МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <4 • 2008
УДК 532.522.2:533.692:517.54
© 2008 г. Р. А. ГАЙФУТДИНОВ, Н. Б. ИЛЬИНСКИЙ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ КРЫЛОВЫХ ПРОФИЛЕЙ С УСТРОЙСТВАМИ АКТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОТОКОМ
Предложен метод численно-аналитического проектирования безотрывно обтекаемых крыловых профилей с отбором части внешнего потока и выдувом реактивной струи (полное давление и плотность в струе отличаются от полного давления и плотности во внешней среде) в кормовой части в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости. Показано, что такой способ активного управления потоком позволяет значительно увеличить подъемную силу по сравнению с тем же профилем без отбора и выдува. Приведены примеры построения таких безотрывно обтекаемых крыловых профилей. Подтверждена достоверность полученных результатов вычислительным экспериментом с использованием программы Fluent®.
Ключевые слова: аэрогидродинамика, крыловой профиль, реактивная струя, обратная краевая задача.
При решении задач проектирования крыловых профилей можно выделить два подхода: прямой и обратный. Первый состоит в многократном решении прямой задачи обтекания крылового профиля и подбора таким способом его формы, обладающей свойствами, близкими к требуемым. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики носят конструктивный характер, т.е. позволяют строить объекты с заданными свойствами. Поэтому теория обратных краевых задач аэрогидродинамики нашла применение при решении задач проектирования крыловых профилей (см., например [1-4]). Особенно наглядны преимущества обратных задач перед прямыми при проектировании крыловых профилей со способами активного управления потоком.
Прогресс в улучшении аэродинамических характеристик летательных аппаратов связан с интеграцией систем, создающих тягу и подъемную силу. Для этой цели, в частности, используют отбор части внешнего потока и выдув во внешний поток реактивной струи.
Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики с устройством отбора части внешнего потока через канал конечной ширины дано в [5]. Исследование о построении симметричного крылового профиля с круговым каналом отбора и прямолинейным каналом выдува в задней кромке нереактивной струи, т.е. струи с той же плотностью и полным давлением, что и во внешнем потоке, приведено в статье [6]. Обратная краевая задача аэрогидродинамики для крылового профиля с отбором через круговой канал была решена в [7]. В работах [5, 6] за счет отбора части внешнего потока и задания распределения скорости без участков ее падения обеспечивалось безотрывное обтекание крыловых профилей.
Проектирование крыловых профилей с выдувом реактивной струи является более важной с аэродинамической точки зрения и более сложной математической задачей по сравнению с задачами отбора потока и выдува нереактивной струи. Решение обратной задачи проектирования крылового профиля только с выдувом реактивной струи дано в [8]. Задача построения крылового профиля с отбором и выдувом нереактивной струи рассмотрена в [9]. В связи с тем, что перечисленные методы управления потоком требуют дополнительных энергетических затрат, их называют "активными" [10].
О
V в
О
Фиг. 1. Физическая плоскость г
В настоящей работе поставлена и исследована обратная краевая задача аэрогидродинамики для крылового профиля со щелевым отбором воздуха с его верхней поверхности из внешнего потока и выдувом реактивной струи в его кормовой части.
1. Постановка задачи. В физической плоскости г = х + ¡у искомый контур Ьг крылового профиля (фиг. 1) обтекается плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости с заданной плотностью р, скоростью У: и давлением р: на бесконечности. Точка схода потока О принята за начало координат, ось абсцисс выбрана параллельно направлению скорости У:, внутренний к области течения угол в точках О и Е считается равным 2п. Скорости считаются безразмерными, отнесенными к У: = 1, а линейные размеры - отнесенными к хорде г = 1 профиля. Щель отбора воздуха моделируется беско-нечнолистным завитком, асимптотически переходящим в кольцевой канал С с постоянными скоростями У1 и У0 на его стенках. В задней кромке О из прямолинейного канала Г с постоянными скоростями Уд и у2 (у = Уд = У 2) на стенках выдувается жидкость с другой плотностью р;- и скоростью на бесконечности у:. Индексом ] обозначаются все параметры, относящиеся к струе. Заданы безразмерные расходы Ус = Qc/(гУ:) и qf = 0/(гУм) каналов С и Г соответственно.
