МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2014
УДК 533.697.4:519.688
© 2014 г. А. А. КРАЙКО, К. С. ПЬЯНКОВ ПРОФИЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОПЕЛ
Рассмотрены примеры профилирования пространственных сопел, близких к оптимальным, с участками дозвукового течения. Профилирование проводилось по разработанной ранее методике прямой оптимизации, использующей аппроксимацию формы искомых объектов поверхностями Бернштейна—Безье, и апробированной как на решении задачи оптимизации сверхзвуковой части осесимметричного сопла Лаваля, так и на задаче профилирования пространственной сверхзвуковой части сопла плотной многосопловой компоновки максимальной тяги. Рассмотрена задача профилирования пространственных околозвуковых сопел двигателя с малой инфракрасной заметностью, а также задача профилирования пространственного сопла высокоскоростного прямоточного воздушно-реактивного двигателя. Оптимизация околозвуковых сопел осуществляется в рамках уравнений Рейнольдса. Для описания более полного многообразия форм предложена модификация способа описания искомой геометрии — неоднородная поверхность Бернштейна—Безье.
Ключевые слова: полиномы Бернштейна, В-сплайны, прямые методы оптимизации, пространственные сопла, сопло прямоточного ВРД.
Основные результаты по оптимизации сверхзвуковых частей плоских и осесиммет-ричных сопел методом контрольного контура [1, 2], а также обобщенным методом множителей Лагранжа [2, 3] приведены в [1—5]. Задачи оптимального профилирования двумерных конфигураций со сверхзвуковым потоком решались в основном вариационными методами, которые в ряде случаев позволяют получить точное решение. Например, оптимизация сверхзвуковой части осесимметричного сопла Лаваля максимальной тяги успела стать одним из таких классических примеров, удобным с точки зрения тестирования невариационных методов оптимального профилирования, в том числе прямых [6, 7]. Особого внимания заслуживают работы [8, 9], посвящённые оптимизации силовой установки прямоточного воздушно-реактивного двигателя (ПВРД) с учетом аэродинамических характеристик летательного аппарата. Работы [8, 9], кроме прочего, интересны тем, что в них развиты быстрые, эффективные алгоритмы междисциплинарной оптимизации силовой установки гиперзвукового ПВРД. Несмотря на то, что эти подходы используют плоскую постановку и одномерную математическую модель камеры сгорания, они представляют интерес не только с методической точки зрения, но и чрезвычайно полезны для оценки геометрических параметров реальных ПВРД.
При оптимизации пространственных объектов незаменимым инструментом становятся прямые методы. В [10] приведены результаты прямой оптимизации пространственной сверхзвуковой части сопла плотной компоновки, где сверхзвуковая часть аппроксимировалась в меридиональном сечении кубическим сплайном при круглой форме критического сечения и фиксированной форме среза сопла. Работа [11] посвящена прямому методу оптимизации сверхзвуковой части пространственного эллиптического сопла, которая аппроксимируется бикубическими сплайнами. Исследования [7, 11] интересны тем, что в них рассмотрены примеры прямой оптимизации в рамках уравнений Навье—Стокса, однако в обеих работах отсутствует какой-либо анализ близости полученных форм к оптимальным. То же можно сказать и о результатах [12], где
сопло прямоточного воздушно-реактивного двигателя оптимизируется методом выделения линий тока.
Настоящая работа посвящена решению задач профилирования существенно пространственных сопел, близких к оптимальным. Профилирование осуществляется с помощью предложенной ранее методики прямой оптимизации, основанной на удачной аппроксимации искомых объектов кривыми или поверхностями Бернштейна— Безье (далее ББ). Указанный метод подробно описан в [6], где он применяется к задаче профилирования осесимметричной сверхзвуковой части сопла Лаваля, а также в [13], где он обобщен на пространственный случай и апробирован на задаче профилирования пространственной сверхзвуковой части сопла плотной многосопловой компоновки максимальной тяги. Результаты [13] позволили говорить об эффективности предложенной методики при оптимизации не только двумерных, но и пространственных объектов. В частности, сравнение с соплом плотной компоновки, спрофилированным в [10], показало, что сверхзвуковая часть сопла, полученная с помощью предложенной авторами методики, выигрывает в тяге не только у сверхзвуковой части осе-симметричного сопла, удовлетворяющего тем же габаритным ограничениям, но и у пространственного сопла, полученного в [10].
