ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 8, с. 5-9
УДК 537.531
ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ В РАСПЫЛЕНИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
© 2004 г. В. В. Манухин
Московский энергетический институт (Технический университет) Москва, Россия
Поступила в редакцию 10.09.2003 г.
Проведено теоретическое исследование явления распыления однородных твердых тел под воздействием ионной бомбардировки с использованием принципов инвариантного погружения. Получены интегральные уравнения, описывающие непосредственно поток распыленных атомов с учетом граничных условий. Приведено приближенное решение интегрального уравнения для функции, описывающей энергетический спектр атомов, вылетающих с поверхности материала, в случае самораспыления.
ВВЕДЕНИЕ
Традиционный подход к описанию явления ионного распыления однокомпонентных твердых тел основан на использовании транспортного уравнения Больцмана [1], описывающего дифференциальную плотность потока выбитых атомов на любой глубине материала. При этом обычно решается задача для безграничной среды, а затем к этому решению (как правило, приближенному) применяют тем или иным способом граничные условия [2, 3]. Другой подход основан на модельном представлении явления распыления, при котором процессы, приводящие к распылению атомов материала, априори определяются теми или иными механизмами [4, 5]. В настоящей работе предпринята еще одна попытка [6] сформулировать уравнения, описывающие непосредственно функции распыления, учитывающие граничные условия.
Ранее аналогичные работы были проведены различными авторами при описании пропускания и отражения света и заряженных частиц от слоев различных материалов [7, 8, 9]. Это оказывалось возможным при использовании принципов инвариантности. Принципы инвариантного погружения впервые были предложены В.А. Амбарцумя-ном для решения проблемы отражения света [7]. Уравнения, получаемые при использовании данного подхода, не требуют постановки граничных условий, поскольку учитывают их при выводе уравнений, что является основным преимуществом этого метода. Кроме того, получаемые уравнения описывают величины, которые непосредственно измеряются в эксперименте.
При использовании принципов инвариантного погружения в распылении, как и в случаях описания характеристик рассеяния заряженных частиц твердым телом (пропускание и отражение), необходимо учитывать следующее условие: рассмат-
риваемые флуенсы бомбардирующих ионов должны быть таковыми, чтобы за время анализа не происходило существенного изменения поверхности материала.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ
Ранее рядом авторов было показано [10, 11], что распыление - это поверхностное явление, поэтому необходимо точно и правильно учитывать граничные условия. Предположим наличие на поверхности материала плоского потенциального барьера. Для учета такого барьера введем следующую функцию, определяющую вероятность для атома, имеющего на поверхности энергию E1 и двигающегося в направлении Q1 = {cos01, ф1} (нормаль направлена внутрь материала), преодолеть барьер и вылететь с поверхности с энергией E и в направлении Q = {cos б, ф} [10]:
P (E1,Q1; E, Q) = 5( E + U - E1 )5(ф - ф1 )х
х 51 cos б -
1 ил 2„ U
1-ejcos
(1)
Здесь 5( ) - дельта-функция Дирака; и - энергия поверхностной связи атомов; б и ф - полярный и азимутальный углы соответственно.
Необходимо принципиально различать два типа распыления: распыление мишени частицами того же сорта, что и атомы мишени - так называемое самораспыление, и распыление частицами, отличными от атомов мишени - просто распыление. Поэтому нас будет интересовать как функция распыления У (угловое и энергетическое распыленных атомов), так и функция самораспыления которые связаны с восходящей частью дифференци-
альнои плотности потока атомов отдачи на поверхности мишени N"(1 = 0, Е0, Ц0, ф0; Е, —|ц|, ф):
5(х, Ео, Цо, фо; Е, -|ц|,ф) =
_ ММа(I _ о, Ео, Цо, фо; Ех, -|Ц^, ф!) х
(2)
= -Ц-
N о
Таа(х, Ео, Цо, фо; Е, Ц, ф) = ШN(2 = х, Ео, Цо, фо; Еь Ц1, ф1) х
хР(Е1, Ц^ ф^ Е, ц, ф)йЕ1йЦйф1; Та(х, Ео, Цо, фо; Е, Ц, ф) =
(3)
(а)
ю о
5 5
(б)
Рис. 1. Схематичное представление процессов при обратном самораспылении (а) и при самораспылении "на прострел" (б).
