ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 5, 2004
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА, ДИАГНОСТИКА,
ИСПЫТАНИЯ
УДК 620.178.32:006.354
© 2004 г. Ефремов Л.В.
ПРОБЛЕМЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ДЕТАЛЕЙ МАШИН В ВЕРОЯТНОСТНОМ АСПЕКТЕ
Обоснована правомерность широкого использования логнормальной вероятностной модели кривой усталости степенного вида с нулевой асимптотой для прогнозирования и обеспечения усталостной долговечности деталей машин. Задачу удалось решить с помощью нового метода обработки данных об испытаниях образцов на долговечность. Материалы будут полезны при проектировании, модернизации и ремонте машин.
Достижения отечественной академической науки о прочности металлов [1-6] привели к созданию инженерных методов расчетной и экспериментальной оценки характеристик сопротивления усталости. В частности, разработанный ГОСТ [7] позволяет оценивать медианный предел выносливости детали обаз для базового числа ^баз = 10 циклов с учетом конструктивно-технологических свойств детали. Величина обаз, соответствует точке перелома на кривой усталости. Левая часть кривой усталости характеризуется степенной функцией
050 = CN-Um, (1)
где N - число циклов до разрушения образца; C, m - постоянные параметры.
Принято считать, что вправо от указанной точки кривая усталости должна переходить в прямолинейную зону неограниченной долговечности о50 = обаз = const. Однако опыт эксплуатации и статистика усталостных разрушений деталей многих машин и сооружений не всегда подтверждают эту гипотезу. Известны случаи массовых поломок деталей, работающих под воздействием знакопеременных нагрузок с амплитудами напряжений, которые явно не превышали предела выносливости детали при наработке N > 10 циклов. Опыт проектирования и модернизации машин показал, что усталостные разрушения можно предупреждать, если предел выносливости рассчитывать по кривой усталости степенного вида (1) для всего рабочего числа циклов.
Методика [8] позволяет применять ГОСТ 25.504-82 для расчета величины обаз и постоянных величин C и m кривой усталости, которая не имеет надлома и продолжает снижаться при увеличении числа циклов свыше базовой величины. В [7] оценка предела выносливости детали при любой заданной вероятности P выполняется по формуле для нормального закона oP = 050(1 + ZPV0), где ZP - квантиль нормального распределения, V0 - коэффициент вариации значений пределов выносливости.
В методике [8] для той же цели применяется логнормальное распределение oP =
= о50 exp(ZPBln0), Bln0 = ^ln (1 + v0) , где Bln0 - параметр формы логнормального рас-
пределения, который зависит от коэффициента вариации Уа, но мало от него отличается. Справедливость приведенных зависимостей вытекает из рассмотрения функции (1) в логарифмических координатах, когда нормальному закону подчиняются не сами исследуемые величины, а их логарифы. При этом обнаружено важное свойство этой вероятностной модели - простая, но очень важная зависимость между параметрами формы распределений долговечности Бш и предела выносливости Б1па: Бш = тБ1па. Эта зависимость позволяет объяснить причину большой дисперсии ресурса деталей (с коэффициентом вариации Ум = 0,5-1,0) даже при малом рассеивании предела выносливости (например, Уа = 0,1), поскольку показатель степени т для стальных деталей находиться в пределах от 4 до 15 [9].
Отсюда следует формула для расчета гамма-процентного ресурса детали (в циклах) для заданной вероятности у = (100 - Р): N = (С/о50)техр(-ХВ\п#).
Аналогичная модель усталостной долговечности, которую можно назвать логнор-мальной моделью, получила широкое применение в судостроении [10], автомобилестроении [9] и др. отраслях промышленности. Особо отметим многолетний опыт применения такого подхода к обеспечению усталостной долговечности при массовом производстве подшипников качения.
Следует признать, что, не смотря на явную практическую эффективность, эта модель далеко не всегда находиться в согласии с разработками авторитетных специалистов в этой области науки [4, 6] и, в некотором смысле, противоречит таким фундаментальным понятиям теории прочности как предел выносливости, малоцикловая и неограниченная долговечность. Основная цель настоящей статьи заключается в разрешении этих противоречий и корректном обосновании правомерности логнормаль-ной модели. Попутно решается еще одна проблема, связанная с совершенствованием методов обработки результатов испытаний образцов на усталостную долговечность.
Рассмотрим основные результаты исследований этих проблем, которые условно можно разделить на два этапа. На первом этапе выполнено подтверждение эффективности обобщенного уравнения кривой усталости Вейбулла [5], частным вариантом которого является функция (1). Для этого в качестве эталона используется обобщенная функция кривой усталости [5]
°от, а = + А ^ (N + N1 )-а, (2)
где оот, = омоб13 - отношение предела выносливости для неограниченной базы
^ = тс) к пределу выносливости для базы 10 циклов; N1, А, а - параметры уравнения обобщенной кривой усталости. В работе [5] приведены значения этих параметров для деформированных алюминиевых сплавов, испытанных на изгиб с вращением.
