Автоматика и телемеханика, Л- 4, 2007
Стохастические системы
РАС Б 32.80.Qk
© 2007 г. П.А. ГОЛОВИНСКИЙ, д-р физ.-мат. наук (Воронежский государственный архитектурно-строительный университет)
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА ДЛЯ КВАНТОВОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
Пршщип максимума Поптрягппа, рапсе сформулированный для классических динамических систем, перенесен па квантовые системы с конечным числом состояний дискретного спектра. Дап вывод принципа, основанный па эквивалентности матричного представления уравнения Шредипгера системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрен пример задачи быстродействия для формирования волнового пакета заданной структуры.
1. Введение
В связи с широким применением различных методов воздействия на квантовые системы, в том числе с помощью когерентных источников излучения, теоретическое исследование возможностей управления такими системами становится все более актуальным [1 4]. Потребность в быстром приготовлении определенного состояния диктуется, в частности, тенденциями развития квантовых компьютеров [5]. Основные принципы управления квантовыми объектами сформулированы в широко известной монографии [6]. где. в частности, даны возможные формулировки критериев оптимальности процессов для чистых состояний, средних значений физических величин, а также для операторов физических величии. Там же указывается на важность н полезность принципа максимума Понтрягина в квантовомеханнческнх задачах. но фактически используется только его формулировка для классических конечномерных систем. Для квантовомеханнческнх систем авторы ограничились указанием на возможность развития принципов, изложенных в монографии [7] в применении к классическим системам с распределенными параметрами. Такой подход представляется весьма перспективным, но он фактически остался нереализованным до настоящего времени. В данной работе формулируется принцип максимума Понтрягина для задачи быстродействия в кваитовомехаиических системах с конечным числом состояний дискретного спектра. При этом рассматриваются только множества достижимых состояний [8]. на которых возможен поиск минимального времени перехода.
Эволюция квантовой системы описывается в квантовой механике чистых состояний уравнением Шредипгера [9]. которое для задачи управления мы запишем в
виде
(1) ^ = Н(и(Ь))р,
где Н - оператор Гамильтона, деленный на постоянную Планка Н = 1,0545919 • 10~34 Дж>с, р - волновая функция, и(Ь) - вектор управляющих параметров, на возможные значения которого наложены некоторые ограничения.
Оптимальное управление в квантовой механике, как и в классической физике, означает достижение экстремума некоторого функционала, являющегося целевой функцией. Для задачи быстродействия этот функционал есть время процесса
(2) Ь = &'.
Задача заключается в нахождении такой зависимости управляющего параметра от времени, при которой время перехода (2) в заданное конечное квантовое состояние минимально.
т
2. Принцип максимума
Волновая функция в квантовой механике является комплексной, а гамильтониан Н - эрмитовым: Н = Н+. Воспользуемся матричным представлением уравнения (1), считая его конечномерным. Запишем уравнение для коэффициентов сп разложения
волновой функции по полному набору N стационарных волновых функций рп [7]: (сп к
^ = ^ Нпт(и(Ь))ст.
т= 1
Соответствующие соотношения в бесконечномерном гильбертовом пространстве получаются путем предельного перехода N ^ ж при условии сходимости соответствующих рядов [10]. Справедливость принципа максимума Понтрягина при таких предельных переходах в данной статье не рассматривается, поэтому все формулируемые утверждения относятся к конечномерному случаю.
Произведем овеществление уравнения (3) [11]. Выделим в комплексных коэффициентах ст и матрице Нпт(и(Ь)) действительную и мнимую части:
ст ат +
Нпт(и(Ь)) = Бпт(и(Ь)) + %Упт(и(Ь)),
где величины ат, Ьт являются действительными, Бпт - симметричная матрица, Упт - кососимметричная матрица:
Бт = Б, Vт = -V.
Тогда уравнение (3) можно переписать в матричном виде:
(а + ' Ь) = (Б + 'V)(а + ¿Ь),
где а и Ь обозначают теперь столбцы координат векторов. Производя перемножение векторов и матриц и выделяя в уравнении действительные и мнимые части, получим
с! а
V а + БЬ,
УЬ- Ба.
Для окончательной записи уравнений в действительной форме введем действитель-
ный вектор столбец х = ливо уравнение
удвоенной длины 2Ж. Для вектора х будет справед-
(4)
где
! = С(и(1))х,
од*» = ( 0 V)
+
О Б -Б О
кососимметричпая матрица, т.е. Сп
V Б -Б У
Уравнение (4) при ограничении
любым конечным базисом полностью совпадает с уравнением классической динамической системы со многими степенями свободы в теории управления. Для задачи быстродействия такой эквивалентной классической системы сформулирован принцип максимума Понтрягина [12]. Чтобы сформулировать принцип, вводится вспомогательная вектор-функция ф, с помощью которой строится функция Понтрягина
(5)
Н(ф, х, и)
2И £
фаСо
Вспомогательные переменные удовлетворяют системе уравнений
(6)
дН
= Фа.(1)СоЛ = - — , I = 1
а=1
/2М.
Эта система уравнений линейна и однородна и при любых начальных условиях допускает единственное решение. Если решение х(£) является оптимальным, то функция Понтрягина достигает максимума при и(£), так что
(7)
тахН = Н(ф, х, и(^) > О.
Если задача заключается в попадании на некоторое многообразие М в момент времени Т:Т = > О | х(£) € М), то, кроме того, для любого вектора касающегося М
(8)
Х>(т )& = О.
