МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2015
УДК 532.526
ПРОДОЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ПРИСТЕНОЧНОЙ ОБЪЕМНОЙ СИЛОЙ
© 2015 г. С. В. МАНУЙЛОВИЧ
Центральный аэрогидродинамический институт им. Н.Е. Жуковского, Жуковский, Московская обл.
e-mail: sergei.manuilovich@gmail.com
Поступила в редакцию 13.02.2015 г.
Изучены стационарные двумерные течения вязкой несжимаемой жидкости над плоской неподвижной границей, порождаемые периодической пристеночной объемной силой. Расчет соответствующих краевых задач для системы уравнений Навье—Стокса проведен с помощью разложения искомых решений в ряд Фурье по продольной переменной и конечно-разностной аппроксимации второго порядка точности по вертикальной переменной. Исследованы зависимости скорости дальнего поля течения от параметров силового воздействия.
Ключевые слова: вязкая жидкость, периодическое течение, объемная сила.
В последние годы широкую популярность приобрели методы управления течениями газа с помощью плазменных актуаторов [1, 2]. Создаваемая ими объемная сила может применяться для решения таких практических задач, как предотвращение отрыва потока от обтекаемой поверхности или затягивание ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое.
В случае управления отрывом [1—3] воздействие может осуществляться одним или несколькими актуаторами, размещенными вблизи места предполагаемого отрыва. Для ламинаризации пограничного слоя на стреловидном крыле необходимо сформировать объемную силу, ослабляющую поперечное течение вдоль всего размаха крыла [4—6]. В идеальном случае скользящего крыла полное подавление поперечного течения в пограничном слое можно было бы осуществить с помощью распределений объемной силы, однородной вдоль размаха [5, 6], но такие воздействия вряд ли осуществимы на практике. Более реалистичным представляется модулированное силовое воздействие, создаваемое периодической последовательностью актуаторов, установленных на поверхности крыла перпендикулярно передней кромке [4]. Расчет таких управляемых течений проводился в [4] в рамках приближения пограничного слоя; стабилизирующий эффект воздействия изучен в [7].
При исследованиях различных систем плазменных актуаторов эксперименты зачастую проводятся в покоящемся газе [8]. В данной работе в рамках полной системы уравнений Навье—Стокса исследуется модельная задача о двумерном стационарном течении вязкой жидкости над поверхностью плоской бесконечной пластины, вызванном действием периодически модулированной пристеночной объемной силы.
1. Общая формулировка задачи. Будем изучать ламинарные двумерные течения вязкой несжимаемой жидкости плотности р° и вязкости в полупространстве, ограниченном плоской стенкой (надстрочным символом помечены размерные величины). В плоскости симметрии введем декартову систему координат с осями x° и y° вдоль
стенки и перпендикулярно ей. Компоненты скорости жидкости вдоль этих осей обозначим и° и и°, давление — p0.
Предположим, что стационарное движение жидкости вызвано действием объемной силы с компонентами/° и g°. Введем безразмерные переменные с помощью равенств
{х°, у °} = Ь °{х, у}, {и °,и°} = V°{и, и}
р ° = с °Ь °р, {/ °, g °} = с ° {/, g}
Здесь Ь° — характерный поперечный размер области силового воздействия, с° — характерная интенсивность воздействия, V ° = с °Ь °2/^ ° — характерная скорость движения жидкости, индуцируемого действием объемной силы.
Параметры течения удовлетворяют системе уравнений Навье—Стокса
ди + ди _ о
дх ду
Я Г и — + и ди 1 + др _д2и + + / (1.1)
I дх ду) дх дх2 ду2
я Г и ди+и ди 1+др _д22+д22+g
{ дх ду) ду дх2 ду
Система (1.1) содержит единственный параметр подобия — число Рейнольдса Я = р °V °Ь ° / ^ °, являющееся мерой интенсивности движения. Компоненты скорости на стенке удовлетворяют условиям прилипания
и (х,0) = и (х,0) = 0 (1.2)
Если движение жидкости обусловлено периодической по х объемной силой, действие которой сосредоточено вблизи стенки, вдали от нее скорость течения удовлетворяет асимптотическим условиям
— (х, <») = и (х, <») = 0 (1.3)
ду
Сделаем некоторые допущения относительно класса рассматриваемых силовых воздействий. Поскольку объемная сила обусловлена движением ионизированных атомов газа, будем предполагать, не ограничивая общности, что поле сил соленоидально
3 = 0 (1.4)
дх ду
Заметим, что потенциальное силовое поле/ = дф/дх, g = дф/ду не вызывает движения, а его действие уравновешивается распределением давления: в этом случае решение системы (1.1) имеет видр = ф, и, и = 0.
2. Продольно-однородное силовое воздействие. Рассмотрим сначала случай, когда объемная сила направлена вдоль обтекаемой поверхности и однородна по х. Используемое в данной работе вертикальное распределение продольной силы в качественном отношении аналогично случаю действия диэлектрического барьерного разряда [1, 2]: интенсивность воздействия максимальна вблизи стенки и быстро уменьшается при удалении от нее
/ = ^ (у) = 2ехр(-у2) (2.1)
2
У
1
\ \ \ \ \ \ ч ч ч . ч / ч / N /
ч / ч/ К и ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч \
Фиг. 1. Профиль скорости и продольно-однородного течения, порождаемого объемной силой ¥
2
Сила (2.1) вызывает одномерное течение жидкости, не затухающее при у ^ ю и = и (у) = 1 - ехр(-у2) + л/Пу егАс у (2.2)
Здесь егГе у — интеграл вероятностей [9]. Профиль скорости (2.2) удовлетворяет условию нормировки и(ю) = 1; именно с этой целью выбрано значение 2 мультипликативной постоянной в (2.1). Таким образом, при у ^ ю действие объемной силы (2.1) эквивалентно действию продольного движения границы со скоростью 1. Профили силы (2.1) и скорости (2.2) показаны на фиг. 1.
