ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 6, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Г. Ю. Ермоленко, Е. Ю. Иванов
ПРИНЦИПЫ СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ КРАЕВЫМИ СТАТИЧЕСКИМИ ЗАДАЧАМИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ
Предлагаются принципы соответствия между краевыми статическими задачами термовязкоупругости и термоупругости. Интегральными преобразованиями рассматриваемый класс задач неоднородной нелинейной анизотропной теории термовязкоупругости сводится к соответствующему классу задач термоупругости.
1. Краевая статическая задача несвязной термоупругости. Рассмотрим краевую стати-
ческую задачу несвязной термоупругости [1]
См (х, г) + ¥(х) + у@,,(х, г) = 0 (1.1)
И!)0*4 (12)
да п
а у (х, 0 = £ Г т(х, 0П ¡т]т (х, 0 - а у (х)0(х, 0] (1.3)
п=1 т=1
8у(х, г) = 2[ыи(х, г) + ыи(х, г)] (1.4)
Ы1 (х, г) = ы0(х, г), х е 5ы (1.5)
а у (х, г)nj (х) = р (х, г), х е (1.6)
0(х, г) = 0, (х, г), х е (1.7)
0(х, г = 0) = 0 0(х) (1.8) Здесь а у (х, г), 8 у (х, г) и Г уар(х, г) — компоненты тензоров напряжений, деформаций и
упругих постоянных, уар = 'У^Уг-'-Уй, г — текущее время, £ — поверхность, ограничивающая тело, Бы и — части поверхности с заданными перемещениями и поверхностными силами, соответственно, — часть поверхности с заданной разностью температур, 0(х, г) — разность между температурой в рассматриваемый момент времени и
температурой исходного состояния Т0, 0 0(х) — разность между температурой тела в момент времени г = 0 и температурой исходного состояния Т0, О — коэффициент температуропроводности, а у (х) — тензор теплового расширения^ = (2ц + 3^) а, где ц и X — постоянные Ламе, а — коэффициент линейного теплового расширения, ц = у Т0 / к, где к — коэффициент теплопроводности, (х) — составляющие массовой силы, р (х, г) — компоненты поверхностно распределенной силы, 0(х, ¿) — внешний источник тепла, А — оператор Лапласа, пу(х) — координаты единичной нормали к поверхности,
и(х, X) — компоненты вектора перемещений, щ (х, X) — граничное значение вектора перемещений. Индексы после запятой означают дифференцирование по соответствующим координатам.
Введем линейные интегральные преобразования (ИП) с ядром У1(р, X).
Пусть функции /(() и /*(р) — интегральные образ и прообраз, соответственно. Будем считать, что для ИП известны обратные ИП, т.е. для ядер У1(р, Х) известны резольвентные ядра У*(р,X). Индекс Ь в обозначениях ядер прямого и обратного ИП позволяет отличить одно ИП от другого.
Полагаем, что все ИП взаимно однозначны и непрерывны, а также что возможно изменение порядка интегрирования и вычисление многократных интегралов в произвольном порядке. Тогда | У+(р, Х^уУ^р, 1)йр — ядро единичного ИП Д?,^).
Юр
Будем говорить, что какое-либо соотношение инвариантно относительно ИП, если оно остается справедливым после замены входящих в него функций их интегральными образами.
Теорема 1. Краевая задача (1.1)—(1.8) инвариантна относительно ИП с ядром У'ь(р, X) за исключением уравнения теплопроводности, которое приобретает вид
А© *(х, р) -
©(х, Х)У+(р, X)
-{©(х, х) | у+(р, т
= ± 0*(х, р) У
(1.9)
Доказательство. Инвариантность уравнений (1.1), (1.4)—(1.8) следует из перестановочности дифференцирования по координатам и интегрирования по времени. Соотношение (1.9) — интегральный образ уравнения теплопроводности (1.2).
Для доказательства инвариантности определяющего соотношения (1.3), записывая равенство (1.3) в виде
да да п
ЪАхх) = { Е Гijaв(x, Т)П (х Т)-аит (х)@(х т)] /(1, х)йх
о п=1 т=1
и вводя обозначения
Яуав(х, X, Т) = Гуа?>(х, Т)1(Х, т)
** Г Г + +
Ща(,(х, р, п) = ] ] Щав(х, X, т)Уь (р, Г)Ум(п, Т)й1йт
%
получим
е**(х, р) = X 1 ктв(х, р, п)П [гЪ„(х, п) - (х) ©*(х, к)]с1к
(1.10)
л=1
П=1
Ограничимся случаем, когда КЦв(х, р, п) = Я*ав(х, р, к)1 (р, к)
со
СО
Тогда из равенства (1.10), используя определение единичного ИП, получим
ад п
ст*(х, Р) = Е Я*аР(х, Р, Р)П (х, Р) - а и, (х)0*(х, р)] (1.11)
п=1 т=1
что и требовалось.
2. Краевая статическая задача нелинейной несвязной неоднородной анизотропной тер-мовязкоупругости. Краевая задача нелинейной несвязной неоднородной анизотропной термовязкоупругости со смешанными краевыми условиями [2] отличается от задачи термоупругости определяющими соотношениями
да да
= Е {•••1 %Р(х>г> т1> Т2---ТП)П [£'т/т (х> Тт)(х)(Э(х> ТтЖТт (2.1)
п=1 0 0 т=1
Ядра Щав(х, г, Т1, т2,..., тп) полагаются равными нулю для т,- > г.