Уравнения (5) (8) записаны в действительной форме, в то время как исходное уравнение Шредингера (1) имеет комплексный вид и записано для комплексной волновой функции. Поэтому вернемся для формулировки принципа максимума в исходных квантовомеханнческнх терминах вновь к комплексной форме. Представим вспомогательный вектор ф в виде столбца, состоящего из двух подвекторов ^ и е:
X
ф = ^ ^ ^, а вектор £ в виде £ = ^ Ь ' Начнем с соотношения трансверсальности. Его можно записать как сумму двух скалярных произведений в пространстве с размерностью N
2N
& =(§' а) + (ь'е).
i=l
Вводя комплексные векторы р = d + ге и к = g + ¿Ь, можно записать
N
= d) + (Ь, е) - ¿(Ь, d) + г(g, е).
i=l
Отсюда следует условие трансверсальности (9) Ив (к, р) = 0.
Построим теперь функцию Н при помощи вектора с = а + гЬ и вспомогательного р
<«» н=(Ь)тс (d)=(Ь)т (-б Б) (d)=(Ь)т (та
= (а,Уd) + (а,Бе) - (Ь,Dd) + (Ь,Уе). ср
(И) (а + ¿Ь)+(Б + гV)(d + ге) = (а, Dd) + ¿(а, Бе) + ¿(а, Vd) - (а, Уе)--¿(Ь, Dd) + (Ь, Бе) + (Ь, Vd) + ¿(Ь, Уе).
Сравнение (10) и (11) показывает, что
(12) Н = 1ш(с,Яр).
Последний вопрос, который требуется пояснить, это переход от системы вспомога-
р
ной форме. Уравнения (6) в матричной форме имеют вид , , , , т ^
д ^ т V Б
д,Ь\ е ) \е ) \-Б V
Соответственно, для векторов ^ и е по отдельности д
— d = -di V + етБ, дЬ
и = | I
де = -dTD - етV. дЬ
Поскольку матрица V кососимметричная, а матрица Б симметричная, то
д d = V d + Бе,
(13) д
—е = -Dd + V е.
дЬ
Рассмотрим действие матрицы Н на вектор р:
(14) Нр = (Б + гV+ ге) = Dd - Ve + ¿Бе + ¿Vd.
Сравнивая соотношение (14) с правыми частями системы (13). можно записать (15, ¿—р = Нр.
Уравнение (15) является сопряженным по отношению к уравнению (3). но в силу самосопряженности оператора Н совпадает с ним по внешнему виду.
В исходном базисе ортогональных интегрируемых с квадратом функций уп, принадлежащих дискретному спектру оператора Гамильтона системы, полученные соотношения можно переписать через волновую функцию у и функции
(16) ц = ^2 PnУn, М = Х]
кпуп
В соответствии с этим получим выражения для формулировки принципа максимума в квантовой задаче безотносительно к представлению. Функция Понтрягина имеет
(17) Н = 1ш(у, Нп) = lшJ у*Щдг.
Уравнение для вспомогательной функции п записывается как
(18) гЩ =Нп,
а условие трансверсальности
(19) Ив(м,п) = Rвf М*П—Т = 0.
Тем самым принцип максимума записан как в матричной форме с помощью соотношений (3). (9). (12). (15). так и в представлении Шредингера в виде уравнений (1). (17). (18) и (19). Целесообразность выбора представления зависит от характера решаемой задачи.
3. Формирование волнового пакета
Рассмотрим применение принципа максимума Понтрягина к задаче о формировании волнового пакета уf = ^ сПуп с заданной структурой амплитуд и фаз коэф-
п
фициентов сП = |сЩ е1^ за минимально возможное время. Она возникает, например, при изучении динамики сильно возбужденных атомных состояний, формирующихся под действием ультракоротких лазерных импульсов. Важным свойством образующихся в этом случае волновых пакетов является их устойчивость на временах, намного превышающих атомные [13, 14]. Формулировка этой задачи, а также общий подход к ее решению намечены в [6]. В представлении взаимодействия [15] уравнение Шредингера имеет вид (3), где матричный оператор Нпт заменяется управляющим оператором возмущения системы ипт(и(Ь)).
Пусть в начальный момент времени квантовомеханическая система находится в состоянии у о, являющимся собственной функцией невозмущенного оператора Гамильтона системы Но. Будем считать управляющее возмущение и(и(Ь)) малым, что
позволяет использовать для описания динамики системы теорию возмущений. Для нахождения возмущенной функции в первом порядке теории возмущений по взаимодействию можно в соответствии с принятым начальным условием положить в правой части формулы (3) ст = 5т0. Тогда будем иметь
г!с
(20) г-П = ипо(п(г)), аЬ
где ипо(и(Ь)) = иповгШп°г — матричные элементы, включающие временной множитель, а сами величины ипо также являются функциями времени, удовлетворяющими ограничению на амплитуду |ип0| < Лп.
Если управляющие величины ипо(и(Ь)) независимы, то уравнения системы (20) можно анализировать по отдельности. Каждое из уравнений (20) описывает дви-
сп
быстродействия для таких линейных систем подробно разобрана в [16]. Из принципа максимума следует, что оптимальное управление в линейных системах обеспечивается кусочно-постоянными воздействиями. В данном случае наискорейшее достижение конечного состояния сп осуществляется при движении
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.