= -Ц-
N
ШN(2 _ х, Ео, Цо, фо; Еъ Ц1, ф!) х
N о
х Р(Е1, -|ц! , ф1; Е, -| ц|, ф)йЕ^Ц1йф1, У(х, Ео, Цо, фо; Е, -|Ц,ф) =
= Ч [[ [2 _ о, Ео, Цо, фо; Еь -|ц!, ф!) х N0
х Р(Е1, -|ц! , ф1; Е, -|ц| , ф)йЕ^Ц1 йф1.
Здесь Nо и N - соответственно полные падающие потоки ионов и атомов (для самораспыления), ц0 = со8б0, Ц = 008 6. Параметр х, присутствующий в выражениях для 5 и У, определяет толщину распыляемой мишени.
В случае описания распыления мишенеИ конечных толщин необходимо ввести функции раса и самораспыления Та на прострел , которые будут связаны с нисходящеИ частью дифференциальной плотности потока атомов отдачи на обратноИ стороне мишени N"(1 = х, Е0, ц0, фо; Е, ц > 0, ф):
х Р(Е1, ц1, ф1; Е, ц, ф)йЕ1 йЦ1йф1.
Необходимо отметить, что поскольку в случае бомбардировки мишени частицами того же вида, что и составляющие ее атомы, рассеянные и распыленные частицы принципиально неразличимы, то функции самораспыления 5 описывают в нашем случае как распыленные, так и рассеянные частицы.
Аналитические процедуры определения неизвестной функции из уравнения переноса с использованием принципов инвариантности приведены в книге Чандрасекара [12]. В данном случае используем метод, предложенный Амбарцумяном [7], поскольку он приводит к тем же результатам, но, с нашеИ точки зрения, является более наглядным.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Рассмотрим однородную мишень толщиноИ х, на которую падает поток частиц с энергиеИ Е0 в направлении 00 = {ц0, ф0}. Увеличим толщину слоя, добавив сверху слоИ такоИ толщины йх, что в нем может произойти не более одного столкновения движущеИся частицы с покоящимися атомами (считаем, что происходят только парные соударения, и движущиеся частицы не взаимодеИст-вуют друг с другом). Тогда функции распыления и, соответственно, самораспыления изменятся на величину, определяемую процессами, приведенными на рис. 1а, б. На рисунках изображена ситуация, соответствующая случаю самораспыления. Здесь светлыИ кружок и символ ю соответствуют рассеянию частицы, а темныИ кружок и символ о - выбиванию атома. Частицы, не испытавшие ни одного соударения, не учитываются в функциях распыления "на прострел". При распылении атомами другого сорта процессы оказываются схожими, поэтому здесь мы их приводить не будем и ограничимся результатом.
Считаем, что изменение функции самораспыления 5(х + йх, Е0, ц0, ф0; Е, —|Ц|, ф) - 5(х, Е0, ц0, ф0; Е, —| ц| , ф) будет пропорционально йх (аналогично и для функции самораспыления "на прострел"). В таком случае они могут быть представлены математическими выражениями (выражения записаны в символьноИ форме), которые являются отображением процессов, представленных на рис. 1а и б:
5(х + йх) - 5(х) _ пйх
- + + 8ю + ю8 + ю + 8ю8,
Цо Ц
Пх + йх) - таа(х) Х(Ео)
(4)
пйх
Цо
та +
ю8
1 2п
= |йЕ11(йЦ | йф1 ю(Ео, Цо, Фо; Е1, Ц1, ф1) х
о о
х 5(х, Е1,Ц1,ф1; Е, -|Ц,ф),
Ео 1 2п Ео 1 2п
•йц1 г г гйц2
Ео
8 юта = 1 йЕ, 1I йф, 1 йЕ21 йЦ21 йф
2 х (5)
Ео
Ео
х 5(х, Ео, Цо, Фо; Ех, -|ц1 , ф1) х хю(Еь -| ц1 , ф1; Е2, Ц2, Ф2)Таа(х, Е2, Ц2, Ф2; Е, Ц, ф).