3. Метод расчета продольно-периодических течений. Введем функцию тока у, полагая и = ду/ду, и = —ду/дх. Исключим давление из уравнений импульса (1.1) перекрестным дифференцированием. В результате получим неоднородное уравнение для функции тока, аналогичное [10]:
к = ^ + ^, д = + (3.1)
чду дх дх ду ) ду дх дх ду
Будем считать, что поле объемной силы периодично по х. С учетом (1.4) будем рассматривать класс силовых воздействий, являющихся обобщением однородного воздействия (2.1):
ад
/ = В (х) Г (у), g = ^ (х) О (у), О = (ч)1ц = 4П егй у (3.2)
их
у
Здесь функция В(х) периода Р задает продольное распределение интенсивности силового воздействия. Представим компоненты объемной силы в виде рядов Фурье
ад
{/,g}(х,у) = X }(у)ехр(тах), а = р
п=-ад
/п = ЛпГ(у), gn = 1па ВпО(у)
Для корректного сравнения различных объемных воздействий класса (3.2) будем предполагать, что средние значения их продольных компонент одинаковы: = 1. Этому ограничению удовлетворяют продольные распределения, используемые далее в примерах расчетов
D(x)
X H
x - nP
A <
п=-ю
Ю
И(x) = 1 I н* (к) С08 kx dк, И*
П [ к
, I к 2т
т=1 4 ^
(3.3)
Здесь А — характерная ширина области воздействия, Н(х) — базовая функция, задающая форму воздействия (фиг. 2). Эта функция неотрицательная, бесконечно дифференцируемая, четная, финитная с носителем (—1,1). Площадь под ее графиком равна 1, при х > 0 график симметричен относительно точки (1/2, 1/2).
Решение уравнения (3.1), соответствующее воздействию (3.2), (3.3), будем также искать в виде ряда Фурье:
у(х, у) = | и(п)<X Vп(У) ехр(/пах)
(3.4)
Для удобства дальнейшего изложения в разложении (3.4) нулевая гармоника разделена на главную (интеграл) и поправочную части. Подставляя (3.4) в уравнение (3.1), получим бесконечномерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета высших гармоник п Ф 0
- 2( па)2 + (па )4 у п
(у
- /паЯ 1 и
(у2 < 2
—- (па)2у п . <У
< 2и
(у2
-У п
= У /таЯ №
У 1 <у
/+т=п
' (¡2
—У2т - (та)2у п у2
+ - таgn = у
(3.5)
< У/
у3
- (/а)2
у
У т
При расчете нулевой гармоники будем использовать второе уравнение исходной системы (1.1), обозначая и0= ёу0/ёу (в такой комбинации функция у0 входит и в правую часть системы (3.5))
(
2
0
п=-<»
^= X2таЯ1ш
иу т=1
V| (3.6)
иу
Здесь черта сверху обозначает комплексное сопряжение.
Граничные условия (1.2), (1.3) для (3.5), (3.6) приобретают вид
¥п(0) = ^(0) = ¥п(®) = ^(да) = п * 0; и0(0) = ^Н = 0 (3.7)
ау ау ау
Для расчета задачи (3.5)—(3.7) полубесконечная область 0 < у < да заменялась конечной 0 < у < ушах и дробилась на Лу равных шагов. В уравнениях (3.5), (3.6) производилась конечно-разностная аппроксимация производных со вторым порядком точности, бесконечные суммы заменялись конечными — N < п, I, т < ЛЛ, где N — число учитываемых гармоник. Условия для йуп/йу при у = 0 и для йи0/йу при у = ушах также аппроксимировались со вторым порядком точности, используя трехточечный шаблон.
Ввиду сравнительно медленного затухания гармоник с небольшими п > 0 при выставлении асимптотических условий для уп и йуп/йу использовался прием, аналогичный [11]. Анализ показывает, что с учетом быстрого затухания (2.1) решение уравнения (3.5) при у ^ да имеет вид
у п = С\ехр(-ку) + С2ехр(-Х у), к = па, X = V !к\1 + к2 (3.8)
Трижды последовательно дифференцируя уп и избавляясь в полученной системе четырех равенств от членов, явно зависящих от у, получим два смешанных однородных граничных условия:
х2 + кХ + к2 а V п х + к а V п = 0
V п 2 2 2 2 2 3 0
1 2л 2 »27 2л 2 13
к X ау к X ау (3 9)
а V п + х + к а V п +1 а V п = 0
йу кХ ¿¡у2 кХ йуъ
"шах'
которые выполняются с хорошей точностью при сравнительно небольших у = уш Условия (3.9) также подвергались конечно-разностной аппроксимации второго порядка точности.
В результате задачи (3.5)—(3.7) с учетом у-п = уп сводились к N + 1 нелинейной алгебраической системе для Лу + 1 уравнения. Эти системы решались итерационным методом: правые части (3.5), (3.6) вычислялись, используя значения функций с предыдущего шага итерации, на первом шаге они полагались равными 0. Решения полученных линейных систем вычисляли методом Гаусса, причем система для нулевой гармоники рассматривалась в последнюю очередь. Точность вычислений контролировалась варьированием параметров дискретизации в промежутках Лу е [1000, 3000], у^е [5, 15], М„ е [5, 20].
4. Пример расчета поля скоростей пристеночного периодического течения. Приведем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.