ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 436, № 4, с. 462-463
ФИЗИКА
УДК 539.12.01
ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ ГИЛЬБЕРТА И НЕВОЗМОЖНОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОГО КОЛЛАПСА НЕСТАТИЧЕСКОГО СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА
© 2011 г. Академик С. С. Герштейн, академик А. А. Логунов, М. А. Мествиришвили
Поступило 01.09.2010 г.
Согласно теореме Биркгофа [1], внешнее гравитационное поле нестатического сферически-симметричного тела является статическим и описывается решением Шварцшильда
ds2 = U(r)dx - V(r)dr2 - r (d02 + sin20dф2), (1) где
U( r) = 1 - Г, V( r) = (1 - ^ , rg = 2 GM,
M — масса тела. Мы пользуемся системой единиц, в которой c = 1.
Из анализа геодезического движения в независящем от времени гравитационном поле следует
goo = U(r) = const (1 - v2), (2)
где v — физическая скорость пробного тела. Для диагональной метрики согласно (2) имеем
ds2 = constg20d т2.
Поскольку пробное тело не может иметь скорость, равную скорости света, из (2) следует, что метрический коэффициент g00 не может обращаться в нуль.
Рассмотрим теперь, что происходит внутри тела. Для нестатического сферически-симметричного тела интервал внутри тела имеет вид
ds2 = U(t, r)dt2 - V(t, r)dr2 - r2(d02 + sin20dф2). (3) Метрические коэффициенты U, V, а также плотность вещества р и давление p определяются из уравнений Гильберта—Эйнштейна и уравнения состояния.
В общем случае интервал псевдориманова пространства имеет вид
ds2 = g^v(x) dxц dxv.
Метрические коэффициенты g^v(x) должны удовлетворять физическим условиям причинности Гильберта. Гильберт определяет условия причинности в статье [2] следующим образом: "До сих
пор мы считали эквивалентными все системы координат х, которые получаются из какой-нибудь системы под действием произвольного преобразования. Этот произвол следует ограничить, если мы хотим встать на ту точку зрения, согласно которой две находящиеся на одной и той же временной линии мировые точки находятся в причинно-следственном отношении и поэтому не могут перейти под действием преобразования в синхронные мировые точки. Выделим х0 в качестве координаты собственного времени и сформулируем следующее определение. Собственной системой пространственно-временных координат называется такая система, в которой помимо g < 0 всегда выполняются следующие четыре неравенства:
gil < 0,
gil gl2
g21 g22
> o,
< 0, goo > 0. (4)
#11 #12 #13
#21 #22 #23 #31 #32 #33
Преобразование, которое переводит такую систему пространственно-временных координат в другую собственную систему пространственно-временных координат, называется собственным преобразованием пространственно-временных координат." Далее он отмечает: "... две мировые точки любой временной линии при собственном преобразовании пространственно-временных координат никогда не переходят в точки с одним и тем же значением временной координаты, т.е. не могут стать синхронными." Завершая свою мысль, он пишет: "Итак, мы видим, что лежащие в основе принципа причинности фундаментальные понятия причины и следствия и в новой физике не приводят к каким-либо противоречиям, если к нашим основным уравнениям мы присовокупим неравенства (4), то есть ограничимся рассмотрением с о б с т в е н н ы х пространственно-временных координат."
Условия причинности Гильберта для метрики, определяемой интервалом (3), имеют вид (см., например, [3])
Институт физики высоких энергий, Протвино Московской обл.
U( t, r )> 0, U > 0,
V(t, r)> 0, V> 0. (5)
ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ ГИЛЬБЕРТА
463
Следуя Сингу [4], из уравнений Гильберта—Эйнштейна для интервала (3) имеем (см., например, [5])
ZnGrXO, r) = 1 -fiÖ.
д r V V
Интегрируя это уравнение по r, получим
1
1 = 1 - ^ T (t, y)y2dy - nf.
В области вне тела будем иметь 1
_ = 1 -V r
J To (t, y) y2dy-
n(0,
r
(6)
(7)
(8)
где R0(t) — радиус тела. Вне тела это выражение должно совпадать с решением Шварцшильда. Из сравнения получим
R»( t)
rÄ = 8пG J T°0(t, y)y2dy + n(t).
о
(9)
Подставляя п(0 из этого выражения в (7), будем иметь для значений г внутри тела
, Ro(t)
rg - 8 пG J Toy2dy
1
= 1 -Vr
Поскольку, согласно (9), выражение
Ro( t)
rg - 8 п G
J T0(t, y)y2dy
(10)
(11)
при г, стремящемся к нулю, равно п(0, регулярное решение (10) внутри тела возможно только при
П( 0 = 0. (12)
Тогда из (7) с учетом (12) на поверхности тела будем иметь
1
V 1 Ro(t)
Ro( t)
8 п G г ггО _ 2.
J TOy2dy.
(13)
Учитывая (9) и (12), это равенство можно записать в виде
1
V
= 1 -
Ro (t)
(14)
Отсюда, требуя выполнения условий причинности Гильберта (5), получаем неравенство
Ro(t)> Rg. (15)
Таким образом, соединение уравнения Гильберта-Эйнштейна (6) с физическими условиями причинности Гильберта (5) приводит к точному выводу, что радиус нестатического сферически - с и мм етр ичн о го тела всегда больше радиуса Шварцшильда rg.
Точное решение Толмена для пыли [5], как показано в [6], не удовлетворяет условию причинности Гильберта, а поэтому вывод о коллапсе пылевого шара н е п р а в о м е р е н.
Из неравенства (15) следует, что гравитационный коллапс тела невозможен независимо от величины его массы M, а следовательно, невозможно и безграничное гравитационное сжатие Оппенгеймера, Снайдера
[7].
Изложенное выше исключает возможность образования "черных дыр'', о которых писали авторы работ [8, 9, 10, 5].
Авторы выражают благодарность А.А. Власову, В.И. Денисову, Ю.М. Лоскутову, В.А. Петрову и А.П. Самохину за ценные обсуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. М.: Наука, 1974. 260 с.
2. Гильберт Д. Избранные труды. М.: Факториал, 1998. 382 с.
3. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Гостехиздат, 1961. 160 с.
4. Синг Дж.Л. Общая теория относительности. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. Гл. 7.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Физ-матлит, 2001. 463 с.
6. Герштейн С.С., Логунов А.А., Мествиришвили М.А. // ДАН. 2008. Т. 421. № 1. С. 34-36.
7. Оппенгеймер Ю, Снайдер Г. // Phys. Rev. 1939. V. 56. P. 455.
8. Уилер Дж., Гаррисон Б., Вакано М, Торн К. Теория гравитации и гравитационный коллапс. М.: Мир, 1967.
9. Рис М, Руффини Р., Уилер Дж. Черные дыры, гравитационные волны и космология. М.: Мир, 1977.
10. Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр. М.: Наука, 1986.
r
o
o
r
r
o
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 436 № 4 2011
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.