ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 10, с. 937-943
МЕТОДИЧЕСКАЯ ЗАМЕТКА
УДК 517.5+533.9
ПРИМЕНЕНИЕ ^-ФУНКЦИИ ЛАМБЕРТА В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
© 2004 г. И. Д. Дубинова
ФГУП Российский федеральный ядерный центр -Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики
Поступила в редакцию 29.10.2003 г.
Рассмотрены примеры решения трансцендентных уравнений, которые возникают в математических задачах физики плазмы. Ранее эти уравнения решались или приближенно, или с помощью аппроксимаций. Использование новой Щ-функции Ламберта позволило эффективно получить их точные явные решения, которые могут привести к уточнению соответствующих теорий. Рассмотрены следующие примеры из различных разделов физики плазмы: задача о равновесном заряде пылинки в плазме, задача о структуре бомовского слоя, задача о диаметре сепаратрисы в ловушке-галатее "пояс", задача о поперечной структуре электронного пучка в плазме, задача о скорости энергетических потерь пробной заряженной частицы в плазме, задача о структуре псевдопотенциала Сагдеева для ионно-звуковых колебаний.
ВВЕДЕНИЕ
Удобную для решения трансцендентных уравнений типа х exp x = const и х + ln x = const функцию в конце 1980-х ввели в обращение R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare, D.J. Jeffrey и D.E. Knuth [1], назвав ее W-функцией Ламберта. В связи с тем, что W-функция пока мало известна отечественным специалистам, и в то же время она может появляться в большом круге практических задач в математике и математической физике, мы посчитали полезным подготовить настоящую статью, посвященную технике ее применения. Ниже будут рассмотрены решения конкретных математических задач из теоретической физики плазмы, получить которые явно и до конца удается только при помощи этой функции.
Итак, определим действительную W-функцию Ламберта для действительных значений х как решение функционального уравнения
W( х) exp (W( х)) = х. (1)
Понимание того, что W-функция Ламберта есть функция, обратная к функции W = хexpх, позволяет достаточно легко представить внешний вид графика функции (рис. 1) и установить ее простейшие свойства.
W-функция Ламберта не является ни четной, ни нечетной функцией. Она определена в интервале [-1/e; где принимает значения от - ^ до причем для отрицательных х функция двузначна. Точка A с координатами (-1/e; -1) делит график функции на две ветви, верхнюю W0^) и нижнюю W^) так, что обе ветви в точке A имеют вертикальную касательную. Верхняя ветвь W^), часто называемая основной, проходит через начало ко-
ординат и больше не имеет особенностей. Нижняя же ветвь Щ-1(х) имеет точку перегиба В с координатами (-2/е2; -2) и вертикальную асимптоту при х = 0.
Другие целые значения индекса к Ф 0, -1 для функции Щк(к) относятся к комплекснозначным ветвям [2]. В дальнейшем мы будем опускать индексы ветвей функции, если рассматриваемые свойства справедливы для всех ветвей, и где это не вносит путаницу.
Из определения (1) легко вывести следующие простые тождества
ехр(Щ(х)) = т-Х—-, 1пЩх) = 1пх- Щ(х). (2)
W(x)
Представим теперь правила дифференцирования и интегрирования №-функции Ламберта. Ее производную легко найти, используя правило дифференцирования обратных функций:
(х) =
1
№ (х)
(1 + №( х)) ехр (№( х)) х( 1 + №( х))
(3)
Последнее равенство справедливо для х ф 0. Однако в нуле производная определена в виде предела
Нш (х) = 1.
х ^ О
(4)
Найти неопределенный интеграл от №-функ-ции Ламберта также можно, воспользовавшись правилом интегрирования обратных функций из [3]:
|/(х)йх = х/(х) - | я(У)йу. (5)
х / (х)
Подставляя ^-функцию, легко получаем (без постоянной интегрирования)
|№(х)йх = х
№ (х) - 1 +
1
№ (х).
(6)
Обзор других свойств ^-функции Ламберта представлен в [1], а техника ее применения в задачах математической физики - в [4]. Среди рассмотренных там примеров выделим классическую задачу о распределении электрического потенциала в плоском конденсаторе конечных размеров (задача Роговского) и точный вывод закона Вина из формулы Планка для теплового излучения.
Известны и другие примеры успешного применения ^-функции в математической физике, например точное решение задачи о продольном распределении электронов в накопительном кольце с учетом пространственного заряда [5] и задачи о фазовой границе в среде в условиях стационарной теплопроводности [6]. А в [7] представлено точное решение задачи о разряде конденсатора на резистор, сопротивление которого зависит от температуры. Ее решение описывает начальную стадию процесса протекания тока по взрывающейся проволочке. И число таких примеров со временем будет расти.
Анализ уже известных примеров позволяет предугадывать те задачи, в решениях которых может встретиться ^-функция. Это прежде всего касается решения таких трансцендентных уравнений, в запись которых входят экспоненты, логарифмы совместно с алгебраическими полиномами. Такие уравнения могут возникать, например, как решения дифференциальных уравнений, как решения краевых задач со сложными граничными условиями и как нелинейные дисперсионные уравнения, а также при анализе сложных
функций на экстремум и при представлении неявно заданных функции в явном виде и т.п.
Почти все такие случаи возникновения ^-функции на примерах математических задач
физики плазмы рассмотрены ниже1. Эти задачи взяты из известных работ, где авторы приходили к трансцендентным уравнениям и, не зная о существовании ^-функции Ламберта, решали эти уравнения либо численно, либо с помощью аппроксимаций.
