АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 5, с. 632-636
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.2313
ПРИСОЕДИНЕННАЯ МАССА МОНОПОЛЯ И ДИПОЛЯ
В УЗКОЙ ТРУБЕ
© 2007 г. Н. Г. Канев
Акустический институт им. акад. Н.Н. Андреева РАН 117036 Москва, ул. Шверника, 4 E-mail: nickolay@imail.ru Поступила в редакцию 5.09.06 г.
Приводятся результаты экспериментального исследования присоединенной массы монополя и диполя в узкой трубе. Показано, что при перемещении монополя из свободного пространства в узкую трубу его присоединенная масса уменьшается, а присоединенная масса диполя увеличивается. При этом в трубе значение присоединенной массы обоих типов излучателей зависит от положения относительно стенок трубы. Если излучатель расположен на оси трубы, то его присоединенная масса имеет минимальное значение, а при приближении излучателя к стенке присоединенная масса увеличивается. Полученная зависимость качественно объясняется на простом примере.
PACS: 43.20.Rz, 43.40.At
Хорошо известно, что условия излучения звука в свободном пространстве и в узких трубах существенно отличаются. Так, при перемещении монополя с заданной объемной скоростью из свободного пространства в узкую трубу, излучаемая звуковая мощность увеличивается в Х2/пБ раз [1], где Б - площадь поперечного сечения трубы, Х -длина звуковой волны. Это связано с возрастанием активной нагрузки (вещественная часть сопротивления излучения). Вместе с тем, должна изменяться и реактивная нагрузка (мнимая часть сопротивления излучения). Для излучателей малых волновых размеров реактивное сопротивление описывается, как правило, присоединенной массой. В работе [2] найдена присоединенная масса резонатора Гельмгольца, т.е. монополя, расположенного на стенке волновода. Экспериментальное исследование дипольного резонатора [3] показало, что присоединенная масса диполя, расположенного в трубе, больше, чем у того же диполя в свободном пространстве.
Настоящая работа посвящена более подробному исследованию присоединенной массы монополя и диполя в узкой трубе. Сначала проводится сравнение присоединенной массы излучателя в свободном пространстве и в трубе, затем исследуется зависимость присоединенной массы излучателя от положения в поперечном сечении трубы.
В работе [4] получены выражения для присоединенной массы пульсирующей и осциллирующей сферы радиуса а, помещенной в геометрическом центре волновода прямоугольного сечения. Радиус сферы полагается малым по сравнению с длиной волны и поперечным размером волново-
да. Рассмотрим одномодовый волновод квадратного сечения со стороной ё. В волноводе может распространяться только плоская волна, если выполняется условие кё < п, где к - волновое число. В этом случае остальные моды волновода являются экспоненциально затухающими. Именно они и определяют присоединенную массу излучателя. Согласно [4] присоединенная масса монополя цт и диполя в одномодовом волноводе (узкой трубе) определяются следующими выражениями
Mm 4 M0m-
n = 0, m = 1
-2пa-Vn2 + m2 - (kd/2п2)j
л/n2 + m' ' - (kd/2п)2 (1) Md = 8пМш(а) X
^ exp(-2пал/n2 + m2 - (kd/2п)'
X > exp
n = 0, m =1
(2)
где ц0т = 4пра3 и = 3- пра3 - присоединенная
масса монополя и диполя в свободном пространстве [1], р - плотность среды. Очевидно, что присоединенная масса малых излучателей, для которых выполняется условие ка < 1, не зависит от сжимаемости среды, поэтому учитывать сжимаемость не будем и положим к = 0 в (1) и (2). Отметим, что учет сжимаемости практически не влия-
Ц/Ц0 1.4
и Гц
1.2 1.0
0.8 0.6 0.4
480 ..•О''
440 ...о""'
400 ..а'' - ..о'"' .о-'"' су
360
-
1 1 1 1 320
0
0.05
0.10
0.15
0.20
a/d
ю =
к
т + ц
(3)
Изменение условий излучения влияет только на присоединенную массу, и ее изменение однозначно связано с изменением собственной частоты. В качестве дипольного резонатора использовалась трубка, один конец которой затянут упругой мембраной, а другой конец открыт [3]. Монопольный резонатор имеет подобную конструкцию, с тем отличием, что свободный конец трубки закрыт жесткой стенкой. Радиус трубки дипольного резонатора равен 4.2 см, а монопольного - 6.5 см. Длина трубки в обоих случаях составляет 8 см. Для того, чтобы отношение разме-
280
Рис. 1. Присоединенная масса монополя (1) и диполя (2) в трубе в зависимости от их размеров согласно [4].
ет на результат вычислений по формулам (1) и (2), если кё < 1.
На рис. 1 приведена зависимость присоединенной массы монополя и диполя в трубе квадратного сечения от размера излучателя. Значения присоединенной массы ц, вычисленные по формулам (1) и (2), нормируются на значение присоединенной массы излучателя ц0 в свободном пространстве. Как следует из рис. 1, присоединенная масса монополя в трубе меньше, чем в свободном пространстве. Присоединенная масса диполя, напротив, при помещении его в трубу увеличивается. При уменьшении размера излучателя, или при увеличении поперечного сечения трубы, т.е. а
при ---
275
300
325
350 Л, Гц
0, присоединенная масса стремится к
значению Ц0.
