ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕТЕ-СОЛПИТЕРА ДЛЯ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1 К СИСТЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ ФУНКЦИЙ
© 2004 г. А. Ю. Логинов*, В. Н. Стибунов
Научно-исследовательский институт ядерной физики при Томском политехническом университете,
Россия
Поступила в редакцию 01.11.2002 г.; после доработки 25.03.2003 г.
Рассмотрено уравнение Бете—Солпитера для массивных частиц со спином 1. Выполнено разложение амплитуды рассеяния частиц со спином 1 по релятивистски-инвариантным тензорам. Получены коэффициенты преобразования спиральных амплитуд к инвариантным функциям амплитуды рассеяния. Получена система интегральных уравнений для инвариантных функций амплитуды рассеяния и выполнено парциальное разложение этой системы. Представлена эквивалентная система интегральных уравнений для парциальных спиральных амплитуд.
1. Уравнение Бете—Солпитера было первоначально сформулировано в квантовой электродинамике [1,2] для описания связанных двухчастичных состояний в том случае, когда ни одну из частиц нельзя рассматривать как источник внешнего поля. Однако область применимости этого уравнения не ограничивается рамками квантовой электродинамики. Уравнение Бете—Солпитера может быть сформулировано и в других перенормируемых моделях квантовой теории поля, таких, как ф3, ф4, скалярная электродинамика [3]. Кроме того, уравнение Бете—Солпитера применяется при описании сильных взимодействий, таких, как nN- и NN-рассеяние [4—6], реакции NN—NА [7, 8] и других процессов, которые не укладываются в рамки перенормируемых теорий. Это уравнение используется и при описании электромагнитных взаимодействий адронов, например рассеяния электрона на дейтроне [9, 10]. Свойства скалярных и векторных мезонов в рамках конституентной кварковой модели также могут быть описаны с помощью уравнения Бете—Солпитера [11 — 13]. Наиболее часто в приложениях рассматриваются уравнения Бете— Солпитера для амплитуд реакций с участием частиц со спинами 0 и 1/2 [14—16].
В настоящей работе будет рассмотрено уравнение Бете—Солпитера для амплитуды реакции упругого рассеяния векторных частиц 1- + 1- — — 1- + 1-. Основная цель этой работы заключается в приведении уравнения Бете—Солпитера для амплитуды рассеяния частиц со спином 1 к
E-mail: loginov@npi.tpu.ru
системе интегральных уравнений для инвариантных функций. Рассеяние частиц со спином 1 соответствует, например, взаимодействию векторных мезонов, рассеянию векторного мезона на дейтроне или упругому рассеянию дейтронов.
В разд. 2 дается общее выражение для Р-и Т-инвариантной амплитуды реакции 1- + 1- —
— 1- + 1-. В разд. 3 уравнение Бете—Солпитера приводится к системе интегральных уравнений для инвариантных функций с помощью полученных коэффициентов преобразования спиральных амплитуд к инвариантным функциям. В разд. 4 выполнено парциальное разложение системы четырехмерных интегральных уравнений и получена двумерная система интегральных уравнений. В разд. 5 приведена альтернативная система двумерных интегральных уравнений для парциальных спиральных амплитуд. В Приложении приведены коэффициенты преобразования спиральных амплитуд к инвариантным функциям и матрица системы двумерных интегральных уравнений для парциальных спиральных амплитуд.
2. Рассмотрим общую структуру амплитуды реакции рассеяния двух частиц со спином 1 и с отрицательными внутренними четностями: 1- + 1- —
— 1- + 1-. Начальные импульсы частиц обозначим к\, 51, конечные — к2, 52, 4-векторы поляризации начальных частиц — и, V, конечных — и', у'. Для выявления симметрии амплитуды по отношению к пространственному отражению и обращению времени удобно использовать симметричную и антисимметричную комбинации импульсов:
Р = к1 + 51 = к2 + 52, (1)
Р1 = ^(к1-д1), р2 = ^(к2-д2).
Инвариантные переменные в, и следующим образом выражаются через Р, р1, р2:
в = Р2, I = к - к2)2 = (Р1 - Р2)2, (2)
и = (к1 - ^)2 = (Р1 + Р2)2,
в + £ + и = 2(ш1 + ш2).