Теорема 2. Краевая задача термовязкоупругости (1.1), (1.2), (2.1), (1.4)—(1.8) инвариантна относительно интегральных преобразований с ядром Уь(р, г) за исключением уравнения теплопроводности и определяющих соотношений, которые приобретают вид
Л©*(х, р) - 1{©(х, г)У+(р, г)
о
- \ ©(х, г)д [У+ (р, г )]Л} =1 е*(х, р) (2.2)
дг д
o|(x, р) = Е { ••• { R|ap(x, л Рl, • • •, Рп)П [гиш(X, р) - (х)©*(х р)]^рт (2.3)
п=1 ®р1 ® р, т=1
Краевая задача термовязкоупругости отличается от краевой задачи термоупругости определяющим соотношением, поэтому ограничимся определением интегрального образа определяющего соотношения. Используем представление
п
Ща^х г, т1-тп) = | | ••• | ^а^х Р, Рl, •••, рп)¥11 (Р, г)П YL(Рm, тт№тФ (2.4)
®р ®Р1 ®Рп т_1
где д(ар(х,г,р,Р1, •••, рп) — интегральный образ ядер релаксации и-го порядка.
Формула (2.4) позволяет записать интегральный образ определяющего соотношения (2.1) задачи вязкоупругости в виде (2.3), что и требовалось.
При переходе от краевой задачи термовязкоупругости к задаче в образах может сложиться ситуация, когда интегральный образ определяющего соотношения (2.3) существенно упрощается. Это может произойти, например, в случае, если
п
Д*ар(х, Р, Р1, •••, Рп) = Щар(х, Р)П I (Р, Рг) (2.5)
г=1
Здесь д(ар(х, р) — компоненты некоторых тензоров, функции параметров х и р, а
I (р, pz) — ядра единичных ИП. В этом случае ИП с ядрами YL(p, г) и YL*(p, г) будем называть оптимальными.
да
п
да
да
о
со
Теорема 3. Оптимальный интегральный образ задачи термовязкоупругости совпадает с интегральным образом задачи термоупругости.
Доказательство. Достаточно установить справедливость этого утверждения для определяющего соотношения краевой задачи (2.2). Подставив выражение (2.5) в равенство (2.3) и учитывая определение ядра единичного ИП, после интегрирования получим
«> п
°1(х, Р) = Е Р)П Кт(X, р) - а—(х)в*(х, р)] (2.6)
п=1 т=1
что и требовалось.
Теорема 4. Для того чтобы краевая задача термовязкоупругости сводилась ИП с ядрами Уь(р, Х) и У*(р, X) к краевой задаче термоупругости, необходимо и достаточно, чтобы ядра релаксации представлялись в виде
п
Щав(х, X, Ть ..., Тп) = | Я^Уф, ОП ¥+(Р, Т^Р (2.7)
йр
Доказательство. Необходимость. Пусть интегральный образ краевой задачи термовязкоупругости совпадает с интегральным образом задачи термоупругости. Утверждение теоремы достаточно доказать для определяющих соотношений (2.6). Учитывая, что
?-Ът(х р) = 1 (х ТтТт (2.8)
Тт
®*(Х, р) = | ЩХ, Хт)У+(р, Тт)йТт (2.9)
®тт
из соотношений (2.6) получим
да I п I
°у(х, О = £ | ... | \ | 4ав(х, р)Уь, (р, Х)П Т+(р, Т^р I X
п=1 ю [а р у=1 ]
п
хП [£ит (х, Тт) - аит (х) ®(х, Тт)¥тт (2.10)
т=1
Содержимое фигурных скобок — ядро интегрального оператора определяющих соотношений.
Достаточность. Подставляя выражение (2.7) в определяющее соотношение (2.1) и интегрируя по всем ту, получим соотношения (2.6).
Выбор пары Уь(р, Х) и У+(р, X) прямого и обратного ИП в каждом конкретном случае определяется условиями, которым должны подчиняться искомые решения Су(х, Х), Ву(х, X), щ(х, Х) исходной задачи термовязкоупругости, а также классом описываемых вязкоупругих материалов — ядер релаксации Я—(х,1,т1,..., тп). Таким образом, выбранные ядра релаксации однозначно определяют ядра интегральных преобразований, с помощью которых задача термовязкоупругости сводится к задаче термоупругости. Например, если термовязкоупругое тело занимает конечный объем, функции <3у(х, X),
Sy(x, t), üj(x, t) и Rij)(x,t,т1;..., тn) предполагаются непрерывными по всем своим аргументам и рассматривается задача на конечном отрезке времени, то в качестве прямого и обратного интегральных преобразований можно взять прямое и обратное преобразования Фурье. В случае, когда рассматривается поведение вязкоупругого материала на полубесконечной прямой, необходимо пользоваться прямым и обратным преобразованиями Лапласа.
Сформулированный принцип соответствия позволяет предложить следующую последовательность решения краевой задачи теории термовязкоупругости: на основании соотношения (2.7) устанавливается вид ядер оптимальных ИП, затем с их помощью осуществляется переход к краевой задаче для образов исходных величин. Поскольку полученная задача для образов одновременно является задачей для образов краевой задачи термоупругости, то, установив эту задачу термоупругости, с использованием методов, изложенных ранее [3,4], находят ее решение, а значит, и решение задачи для образов. Имея решение задачи для образов, с помощью обратных ИП строят решение исходной задачи термовязкоупругости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 662 с.
2. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
3. Ермоленко Г.Ю., Юшков С.А. Способ решения первой начально-краевой задачи линейной теории упругости для изотропных тел // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 4. С. 715—718.
4. Ермоленко Г.Ю. Квадратуры решений первой и второй начально-краевых задач теории упругости для анизотропного материала // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 317—321.
Самара
e-mail: georgy12@yandex.ru
planeta@samaramail.ru
Поступила в редакцию 2.VII.2013
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.