МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. А.С. ПРОМЫСЛОВА
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ (КОНЦЕНТРАТОРОВ)
В работе рассмотрены продольные колебания упругих стержней переменного сечения (концентраторов) конического, экспоненциального и катенои-дального типов. Получены аналитические выражения коэффициентов усиления концентраторов в случаях задания граничных условий первого и второго рода. Численно рассмотрены различные профили и проведено сравнение коэффициентов усиления в зависимости от типа граничных условий и от номера собственного числа. Замечено, что с увеличением номера собственного числа кривые для коэффициентов усиления как первого, так и второго рода стремятся к предельным кривым.
1. Аналитические решения задачи о концентраторах. Многие проблемы механики, теории колебаний и устойчивости, математической и теоретической физики, теории упругости, механики композитов приводят к краевым задачам для определения собственных частот и форм колебаний [1-3].
Процессы, происходящие в концентраторах напряжений и скоростей, могут моделироваться задачами о продольных колебаниях упругих стержней с переменным поперечным сечением. Ниже при выводе основных соотношений предполагается, что при прохождении волн напряжения волновой фронт остается плоским, а напряжение равномерно распределяется по сечению. Это допущение является приближенным, так как продольные деформации частей стержня будут обязательно сопровождаться поперечными, что в свою очередь, должно приводить к неоднородному распределению напряжений по сечению стержня и к некоторому искажению фронта. Однако, как показывается в [1], для концентраторов, длина которых значительно превосходит диаметр, роль поперечных деформаций невелика и может быть учтена с помощью некоторых малых поправок.
Рассмотрим упругий стержень единичной длины (в безразмерный базис входят модуль упругости E, плотность стержня р и его длина I) (фиг. 1). На основе описанных выше допущений уравнение для смещений можно представить в следующем виде:
где ю - частота колебаний, с1 - скорость продольных волн в стержне. Для колебательной скорости частиц и = дид уравнение имеет аналогичный (1.1) вид:
u" + S u'/S + Г u = 0, Г = ю2/с
2
2
2, 2
(1.1)
V" + Б V'/Б + к и = 0
Будем рассматривать два типа граничных условий: первого и второго рода: и( 0) = 0, и( 1) = 0, и'( 0) = и0 и'( 0) = 0, и'( 1) = 0, и( 0) = и0
2
(1.2)
(1.3)
(1.4)
где и0 и и0 - резонансные значения амплитуды колебательной скорости и напряжения на поверхности вибратора (при отсутствии концентратора).
Фиг. 1
В качестве исходной характеристики примем отношение линейных размеров оснований широкого и узкого концов N = и изучим несколько различных характерных форм концентраторов:
1.1. Концентратор в форме конического рупора. Площадь произвольного поперечного сечения представляется в форме
5 = ^С1-ах)2, а = (Я1-Я2 )/Я1 так что уравнение (1.2) для колебательной скорости имеет вид
.„ . 2и
i 2 + k V
0
x - 1/а Решение уравнения (1.6): 1
(1.5)
(1.6)
и =
(A1 cos kx + A2 sin kx)
х - 1/а
после подстановки в граничные условия второго рода (1.4) приводит к соотношению к
(1.7)
tg k =
1+ k2 N / (1- N )2
(1.8)
определяющему те значения к, при которых возбуждаются резонансные колебания конического рупора. В предельном случае для остроконечного конуса N ^ <*> (Я2 ^ 0) получим tg к = кте.
Распределение амплитуды колебательной скорости по длине резонансного конического рупора и коэффициент усиления по колебательной скорости имеют вид
и0 ( а \
-- cos kx - ---sin kx
1 - ax v k J
и(1)
и( 0)
N| cosk - N sink kN
< N
(1.9) (1.10)
Выражение (1.10) для коэффициента усиления показывает, что конический концентратор является мало эффективным трансформатором скорости, так как |и(1)/и(0)| < N. С увеличением N величина |и(1)/и(0)| стремится к определенному пределу
lim
N
и( 1)
и( 0)
=
1+k:
(1.11)
и
Запишем также распределения деформаций по длине рупора
u
u0a ( a \ u0k ( a \
- coskx- ---sinkx + —-- - sinkx - ---coskx\ (1.12)
2 V k ) (1- x a)\ k )
(1 - x a)
где и0 - амплитуда смещения на широком конце рупора.
Если принять граничные условия первого рода (1.3), то распределение скоростей и коэффициент усиления имеют следующий вид:
С, sin (пnx)
и = -71-,
x - 1/a
U( 1)
U( 0)
1 N, С = const (1.13)
la-1|
т.е. коэффициент усиления равен отношению линейных размеров широкого и узкого концов.
1.2. Концентратор в форме экспоненциального рупора. Для такого стержня площадь произвольного сечения равна
Б = Б^*, р = 1п (Я1/Я2) = 1п N (1.14)
Уравнение для колебательной скорости (1.2) имеет вид
V" -2ри + к2и = 0 (1.15) С учетом граничных условий второго рода (1.4) получим
к * = ^к2 - р2 = п п (1.16)
Распределение колебательной скорости по длине стержня и коэффициент усиления концентратора
и = и0e^xf cosk*x - k* sink*x
u( 1)
u( 0)
= N (1.17)
показывают, что усиление резонансного экспоненциального концентратора равно отношению линейных размеров оснований.