Будем считать, что взаимодействие между частицами Р- и Т-инвариантно. Общее выражение для амплитуды реакции с произвольными спинами участвующих в ней частиц имеет вид
Т(Р2,Р1;р) = ^¡г(Р2,Р1;Р)Яг(Р2,Р1;Р), (3)
г
где ¡г(р2,р1; Р) — инвариантные функции, зависящие от 4-импульсов начальных и конечных частиц лишь через инвариантные переменные в и Яг(р2,р1; Р) — инвариантные спиновые комбинации, составленные из 4-импульсов и волновых функций всех частиц, которые участвуют в реакции. Для построения амплитуды реакции необходимо определить число независимых инвариантных функций, которые входят в выражение (3). Оно равно числу независимых спиральных амплитуд реакции с учетом Р- и Т-инвариантности. Общее число спиральных амплитуд реакции 1- + 1- ^ ^ 1- + 1- равно (2в1 + 1)(2в2 + 1)(2вз + 1)(2в4 + + 1) = 81. Между этими амплитудами имеются соотношения, следующие из Р-инвариантности взаимодействия:
Тлз л4 ,Л1Л2 = п(-1)Л -Л2)-(Л3-Л4)Т-Л3-Л4;-Л1 -\2 ,
(4)
Т01,0-1,Т00
00.
, Пг, вг — внутрен-
Необходимо теперь определить 25 независимых инвариантных спиновых комбинаций Яг(р2,р1; Р), входящих в выражение (3). Поскольку в, I, и являются Р- и Т-инвариантными, то /г(р2,р1; Р) также Р- и Т-инвариантны. Поэтому инвариантные спиновые комбинации Яг(р2,р1; Р) = = и *»ь *иЯ^авиаув, где Я^а — 4-тензоры четвертого ранга, также должны быть Р- и Т-инвариантными. В качестве 4-тензоров Яг ар, удовлетворяющих Р- и Т-инвариантности, можно выбрать следующие:
Я1 иав = р^р^ р2ар2в, (7)
Я1 иав = р1» Р» р2ар2в + р1»р^2а Рв, Я3 иав = Р^р1и р2ар2в + р1»р^ Р«р2в, Я4 а = Р» Р" р2ар2в + р1^р1и РаРв,
Я%ав = р1»^р2аРв,
Я%ав = р1Р Рар2в + Р^1»р2аРв, Я1 а = РР р2аРв + р1Р РаРв,
Я^иав = Р»р^ Рар2в,
Я%ав = РР Рар2в + Р^р1и РаРв,
где п = П1П2П3П4(—1)^3+54-51-52 ние четности и спины частиц; А3, Л4 и Л1, Л2 — спи-ральности векторных частиц соответственно в конечном и начальном состояниях. Легко видеть, что число независимых спиральных амплитуд уменьшается при этом до 41. Дальнейшие ограничения на число независимых спиральных амплитуд следуют из Т-инвариантности взаимодействия. Для упругих процессов Т-инвариантность приводит к следующим соотношениям между спиральными амплитудами:
ТЛз Л4 Л1Л2 = (-1)(Л1 -Л2)-(Лз-Л4)ТЛ1Л2ЛзЛ4. (5)
При этом число независимых спиральных амплитуд уменьшается до 25. В качестве независимых спиральных амплитуд можно выбрать следующие:
Т11,11 ,Т11,10 ,Т11,1-1 ,Т11,01 ,Т11,00 ,Т11,0-1, (6) гтл гтл гтл гтл гтл
Т 11,-11, Т 11,-10, Т 11,-1-1, Т 10,10, Т 10,1-1,
Т10,01 ,Т10,00 ,Т10,0-1,Т10,-11,Т10,-10 ,Т1-1,1-1,
Я
10
'^иав
РР РаРв,
р2ар2в +р1^р1и9ав,
Я12ав = р2аРв + р1Р 9ав,
Я]^иав = 9»V Ра р2в + Р»р^ дав,
Я]лиав = 9»VРаРв + Р»Ридав,
Я^1ав = р1»^вр2а,
Я}Иав = Р» 9vвp2а + p1»9vвPа,
Я^ав = Р» 9vвPа
9 »в р^ р2а + Рl»9vаР2в, Я11ав = 9»в ^ р2а + p1»9vаPв,
^^ав = 9»вр^ Ра + Р»^ар2в, Я»иав = 9 »вР Ра + P»9vаpв,
Щ^ав = 9 »ар2в,
¡^ав = 9 »а ^ р2в + 9 »а p1v Рв, Я^»vав = 9 »а Р Рв, Я^»vав = 9 »а 9vв,
где 9»V — метрический тензор. Из выражений (4) и (5) видно, что соотношения Р- и Т-инвариантности спиральных амплитуд реакций упругого рассеяния частиц со спином 1 совпадают, если произведения внутренних четностей участвующих в них частиц
гтл гтл гтл гтл гтл гтл
Т 1-1,01,Т 1-1,00,Т1-1,0-1,Т 1-1,-11,Т 01,01,Т 01
,00,
П1П2ПзП4 одинаковы. При этом для таких реакций совпадает и число независимых спиральных амплитуд. Поэтому набор 4-тензоров (7) может быть использован также для построения амплитуд реакций 1+ + 1+ — 1+ + 1+, 1+ + 1+ — 1- + 1-, 1+ + 1- — 1+ + 1-.
