ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 5, с. 527-537
УДК 66.011
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
© 2014 г. Г. М. Островский, Т. В. Лаптева*, Н. Н. Зиятдинов*
Научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я. Карпова, Москва
ostralex@yandex.ru *Казанский государственный технологический университет nnziat@yandex.ru Поступила в редакцию 01.04.2014 г.
При проектировании технических систем в условиях частичной неопределенности исходной физической, химической и экономической информации важной задачей является определение такой конструкции, при которой ее система управления будет гарантировать выполнение всех ограничений (точно или с некоторой вероятностью) несмотря на изменение внутренних и внешних факторов на этапе функционирования. В статье рассматриваются одноэтапная и двухэтапная задачи оптимизации с жесткими и мягкими ограничениями, решение которых необходимо при проектировании гибких оптимальных систем. Предлагаются подходы, позволяющие избавиться от процедур многомерного интегрирования на каждой итерации решения задач.
Ключевые слова: проектирование, оптимальные химико-технологические системы, неопределенность, одноэтапная и двухэтапная задачи оптимизации, жесткие и мягкие ограничения.
Б01: 10.7868/8004035711405008Х
ВВЕДЕНИЕ
Одной из актуальных задач системного анализа является задача проектирования оптимальных химико-технологических процессов. Проектирование химико-технологических систем (ХТС) происходит в условиях частичной неопределенности исходной информации, вследствие чего необходимо проектировать гибкую ХТС, которая будет работать эффективно в смысле некоторого заданного критерия эффективности и будет работоспособна, т.е. будет выполнять предъявляемые к ней требования в изменяющихся условиях функционирования.
Будем в дальнейшем выделять в жизни ХТС две стадии — функционирования и проектирования. Тогда переменные, характеризующие состояние ХТС на стадии функционирования, можно разделить на неизменные на этапе функционирования конструктивные переменные d, их оптимальные значения необходимо определить на этапе проектирования, и переменные, которые могут изменяться во время функционирования ХТС:
а) управляющие переменные z, чьи оптимальные значения в зависимости от задачи будут найдены на этапе проектирования либо будут подбираться на этапе функционирования;
б) неопределенные параметры 9, изменение которых происходит независимо от нашего желания: параметры, характеризующие внешние условия эксплуатации ХТС (изменение параметров сырья и др.), либо внутренние параметры ХТС (изменение массообменных характеристик контактных устройств ректификационных колон вследствие их загрязнения и др.). Поскольку для них всегда можно выявить интервалы изменения значений, и, в большинстве случаев, можно предполагать случайность их изменения и выявить характеристики закона распределения значений, будем рассматривать параметры 9 как случайные величины.
Выделим следующие группы неопределенных параметров, исходя из полноты информации на этапе проектирования.
1. Параметры, для которых известны только интервалы их изменения.
2. Параметры, для которых известны характеристики закона распределения. Здесь нужно выделить случаи:
а) все параметры 0;-, г = 1,..., л0, статистически взаимно независимы, каждый из них имеет свою плотность вероятности р;(0;-);
б) параметры 0;-, г = 1,..., л0, статистически взаимно зависимы.
Относительно полноты информации на этапе функционирования можно выделить следующие группы неопределенных параметров.
1. Параметры, для которых на этапе функционирования будет достаточно экспериментальных данных для определения полной информации.
2. Параметры, которые не могут быть уточнены на этапе функционирования.
3. На этапе функционирования можно уточнить информацию только для части параметров.
Далее будем рассматривать неопределенные параметры, для которых на этапе проектирования известны плотности распределения вероятности.
Во многих случаях задачу проектирования ХТС с учетом неопределенности можно записать в виде [1—4]
minf (d, z, 0), (1)
d.zeH
gj(d,z,0) < 0, j = 1,...,m, 0e T, (2)
где H = {d,z: hl(d,z) < 0, l = 1,...,p}, ограничения gj представляют собой математическую формулировку проектных требований, d — nd-вектор, г — nz-вектор, 9 — п0-вектор, 0 е T, f (d, z, 0) — функция оценки эффективности функционирования ХТС. Задача (1)—(2) не может быть решена, поскольку значения параметров 9 не определены. Обычный путь проектирования ХТС состоял из шагов: выбрать номинальные значения 0 = 0N, решить задачу (1)—(2); так как на этом шаге нельзя гарантировать выполнение ограничений (2) для всех 0 е T, то домножить найденные конструктивные переменные на некоторые коэффициенты запаса, выбранные на основе опыта специалистов. Такой подход не гарантировал работоспособности ХТС в изменяющихся условиях эксплуатации либо давал заведомо затратную конструкцию.
Для учета неопределенности в исходной информации в постановке задачи проектирования в настоящее время используют одноэтапную или двухэтапную задачи оптимизации. На формулировку задачи влияют следующие факторы [5].