Обозначим через I+ и Iг линии тока, отделяющие реактивную струю от внешнего потока, т.е. границы струи. При переходе через эти границы давление меняется непрерывно, а скорость - скачком согласно соотношению
Р ;У = РУ2 +
2 Р; 0 ~ Р0 _ РУ-
22 ру; р У:
Ро _ Р: +1 рУI Р]0 _ Р: + 1 р У):
Безразмерный параметр ц характеризует энергию выдуваемой жидкости, 0 < ц < Здесь Р0 и Р;0 - полные давления во внешнем потоке и струе соответственно.
Контур Ьг профиля образован прямолинейным участком ОАВ, содержащим точку разветвления потока А, участками постоянной скорости ВС и СБЕ и двумя участками ГЕ и ГО, образующими канал выдува реактивной струи с постоянной скоростью на стенках. На неизвестных участках ВС, СБЕ и ЕЕО искомого контура Ьг крылового профиля задается кусочно-постоянное распределение скорости как функция от полярной координаты у в канонической области > 1 (фиг. 2): на участке ВС имеем У(у) = У1, на СБ - У(у) = У0, на БЕ - У(у) = У2, ЕГ и ЕО - У(у) = у. Соответствующие точки в плоскостях г и ^ обозна-
Фиг. 2. Плоскость £ параметрического переменного
чены одинаковыми буквами. Образы линий 1+ и I- во вспомогательной плоскости обозначим 1+ и I-. Для взаимно однозначного конформного отображения областей Ог и О^ предполагается соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей г и £ и переход точки г = 0 в точку £ = 1.
Требуется определить форму контура Ьг крылового профиля, границы струи, т.е. линии тока 1+ и I-, отделяющих струю от внешнего потока, и аэродинамические характеристики профиля.
2. Схема решения задачи. Обтеканию искомого профиля в физической плоскости г соответствует обтекание единичного круга со стоком в точке С и источником в точке Е с интенсивностями qc и qf соответственно плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости с модулем и аргументом в скорости набегающего потока на бесконечности. При сделанных предположениях относительно математической модели в области Ог существуют комплексные потенциалы течений во внешнем потоке и в струе. Будем рассматривать эти потенциалы как единую кусочно-аналитическую функцию ц>(г) = ф(х, у) + щ(х, у), терпящую разрыв на линиях раздела сред, т.е. на границах
струи 1+ и I-. Комплексно-сопряженную скорость Фм/ЗС, нетрудно записать, воспользовавшись методом особенностей
dw = «„г/е-"®
СаЛЛ 1Y, CdYi z«Jíi ^v1 Í1 z/
f(Z) = (1-?Jl 1-{Jl 1_!Л 1-!Л^iJ l1- Z
-1
(2.1)
Здесь = е У", ^ = е У", Се = е ^", Сс = е Ус, ^ = е У1 - координаты точек А, Д Е, С, Е на окружности = 1, = Т(т, у) + 1Л(т, у) - кусочно-аналитическая функция, терпящая
скачок на линиях 1+ и ¡^.