Если же мы увеличиваем толщину мишени х, добавляя слой йх снизу мишени, то изменение функций самораспыления будет определяться процессами, изображенными на рис. 2а, б. Математически это изменение может быть записано следующим образом:
5(х + йх) - 5(х) = ехр[ хХ(Ео)п|х
пйх
Цо
ю ехр [-х ^ + ю та
+ таю ехр I -хЕ( Е)п |+таю та,
Та (х + йх) - Таа (х)
Ц
Х( Е)
(6)
пйх Ц
х[ю + ю 8 ] + та [ ю 8 + ю ].
Т'а + ехр [ -
Цо
Учитывая, что оба изменения толщины произведены на одну и ту же величину, то и изменение функций самораспыления будет эквивалентным. Основываясь на этом утверждении, можно полу-
(а)
+ [ю + 8 ю ] ехр (-(хпД( Е)) / ц) + [ 8ю + ю ] та.
В формулах приняты следующие обозначения: х -толщина мишени; п - концентрация атомов в мишени; Х(Е) - полное суммарное сечение упругого и неупругого рассеяния атома на атоме; ю(Е0, ц0, ф; Е, Ц, ф) - суммарное дифференциальное сечение упругого рассеяния, неупругого рассеяния и выбивания атома; ю (Е0, ц0, ф0; Е, ц, ф) - суммарное дифференциальное сечение обратного упругого рассеяния и обратного выбивания атома. Величины, записанные выделенным шрифтом, представляют собой интегральные операторы:
(б)
Рис. 2. Схематичное представление процессов при обратном самораспылении (а) и при самораспылении "на прострел" (б).
чить следующие выражения для различных функций распыления:
5(х, Ео, Цо, фо; Е, -|Ц, ф)[+ ^
Цо Ц
= ю(Ео, Цо, фо; Е, -Iц|,ф) х
ВД) Х(Е)
х < 1 - ехр
-пх
Цо
+
+
+ ю 8 + 8 ю - таю ехр I -пх
Ц
Е)
(7)
Ц
- юта ехр [-пх^^^+8ю 8 - та ю та, та(х, Ео, Цо, фо; Е, ц, ф)[ДЕ^ + ДЕ^ -
Цо Ц
= ю(Ео, Цо, фо; Е, Ц, ф) х
х
ЦЕ)Л Г ВД) ехрI -пх-)—-) - ехр I -пх
Ц
+ юта - таю + 8юехрI -пх
Цо
Д(Е) Ц
(8)
- ю8ехр[--пх^Е^) + 8юта - таю8,
У(х, Ео, Цо, фо; Е, -Iц|, ф)[ДЦ^ + ДЦ^ -
Цо Ц
= <(Ео, Цо, фо; Е, -|Ц|,ф)х Ео) 2( Е)
х < 1 - ехр
-пх
Цо
+
Ц
+
аа
+ юаУ + СТа8 + У [( юа + СТа) + ( юа + Ста) 8 ] -
Е
о
о
о
- СТаТаехрI -пх
ЖЕ)
Цо
+ к; (ст! + ю>у + ст>8) -
- (Т|ст1 + Т!ст>)[ та + ехрI -пх
ЖЕ) Ц
Т'а(х, Ео, Цо, фо; Е, Ц,ф)Г^^ + Е(Е)
Цо Ц
_ оа(Ео, Цо, фо; Е, Ц, ф)х
х
Ъ{Е)\ [ Х( Ео) ехрI -пх - - ехрI-пй
+
Ц / V Цо + юх - та( ю> + ст>) + ст>Т> - (ю>У + ст>8 ) х (10) Ж (Ео Г
х ехр I -пх
ЖЕ)
Цо
+ (ст>Т> - К;ста + У Ста) х
х ехр|-пх
Ц
+ К;(юаТ! + стаТ!) + У(юа + ст!) Та -
5(Ео, Цо, фо; Е, -|Ц|,ф)(^ + ^ -
Цо Ц
- Та( Юа + Ста) 8 - Т|( ста + ЮаУ + СТа8 ) ,
В этих уравнениях так же, как в (4), величины, записанные выделенным шрифтом, представляют собоИ интегральные операторы. В уравнениях (9) и (10) приняты следующие обозначения: ХТ(Е) — полное суммарное сечение упругого и неупругого
рассеяния иона на атоме; оа и оа — дифференциальные сечения выбивания (соответственно вперед и назад) атома при упругом столкновении
ион—атом; юа — суммарное дифференциальное сечени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.