1. Уровень точности математических моделей и исходной информации, используемых на этапах проектирования и функционирования ХТС:
а) одноэтапная задача оптимизации (ОЭЗО) используется, если нельзя получить экспериментальную информацию на этапе функционирования;
б) двухэтапная задача оптимизации (ДЭЗО) используется в случае доступности экспериментальной информации на этапе функционирования. Будем считать, что ее достаточно для полных сведений о неопределенных параметрах.
2. Возможность изменения управляющих поисковых переменных на этапе функционирования ХТС. В зависимости от этого фактора используются:
а) ОЭЗО, если изменение управлений проводиться не будет и неважно, можно ли получать экспериментальную информацию при эксплуатации ХТС;
б) ДЭЗО, если на этапе функционирования возможны уточнение экспериментальных данных и соответствующая подстройка управляющих переменных.
3. Характер проектных ограничений: жесткие или мягкие. Жесткие ограничения должны точно выполняться при всех условиях эксплуатации ХТС. Мягкие ограничения на этапе функционирования должны выполняться либо в среднем, либо с заданной вероятностью на отдельное ограничение или на совокупность ограничений — объединенные вероятностные ограничения. Жесткие ограничения дадут более затратную конструкцию, однако обеспечат выполнение проектных ограничений при изменении условий эксплуатации. Мягкие ограничения при некоторых условиях эксплуатации не будут удовлетворяться, но дадут более экономную конструкцию. Далее будем рассматривать отдельные вероятностные ограничения.
Использование вероятностных ограничений в задачах оптимизации с учетом неопределенности в исходной информации впервые было рассмотрено в работе [6], а затем в [7]. Учет вероятностных ограничений в задачах стохастической оптимизации для проектирования в области химической технологии предложен в работах [8—10].
4. Полнота информации о параметрах 9 на этапе проектирования:
а) если известны закон распределения и его характеристики (среднее и дисперсия), то задача может включать мягкие ограничения и критерий в виде математического ожидания функции /(й, 1,0) за период функционирования;
б) если известны только диапазоны изменения параметров, используются постановки задач в стратегии пессимизма с жесткими ограничениями.
Будем рассматривать неопределенные параметры с известными параметрами закона распределения, что приводит задачи проектирования оптимальных ХТС к виду задач стохастической оптимизации.
5. Наличие статистической зависимости между неопределенными параметрами. Если все параметры 0;-, I = 1,..., л0, независимы, их плотности вероятности известны, то область неопределенности
есть л0-мерньш прямоугольник 1 со сторонами Та, вероятность попадания точки 0 = {01,0 2,..., 0 щ}
Га
равна а = а1а2...а„ , а,- — вероятность попадания 0, в интервал Та. Для слу-
чая нормального распределения [11] интервал T,a' имеет вид
Tа = {0(-: Иг - kpi - - И; + kj^i}, i = 1,...,n0, где kj — достаточно большая величина, гарантирующая попадание параметра 0; в область Tta; с вероятностью, близкой к 1. В этом случае можно записать
T = {0,.; 0f <0,. <0U, i = l,...,n0}.
Предположим, что на стадии функционирования ХТС неопределенные параметры меняются медленно, поэтому можно пренебречь переходными процессами, использовать стационарные математические модели и задача оптимального проектирования примет вид задачи статической оптимизации.
Будем рассматривать постановки ОЭЗО и ДЭЗО с вероятностными и жесткими ограничениями в применении к задачам проектирования ХТС. Неопределенность в критерии будем учитывать, используя математическое ожидание функции f (d, z, 0) за период функционирования [11]
Ee\f(d, z, 0)] = \f(d, z, e)p(9)de. (3)
T
ОЭЗО с учетом вероятностных и жестких ограничений примет вид [12]
min Ee\f (d, z, 0)], (4)
d.zeH
Prg(d,z,0) < 0} > aj, j = l,...,m, (5)
где Pr{gj (d, z, 0) < 0} — вероятность выполнения ограничения gj(d, z, 0) < 0
Prg(d, z, 0) < 0} = Jp(0)d0>aj, (6)
Oj
Qj = {0; gj(d, z, 0) < 0, 0e T}. (7)
Правая часть равенства (6) есть вероятность попадания случайной точки 9 в область 0.;.
Значительное развитие получили методы решения одноэтапных и двухэтапных задач оптимизации с жесткими ограничениями. Весомый вклад в развитие методов решения двухэтапных задач с жесткими ограничениями внес Гроссманн с соавторами в начале 1980-х годов [3, 13, 14]. Позднее методы решения ДЭЗО с жесткими ограничениями получили дальнейшее развитие [1, 15—19].
Основная трудность решения задач оптимизации при учете неопределенности состоит в многократном расчете многомерных интегралов для вычисления математического ожидания в целевой функции и вероятности выполнения ограничений при использовании известных методов нелинейного программирования (например, SQP [20]). Эти операции требуют значительных вычислительных затрат даже при малой размерности
вект
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.