В [5] сказано, что из всех известных уравнений кривых усталости удовлетворительное соответствие с обобщенной кривой имеет уравнение Вейбулла, которое в относительных напряжения имеет вид
^от, а = + С (N + N1 Т11т. (3)
Это выражение приводится к виду функции (1) при нулевой асимптоте = 0 и N1 = 0. Для изучения уравнения (3) по формуле (2) были рассчитаны напряжения для нескольких фиксированных значений N, которые далее рассмотрим в качестве "опытных" значений кривой усталости. Затем по этим точкам методом наименьших квадратов были определены параметры кривых усталости для общего уравнения Вейбулла (3) и его двух вариантов: функции (3) при N = 0 и функции (1).
Расчеты в редакторе МАТНСАО по специально разработанной программе позволили получить результаты, приведенные в табл. 1. Было доказано совпадение уравнения (3) с исходной формулой Степнова (2) при коэффициенте корреляции | = 1. Двухпараметрическое уравнение (1) так же оказалось в хорошем согласии с уравнением (2) при 1Дху | = 0,988 и степени т = 12,8.
Эти результаты позволяют перейти ко второму этапу решения основной проблемы - доказательству преимуществ функции (1) путем сравнительного корреляцион-
Таблица 1
Номер т ^от, тс ^от, а (медиана) для циклов
формулы 105 107 109
(2) 0,46 3000 1 1,597 0,996 0,776
(3) 4,8 0,65 3000 -1 1,541 0,991 0,779
(3) 5 0,636 0 1 1,535 0,994 0,779
(1) 12,8 0 0 0,988 1,489 1,04 0,727
Таблица 2
Число циклов • 10-6 по уровням напряжений, кГ/мм2
11,0 11,5 12,0 12,5 13,5 16,5
1 30,20 20,5 12,6 5,94 3,38 0,583
2 44,90 25,7 13,3 10 3,75 1,1
3 47,70 38,1 21,2 11,2 4,23 1,22
4 49,00 45,3 27,4 15,4 6,75 1,29
5 50' 50' 30,1 17,3 8,01 1,81
6 50' 50' 36,9 23 8,17 2,18
7 50' 50' 50' 23,1 9,26 2,23
8 50' 50' 50' 26,7 10,3 2,65
9 50' 50' 50' 50' 12,4 2,65
10 50' 50' 50' 50' 14,6 3,36
11 50' 50' 50' 50' 16,5 3,84
12 50' 50' 50' 50' 18,2 6,24
13 50' 50' 50' 50' 23,9 7,59
14 50' 50' 24
15 50' 50' 32,1
16 50' 45,9
17 50' 47,7
18 50' 50'
27 50'
28 50'
Примечание. Приведено число циклов для сломанных образцов, 50' - образцы, отработавшие базовое число циклов 5 • 107 без поломки.
ного анализа уравнения Вейбулла при разных значениях его параметров. Для повышения достоверности решения этой задачи в качестве исходных данных были использованы результаты испытаний образцов из легкого сплава АВ (табл. 2), опубликованных в первоисточнике [5] и в справочной литературе [3, 9] и др.
В табл. 2 наблюдается значительное рассеивание числа циклов до разрушения образцов, не смотря на то, что испытания и подготовку к ним выполняли очень качественно. Если при высоких уровнях нагрузки происходили разрушения всех образцов, то на более низких уровнях нагрузки разрушалась только часть из них.
В работе [11] приведена методика статистической обработки так называемых цензурированных выборок, содержащих отказавшие и еще не отказавшие объекты. На основе этой методики были разработаны алгоритмы и программы в редакторе МАТНСАО, которые содержат следующие операции.
Сначала для каждого уровня нагрузки составляли эмпирическое распределение вероятности разрушения образцов. Затем по этим данным рассчитывали параметры выбранного закона распределения (логнормального) с использованием метода наи-
Рис. 1. Зависимости коэффициента корреляции (а) и асимптоты (•) от показателя т
меньших квадратов и проверкой согласия с эмпирическим распределением по коэффициенту корреляции. Далее по параметрам распределения для каждого г-го уровня нагрузки сг определяли медианное значение числа циклов до разрушения N и среднеквадратичное отклонение логарифма этой величины Ь1пМ. Эти статистические данные используются для определения корреляционной зависимости разрушающих напряжений от числа циклов для любой заданной вероятности не разрушения образца у.
В методике впервые была применена анаморфоза переменных для расчета постоянных корреляционного уравнения хг = 1п(^;), уг = о;т. Были определены параметры уравнения Вейбулла, соответствующие максимальному коэффициенту корреляции (рис. 1). Одновременно были рассчитаны параметры для уравнения [2] при т = 2 с асимптотой Ф 0 и искомого уравнения (1) с нулевой асимптотой = 0.
На рис. 2 приведены медианные кривые усталости при всех трех вариантах уравнения Вейбулла.
В итоговой табл. 3 показано, что данном случае лучшее согласие (Яху = 0,998) имеет оптимальная кривая при т = 4,05 и = 7,89, а наихудшее (Л = 0,989) при т = 2 и
= 10,6.
При выборе расчетной формулы предпочтение следует отдать уравнению, которое дает наименьшее значение предела выносливости при числе 10 -10 циклов. Этому условию удовлетворяет только степенная функция с нулевой асимптотой (1), имеющая показатель степени т = 9,89 при очень высоком значении коэффициента корреляции 0,994.
В нижней строке табл. 3 приведены справочные данные об основных характеристиках сплава АВ. Эти величины хорошо согласуются с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.