Экспериментальное исследование изменения присоединенной массы проведено с помощью монопольного и дипольного резонатора. Собственная частота резонатора определяется его упругостью к, массой т и присоединенной массой ц следующим образом
Рис. 2. Сравнение собственных частот монопольного (О) и дипольного (•) резонаторов в свободном пространстве / и в трубе/р.
ра резонатора к поперечному размеру трубы в обоих случаях было одинаковым, исследования дипольного резонатора проводились в круглой трубе диаметром 10 см, а монопольного в трубе диаметром 15 см.
На рис. 2 сопоставлены собственные частоты монопольного (проколотые точки) и дипольного резонаторов в трубе/р, расположенных у ее стенки, и в свободном пространстве /. Сплошная линия соответствует прямой/, = /. Как видно на рис. 2, собственная частота монопольного резонатора в трубе выше, чем в свободном пространстве, а собственная частота дипольного резонатора - ниже. Таким образом, присоединенная масса монополя в трубе меньше, чем у монополя в свободном пространстве, а присоединенная масса диполя больше, что согласуется с (1) и (2). Нетрудно видеть, что экспериментальные точки довольно точно укладываются на прямые (пунктирные линии), уравнения которых имеют следующий вид: для монопольного резонатора/ = 1.33/, для дипольного резонатора / = 0.95/.
Как следует из (3), отношение полной массы резонатора т + Ц в трубе и в свободном пространстве при неизменной упругости равно
т + Ц р
т
2
-/-- р
(4)
Отношение (4) для монопольного резонатора составляет 0.57, а для дипольного 1.11.
В описанном эксперименте резонаторы располагались у стенки трубы. Очевидно, что при пере-
f, Гц 454.0
f, Гц
1 С 1 n
M(r)/M(0) 1.025 г
0.1 0.2
r/D
Рис. 3. Зависимость собственной частоты (а - монопольного, б - дипольного) резонатора от его положения в сечении узкой трубы. Относительное изменение (в) полной массы (1 - монопольного, 2 - дипольного) резонатора.
z (а)
H
z2
z1
2.00 г
1.75 1.50 1.25 1.00
(б)
/
2 /
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
r/H
Рис. 4. Излучатель в волноводе - двумерная задача (а). Зависимость присоединенной массы излучателя от его положения относительно оси волновода (б): размер излучателя a/H = 0.1 (1) и a/H = 0.3 (2).
мещении резонатора от края трубы к центру условия излучения должны изменяться, и, как следствие, может изменяться его присоединенная масса. Для определения характера зависимости присоединенной массы от положения резонатора относительно стенок трубы была проведена серия измерений его собственной частоты при различном относе от оси трубы. На рис. 3 представлены результаты измерений. Расстояние между осью круглой трубы и осью цилиндрического резонатора r нормировано на диаметр трубы D. На рис. 3 а и 36 представлены значения собственных частот монопольного и дипольного резонатора в зависимости от положения в сечении трубы, описываемого параметром r/D. На рис. 3 а и 36 видно, что при перемещении монопольного и дипольно-го резонатора от оси трубы к ее стенке собственная частота резонатора уменьшается. На рис. 3в представлено относительное изменение полной массы резонатора M = m + ц при смещении резонатора в сечении трубы, найденное по результатам измерений M(r)/M(0) = [/с(0)//0(г)]2, где f0(r) -экспериментально найденная зависимость собственной частоты резонатора f0 от положения r. Таким образом, масса резонатора имеет минимальное значение, когда резонатор расположен в
центре сечения трубы, и увеличивается по мере приближения к стенкам трубы. При расположении резонатора вплотную к стенке его масса максимальна. Заметим, что это изменение присоединенной массы монополя и диполя значительно меньше изменения присоединенной массы при перемещении излучателя из свободного пространства в трубу.
Полученный результат качественно поясним на простом расчетном примере. Рассмотрим двумерный волновод шириной H с абсолютно жесткими стенками (рис. 4а), в котором распространяется только нулевая мода, т.е. kH < п. В волновод поместим плоский излучатель шириной a. Расположение излучателя в сечении x = 0 будем характеризовать расстоянием r между центром излучателя и осью волновода (пунктирная линия на рис. 4а). Координаты концов излучателя равны z1 = (H - a)/2 - r и z2 = (H + a)/2 - r. Очевидно, что значения r ограничены следующим неравенством |r| < (H - a)/2.
Для монополя, т.е. пульсирующего излучателя, граничное условие в виде распределения скорости в сечении волновода x = 0 записывается следующим образом
U = 0, V, При z1 < z < z2, x = +0 -v, при zj < z < z2, x = -0 0, при 0 < z < zj и z2 < z < H.
(5)
Объемная скорость монополя равна 2va.
Для диполя, т.е. осциллирующего излучателя, скорость среды в сечении х = 0 не будет равна нулю. Для простоты предположим, что скорость среды Vт в данном сечении направлена вдоль оси х, а вдоль оси г имеет одинаковые значения. Иными словами, примем поршневую модель движения в сечении х = 0. Значение скорости среды должно быть таково, чтобы объемная скорость в сечении была равна нулю, т.е. av + (Н - a)vm = 0. Гран
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.