Набор 4-тензоров (7) не является единственно возможным. Рассмотрим, например, инвариантную спиновую комбинацию Я25(р2,р1; Р) = (и'* ■
■ и)(у'* ■ у), соответствующую 4-тензору Я2^^ = = Возникает вопрос: почему среди инвариантных спиновых комбинаций Яг(р2,р1;Р) = = и *Яг^иа0иаув, соответствующих 4-тен-зорам (7), нет подобных Я25(р2,р1; Р) спиновых комбинаций (и'* ■ у'*)(и ■ у) или (и'* ■ у)(у'* ■
■ и)? Ответ состоит в том, что данные спиновые комбинации не являются независимыми, и это можно показать, используя определители Грама. Известно, что в 4-мерном пространстве любые пять 4-векторов являются линейно зависимыми. В нашем случае это означает, что равен нулю определитель Грама:
u, u'*, Р pl, р2 = 0
V, V'*, Р, р1, Р2,
содержащий векторы поляризации всех частиц, участвующих в реакции, и все 4-импульсы, входящие в выражения для 4-тензоров Яг^а/3. Необходимо определить число независимых связей, обусловленных определителями Грама. Из-за свойств симметрии определителей Грама [17] возможны любые перестановки векторов в строках и перестановка верхней и нижней строк — это может привести лишь к изменению общего знака определителя. Только перестановка векторов из верхней и нижней строк определителя Грама может привести к существенно новым связям. При этом перестановка векторов Р, р1, р2 из верхней и нижней строк также не может приводить к новым связям, так как при любой такой перестановке в верхней и нижней строках окажутся два одинаковых 4-вектора, что приводит к тождественному равенству нулю определителя Грама. Остаются лишь перестановки в
группе
и, и . С V, V'
учетом свойств симметрии опре-
делителя Грама имеются следующие независимые перестановки:
V, и
/*
и, V
и, V' и' , V'
(8)
Итак, три определителя Грама равны нулю:
и, и'
' Р, р1, р2.
а
, V, V
/*
а
а
V, и
/*
и, V
/*
0,
Р, р1, р2 Р, р1, р2.
= 0,
и, V, Р, р1, р2
и' , V , Р, р1, р2 ,
Раскрывая эти определители, получим однородную систему трех линейных уравнений. Однако ранг этой системы оказывается равным двум, так как третье линейное уравнение будет равно разности первого и второго уравнений. Таким образом, между инвариантными спиновыми комбинациями имеются две линейно независимые связи, позволяющие выразить (и'* ■ v'*)(u ■ V), (и'* ■ v)(v'* ■ и) через Я1(р2,р1; Р )-Я25 (р2,р1; Р):
4Я1
(и' ■ V )(и ■ V) =
г(-4т2 + 8 + г)
+
(10)
Я4(4т2 - в) Я5(-4т2 + 8 + 2г)
Н--Г7—;—о—:-:—гт--гт—;—о—:-:—Г\—Ь
зг(-4т2 + 8 + г) зг(-4т2 + 8 + г) Я6 Я7
+
+
г(-4т2 + 8 + г) -4т2в + в2 + вг Я8 (-4т2 + 8 + 2г) Я9
+
8г(-4т2 + 8 + г) 8(-4т2 + 8 + г)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.