Выпишем также распределение деформаций по длине стержня:
u' = -u0(k2/k *) sin k * x (1.18)
В случае задания на границе скоростей (1.3) распределение амплитуды колебательной скорости примет вид
в x
и = С2е sin (п nx), С2 = const (1.19)
а коэффициент усиления будет такой же (см. (1.17)), как и в случае, когда заданы напряжения (1.4):
U( 1)
U( 0)
= N (1.20)
1.3. Концентратор в форме катеноидалъного рупора. В данном случае площадь произвольного сечения стержня зависит от x следующим образом:
S = S2ch2 (у( 1- x)), у = arch (R1/R2) = arch N (1.21)
Уравнение для колебательной скорости имеет вид
и"-2 у Ш СуС 1- х ))и' + к2 и = 0 (1.22)
Резонансные значения к* = «к - у в случае граничных условий второго рода находятся из уравнения
k *tg k * = -л/1^1/ N 2arch N (1.23)
Распределение амплитуды колебательной скорости по длине и выражение для коэффициента усиления концентратора
u0chy | Y \
и = ch ( y ( 1 - x ) ) V c0s k * x-k*th Y sin k * xJ,
и(1) = ------N------
и( 0) cos k*
> N (1.24)
свидетельствуют о том, что катеноидальный концентратор - весьма эффективный трансформатор скорости, особенно при больших значениях N. Распределения деформаций по длине рупора следующее:
«оYchYsh(Y( 1-x))| ■ \ -2-1 cos kx - ^th Y sin kx +
U - 2
ch (Y( 1- x))
k u0ch y | Y \
——--— - sin k'x - -nth y cos k'
i(Y( 1- x ))v k' ' J
+ еЬ СуС 1-
При задании граничных условий первого рода (1.3) распределение амплитуды колебательной скорости и коэффициент усиления следующие:
C3 sin (nnx) ch ( Y ( 1 - x) )'
U( 1)
и (0)
|ch yI = N, C3 = const (1.26)
Рассчитанные значения коэффициентов усиления для условий второго рода показывают, что наибольшим усиливающим действием из рассмотренных концентраторов обладает катеноидальный концентратор, а наименьшим конический [1]. При небольших значениях N все типы концентраторов дают приближенно одинаковый результат. Для условий первого рода кривые во всех случаях совпадают с кривой для экспоненциального рупора, когда на границе заданы напряжения.
Для концентраторов с большими коэффициентами усиления приходится также считаться с возможностью разрушения рупора, поскольку напряжения в материале могут превосходить предельно допустимые величины. Расчет распределения деформаций может быть проведен на основе соответствующих формул (1.12), (1.18), (1.25).
В работе [1] приведены результаты численных расчетов распределений скоростей и деформаций по длине конического, экспоненциального и катеноидального концентраторов. Аналогичный вид имеют кривые для перемещений и напряжений.
2. Численный анализ. Представить точные аналитические решения поставленной задачи удается только для небольшого множества профилей поперечного сечения. Поэтому возникла необходимость в использовании численных методов для решения данной задачи, в частности, метода ускоренной сходимости, предложенного в [4, 5].
Рассмотрим различные профили и проведем сравнение коэффициентов усиления в зависимости от типа граничных условий и от номера собственного числа.
Сначала выберем уже рассмотренные в п. 1 профили поперечного сечения - конический, экспоненциальный и катеноидальный. На представленных на фиг. 2 графиках по
и
Фиг. 2
Фиг. 3
оси абсцисс отложено N — отношение линейных размеров широкого и узкого концов конического концентратора, а по оси ординат коэффициенты усиления N = |и(1)/и(0)| и N2 = |и'(1)/и'(0)|.
В этом случае построено пять кривых (1)'-(5)', соответствующих номеру собственного значения, для условий первого рода (на границе заданы скорости) и десять кривых (1)—(10) для условий второго рода (на границе заданы напряжения). Из фиг. 2 видно, что кривые Nl(N) ложатся точно на биссектрису, а кривые стремятся снизу к
своей предельной кривой. Это подтверждается аналитическими формулами, полученными в п. 1.
Результаты численного анализа для экспоненциального (фиг. 3) и катеноидального (фиг. 4) рупоров также совпадают с аналитическими результатами, что может свидетельствовать об успешном тестировании выбранного метода и его численной реализации. На фиг. 3, подтверждая аналитические результаты, все кривые для условий перво-
Фиг. 4
го рода и второго рода ложатся на одну кривую, которая является биссектрисой. На фиг. 4 кривые (1)'—(5)' для условий первого рода ложатся на одну кривую, согласно аналитическим результатам. Кривые (1)—(5) соответствуют краевым условиям второго рода и с увеличением номера собственного числа приближаются к некоторой кривой (предельной) сверху.
3
Выберем далее профиль Б = Б2й (а(1 — х)). На фиг. 5,а и 5,Ь приведены графики коэффициентов усиления в случаях граничных условий первого и второго рода соответственно. Видно, что с увеличением номера собственного числа кривые коэффициента
Фиг. 5
усиления как для первого, так и для второго рода стремятся к некоторым предельным кривым. Так, например, для условий первого рода, начиная с третьего собственного числа, графики практически ложатся на одну кривую, которая и является их предельной. Из фиг. 5 следует, что коэффициент усиления, как в случае условий первого, так
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.