wk, учитывает вырождение по спину; ¥(-,к — собственные функции оператора Гамильтона, б,-к — соответствующие им собственные значения уровней энергии. Заселенность уровней определяется распределением Ферми / (б,,к). Суммирование по
индексу а, умноженное на 1, является усреднением по трем пространственным координатам.
Действительную часть диэлектрической проницаемости рассчитываем, исходя из полученного значения мнимой части, посредством преобразования Крамерса—Кронига:
е«(Ш) = 1 + 2 p М
П J лл *
.(2)
(ю ')ю'
ю' - (ю - in)
d Ю'.
(2)
R =
ЬГе-1)
(3)
R =
rp =
-■\js- sir
cos у-ye- sin ф
cos ф + ^/s - sin" ф s cos ф - yjs -
■ 2 sin ф
2
sin ф
(4)
ческой функции рассчитывается по следующей формуле:
(2ъ ч 14n2e2,-е (ю) =--lim-
3 Q IqlIi
1
^ 2wjf (еi>k+ч) - f(ejk)]:
i, j,a,k 2
Символ Р указывает на то, что интеграл (2) находится в смысле главного значения (в пределе п ^ 0). Полная диэлектрическая проницаемость имеет
вид в = в(1) + ¡в(2). Коэффициент отражения рассчитывается по формуле Френеля для нормального падения
(л/б +1)
Формула (3) является частным случаем выражений для расчета коэффициентов отражения компонентов излучения, падающего под углом ф:
s cos ф +
где Rs — коэффициент отражения компоненты излучения, перпендикулярной плоскости падения, Rp — лежащей в плоскости падения. Зная значение диэлектрической проницаемости при заданной температуре и плотности, можно рассчитать зависимость коэффициента отражения от угла падения.
Расчеты проводятся в рамках теории функционала электронной плотности с использованием пакета VASP [10, 11]. Вводится приближение обобщенных градиентов (GGA) для обменной и корреляционной части функционала электронной плотности. Используемый функционал PBE [12]. Из 54 электронов атома ксенона 46, находящихся на внутренних оболочках, рассматриваются посредством псевдопотенциала проекторно-присоединенных волн (PAW) [13]. Для 8 электронов, находящихся на внешней оболочке (n = 5), решается система уравнений Кона—Шема. Волновые функции, являющиеся решением данной системы уравнений, и соответствующие им уровни энергии, определяющие основное состояние рассматриваемой системы при заданной конфигурации частиц и температуре, необходимы для расчета компонентов диэлектрической проницаемости. В пакете VASP мнимая часть диэлектри-
х +e„? I ^i.k)l +q - EJk - ' (5)
где q — вектор Блоха падающего излучения, ea — единичный вектор, определяющий направление декартовой оси, соответствующей координате а. Как показано в [9], формула (5) является достаточно хорошей адаптацией соотношения (1) для случая использования псевдопотенциала PAW в рамках теории функционала плотности.
Ограниченность объема рассматриваемой системы приводит к дискретности спектра собственных значений. Поэтому в качестве приближения для S-функции, входящей в формулу (5), используется функция Гаусса, ширина которой выбиралась равной 0.03 эВ.
Значения коэффициента отражения находятся для фиксированной конфигурации ионов. Для нахождения значения, соответствующего выбранной температуре и плотности, необходимо усреднить по набору равновесных конфигураций. Этот набор находился методом молекулярной динамики. Траектории частиц рассчитываются интегрированием классических уравнений движения Ньютона с силами, найденными по теореме Гелмана—Фейнмана. В зависимости от плотности частиц в расчетной ячейке траектории насчитывают от 4000 до 10000 шагов с шагом 2 фс, внутри которых выделяется от 5 до 10 конфигураций. Расчеты проводятся для канонического ансамбля. Температура ионов регулируется посредством термостата Нозе—Хувера. Равная ей температура электронов задается в распределении Ферми. Значение температуры достаточно велико, поэтому волновые функции можно рассчитывать по одной Г-точке в зоне Бриллюэна.
Рассматриваемый диапазон плотностей плазмы р = 0.51 - 3.84 г/см3, а температур T ~ 30000 K [1, 2]. Количество частиц в расчетной ячейке, находящейся в периодических граничных условиях, варьируется от 32 при малой плотности до 128 при наибольшей. Для низких плотностей увеличение количества частиц приводит к увеличению размеров расчетной ячейки, что в свою очередь значительно увеличивает время расчета.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА
На рис. 1 представлены результаты расчета коэффициента отражения лазерного излучения с длиной волны X = 1064 нм от плазмы ударно сжатого ксенона (точки 2—4, соединенные линиями) и экспериментальные данные (звездочки 1). Пятиугольники 2, соединенные пунктирной линией 2, соответствуют результатам расчета [7]. Скорость
2
0
2
2
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛА ПЛОТНОСТИ
153
1 2 3 4
р, г/см3
Рис. 1. Зависимость коэффициента отражения от плотности для длины волны X = 1064 нм: 1 — экспери-мент[1], 2 — результаты расчета [7], 3 — результаты [7], полученные с введением поправок на ширину энергетической щели между свободными и связанными состояниями, 4 — результаты настоящей работы.
увеличения значений коэффициента отражения при увеличении плотности, полученная в данной работе, заметно выше по сравнению с [7]. При этом абсолютные значения [7] значительно превышают результаты, рассчитанные в данной работе в области р < 3 г/см3 (при наименьшем значении плотности в 8 раз), и в 2 раза превосходят измеренные значения [1].
Следует заметить, что в формуле (5) в отличие от (1) учитываются эффекты неоднородности поля. Учет данных поправок приводит к увеличению значения мнимой части диэлектрической проницаемости г(2). Для длины волны X = 1064 учет эффектов неоднородности поля уменьшает значение г(1), однако при этом в области малых плотностей г(1) > 0. Таким образом, значения коэффициентов отражения, рассчитанные с учетом эффектов неоднородности поля, оказываются заниженными в сравнении с вычисленными по формуле Кубо— Гринвуда. При увеличении плотности относительный вклад учета эффектов неоднородности поля уменьшается и, как видно из рис. 1, приводит к уменьшению разности между значениями коэффициента отражения, рассчитанными с использованием формулы (5) и полученными в работе [7].
Для улучшения согласия с экспериментом [1] в [7] дополнительно вводится предположение об увеличении величины энергетической щели между свободными и связанными состояниями. Проводится аналогия со спектром полупроводников, где эффект недооценки ширины запрещенной
0.01
р, г/см3
Рис. 2. Зависимость коэффициента отражения от плотности для длин волн 694 (1, 3) и 532 (2, 4); точки — эксперимент[2], линии — расчет.
зоны наблюдался при расчете плотности электронных состояний в рамках теории функционала плотности. Как видно из рис. 1, увеличение ширины щели на 2.5 эВ приводит к некоторому улучшению согласия результатов расчета [7] с экспериментом в области малых плотностей. При этом занижаются значения коэффициента отражения в области больших плотностей. Лини
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.