Возникает вопрос: действительно ли новая ^-функция так необходима? Ведь на практике часто нужно знать число или функцию, которые можно рассчитать с любой степенью точности. Получить искомую величину можно и без применения новой функции. Существует и ответ на этот довод: получение точного явного решения конкретной задачи может стать основой новой точной теории и усилит понимание задачи.
1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЗАРЯД ПРОБНОГО ТЕЛА, НАХОДЯЩЕГОСЯ В МАКСВЕЛЛОВСКОЙ ПЛАЗМЕ
Задача о равновесном электрическом заряде, который накапливается на пробном теле (частице), находящемся под плавающим потенциалом в газоразрядной плазме, имеет важное значение. Во-первых, ее решение связано с теорией одиночного зонда, с помощью которого можно измерить температуру и концентрацию плазмы, а во-вторых, решение является основой теорий запыленной плазмы.
Наиболее просто эта задача ставится для мак-свелловской плазмы (т.е. плазмы с максвеллов-скими распределениями электронов и ионов с температурами Те и Т соответственно) в так называемом орбитальном пределе. Можно указать множество работ о зондах и о пылинках в плазме, в которых приведена ее формулировка.
Приведем формулировку задачи в обозначениях работы [10]. Электронный и ионный токи на сферическую частицу радиуса Я:
Гк'ехр(+ред) при q <
!е(q) = \1ЧЛ в ) п (7)
I к (1 + р^) при q > О,
1 Во избежание путаницы, отметим, что иногда через №(х) обозначают часто используемые в математической физике плазмы другие функции - функцию Даусона №(х) =
= ехр(-х2)Юехр(г2)йг (см., напр., [8]) и родственную ей
2 Г И ;х 2 функцию Крампа №(х) = ехр(-х2) 1 + — 10ехр (г ) йг
Vп 0
(см. [9]).
I (q) =
\рк'(1- ) при q < О, |рккехр(-тв^) при q > О,
где обозначено
2 (8кТЛ1/2 „ *2
к = К Я П | -е I , ве =
е V п т
(8)
( А г—"" Ш 1 »
-
4 пе0 ЯкТе'
/е (q) = /■ (q).
(9)
Уравнение (9) - трансцендентное. Ранее его решали численно [11] или решение выражали в аппроксимирующем виде. Например, в [10] для случая q < 0 дается следующая аппроксимация:
, с 4«
2 V
е у
(10)
где С - некоторая константа.
Между тем, с помощью подстановки легко убедиться, что уравнение (9) имеет следующее точное решение:
q =
1 1 1 -¡Т№I - ехр- + ¡¡р-ве 1РТ Т/ ве Т
при q < 0,
в- №(ртехрт) -¡¡¡- при q > 0.
веТ ¡е
(11)
Таким образом, получено точное выражение (11) для равновесного электрического заряда на сферической частице в максвелловской плазме, которое содержит ^-функцию Ламберта и которое может быть использовано в теориях зонда и запыленной плазмы. Рассмотренный пример относится к тому случаю, когда трансцендентное уравнение (9) возникает как стационарное решение дифференциального уравнения зарядки частицы.
2. СТРУКТУРА ПОТЕНЦИАЛА В БОМОВСКОМ СЛОЕ
Для определения профиля нормированных
электрического потенциала х(х) = -еи(х)/кТе и ки-
2
нетической энергии ионов у(х) = МV■ /2кТе в бо-мовском слое плазмы в [12] была сформулирова-
1 М1/2 П Те т
р = --й , у = п, т = %, ц = М
пе и щ - концентрации электронов и ионов, т и М -масса электронов и ионов, к - постоянная Больц-мана, £0 - диэлектрическая постоянная. Равновесный электрический заряд, накопленный частицей, определяется точным равенством электронного и ионного тока:
Рис. 2. Форма сепаратрисы плоской модели ловушки-
галатеи "пояс";
черные кружки - миксины.
на и решена следующая задача (в столкновитель-ном случае):
\_йУ-й% = о,
2уйх йх
йу - йх = -2 у,
йх йх
(12)
(13)
где х = г/А - нормированная на длину свободного пробега координата. Распределение потенциала было получено в [12] в неявном виде:
х = ;-{1 - ехр[-2х(х)] -2х(х)}, (14)
вместе с тем выражение для потенциала можно записать в явном виде с помощью ^-функции Ламберта:
Х(х) = 2№(ехр(2х-1)) -х +2. (15)
Таким образом, данный пример показывает применимость ^-функции для представления неявно заданных функции в явном виде.
3. О РАЗМЕРЕ СЕПАРАТРИСЫ В ЛОВУШКЕ ТИПА "ПОЯС"
Для удержания плазмы с помощью магнитных систем А.И. Морозовым предложены ловушки с омываемыми плазмой проводниками с током [13]. Такие ловушки получили название "гала-теи", а проводники с током - "миксины". Одна из таких ловушек - ловушка "пояс" - представляет собой тороидальную квадрупольную конфигурацию с двумя миксинами. В [14] было найдено аналитическое решение уравнения Грэда-Шафрано-ва для безразмерной функции магнитного потока у для плоского аналога ловушки:
у = ЦП2 + 2- П2) + + 1п {[(£-1 )2 + П2 ][(£ +1 )2 + П2 ]},
(16)
где и п - безразмерные координаты (см. рис. 2), а ц и А - постоянные. Частной задачей работы [14] состояло определение размера основной
п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.