Положив в формуле (2.1) иа границе Z = e¿Y, определим распределение скорости на окружности
( ) „ . Y - Ya . Y - Yd . Y - Ye . Y . -1Y - Yc . -1Y - Y/ -t(y) u(Y) = 4uM sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin —2— sin e
Разложив комплексно-сопряженную скорость dw/dZ в окрестности точек C и F, получим выражения для расходов
Qc
8 . Yc-Ya. Yc-Yd. Yc-Ye. Yc . -1Yc-Y/ -T(Yc) 8 nu„ sin—-—sin—-—sin—-—sin — sin ——- e
8 . Y/ - Ya ■ Y/ - Yd ■ Y/ - Ye ■ Y/ . -i Y/ - Yc -T(y,) q/ = 8nuMsin----;-—sin—-—--—sin---;-—sin-;;-sin --■-;-— e
(2.2) (2.3)
2 2 2 2 2 Из условия того, что окружность является линией тока, установим связь Л(у) = 5 _ (уа + + уе - Ус - у, - п)/2 - в (2.4)
Пусть £+(г) точка на линии ¡+ , £-(г) точка на линии 1+ , а а+(г) и а-(г) - углы наклона касательной к кривым ¡+ и I- соответственно, где Г - дуговая абсцисса линии раздела сред,
отсчитываемая от точки Е для ¡+ и от точки О для ¡^, т.е. й£±(г)/йг = е'а (г). Условие непроницаемости линий ¡+ и ¡^ с учетом (2.1) запишется в виде
о±(Г) _ Л±(Г) + в - 1т[ 1п/(С±(г))] (2.5)
откуда следует, что 1тО(£±) меняется непрерывно при переходе через линии ¡+ и ¡^, а
скачок терпит лишь КеО(^±(г)) = Т±(г).
Введем в рассмотрение аналитическую функцию
Xi(Z) = Si + ¿01 = x(Z) -in (1-^) - in (1-ÍZ-) -fin (1-|l + °(Z)
X(Z) = lnd-W = lnУ - ¿0, a =
dz У n
(2.6)
где %(£) - функция Жуковского-Мичела.
Так как функция аналитическая, то скачки функций %(£) и О(0 компенсируют друг друга. Обозначим функции скачков
_ 1п У± (г)
Г( г) _ о - о _ т - Т;| Г( г) _ 1п
¡с ¡с у= (г)
где У± (г) и У±(г) - распределение скорости на линиях ¡+ и ¡г в струе и потоке соответственно. Если функция Х±(г) известна, то с учетом (2.5), следуя [11], запишем функцию О© в виде
Q(Z) = Ф(Z) + ф( 1/Z) - ф( 0)
ф(^ = m
r^+(x)dx гЛ (т) dx
J т - Z - J т - Z
К
причем (2.4) будет выполняться при 5 = 1тФ(0).
Выделив действительные и мнимые части в (2.6) на границе Z = e'Y, с учетом (2.4) найдем
V (Y)
ЗД) = ln
4sin ((у - у a)/2) sin ((y - y d)/2) 9i(Y) = - 0(Y) + ¥(Y), Y <Y< 2n
^(Y) = § + Y - Ya 2 Yd - П(sgn(Y - Ya) + sgn(Y - Yd)) + пь
a(Y - Ya) a + (Y - Y c)+T(Y), 0 <y<y ¿(2.7)
0 • Y - Y c 2 sin——
(2.8)
Выражения (2.7) и (2.8) представляют собой граничные условия смешанной краевой задачи для аналитической в О^ функции %!©. Интегральное представление решения такой задачи дает формула Вольтерра [12]
Xi(Z) =
7(С - e''Y¿)(Z -1 )Y¿
2 п
J Si (Y)
i(T/2- Y ¿ /4)
0
+ -( Z - e) ( Z - 1 ) j9i(Y)
2 п
Y ¿
(Z - e'z)J sin ((Y ¿ - t)/2) sin (т/2)
i(T/2- Y ¿ /4)
e j -:-dT
(Z - e,T)Vsin((- yb + т)/2) sin(т/2)
-_dT +
Распределение скорости У(у), 0 < у < 2п и угол наклона касательной к контуру крылового профиля определяются по (2.7) и (2.8)
9(У) = - б! (у) + ¥(у)
V(Y) =
. . Y - Ya . Y - Yd 4 sin —-— sin —-—
exp
a (Y - Y г) + n sgn (y - Y г) Si (Y) г 2п - г - T(y)
Координаты искомого контура профиля дает квадратура
= йх + ¿¿у = в'в йз = е'е тгг^ йу
V (у)
Здесь з - дуговая абсцисса искомого контура крылового профиля, отсчитываемая от задней кромки О так, чтобы область течения оставалас
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.