Решение задачи оптимизации сверхзвуковой части сопла в плотной компоновке позволило выявить основные тонкие моменты пространственного профилирования, а полученные результаты вызвали интерес у ряда научных коллективов, что в итоге привело к расширению круга задач. Первым был рассмотрен пример профилирования околозвукового сопла двигателя с малой инфракрасной (ИК) заметностью, а затем оптимизация пространственного сопла высокоскоростного ПВРД. Такой порядок рассмотрения примеров не просто соответствует временной хронологии решения этих задач, но и демонстрирует эволюцию усложнения рассматриваемых объектов. Оптимизация околозвукового сопла с малой ИК заметностью, где профилирование осуществлялось с учетом влияния вязкости, а заданные формы входного и выходного сечений обуславливали довольно сложную пространственную форму сопла, потребовало усовершенствования аппроксимационных подходов. Затем в рамках уравнений Эйлера была решена задача профилирования сопла ПВРД максимальной тяги, имеющего сложную пространственную форму, при этом оптимизация осуществлялась с учетом влияния внешней аэродинамической силы, возникающей при обтекании упрощенной кормовой части, а сопло оптимизировалось целиком, включая дозвуковую часть. Таким образом, одной из ключевых особенностей рассмотренных примеров является наличие профилируемых участков с дозвуковым течением в них.
1. Аппроксимация неоднородными поверхностями Бернштейна—Безье. Напомним, что кривые ББ порядка m задаются массивом [m + 1] контрольных точек Pj, точки кривой определяются параметризацией вида
m
P(t) = ZBf(t)• Pj, t e [0,1]
j=0
где полиномы Бернштейна B" (5) = s' (1 - s)n-i n!/(i! (n - i)!).
Классическая поверхность ББ порядка (n, m) задается массивом [n + 1] х [m + 1] контрольных точек Pj. Точки поверхности задаются параметризацией вида
n m
P(s,t) = TTB" (s)Bm (t) ■ Pj, s,t e [0,1]
i=0 j =0
Таким образом, поверхность ББ порядка (n, m) задается одномерным массивом, состоящим из n + 1 кривой ББ порядка m.
В [13] сделано важное замечание о том, что результат прямой оптимизации будет существенным образом зависеть от качества аппроксимации формы профилируемого объекта. В ряде случаев классическая поверхность ББ с фиксированным числом контрольных точек не может эффективно описать все многообразие форм, необходимое для данного конкретного случая. Так, в задачах профилирования сопел с малой ИК за-метностью может потребоваться обеспечить переход от круглого сечения к прямоугольному на заданной длине при минимальных потерях тяги. Кроме того, входное и выходное сечения, как правило, должны располагаться на разных уровнях. Сопло ПВРД также может иметь довольно сложную пространственную форму из-за некруглой формы поперечного сечения камеры сгорания, которая может быть к тому же сдвинута от оси летательного аппарата (ЛА), и других габаритных ограничений, продиктованных особенностями компоновки ЛА.
В результате предлагается модификация способа описания поверхности — неоднородная поверхность ББ. В отличие от классической поверхности ББ, такая поверхность может задаваться произвольным набором кривых, которые являются не кривыми ББ, а любыми заданными параметрическими кривыми (назовем их контрольными кривыми), параметры которых могут варьироваться в ходе оптимизации. Если это не оговаривается специальным образом, то подразумевается, что контрольные кривые лежат в плоскостях, перпендикулярных оси аппарата, причем варьирование параметров каждой кривой производится в соответствующей плоскости.
Итак, точки, принадлежащие неоднородной поверхности ББ, описываются выражением вида
п
Р (з,Г) = X вп (з)• С, (г), t е [0,1] (1.1)
1=0
где C¡(t) — параметрический вид контрольной кривой. Далее рассматриваются примеры решения задач, в которых использование именно неоднородных поверхностей ББ позволяет получать решения, близкие к оптимальным.
2. Оптимизация околозвукового сопла с малой инфракрасной заметностью. Начнем с задачи профилирования пространственного околозвукового сопла максимальной тяги, заданной длины с малой ИК заметностью. Требование малой заметности обуславливает не соосное расположение входного и выходного сечений. Кроме того, форма входного поперечного сечения, определяемая конструкцией ТРД, является круглой, а выходное сечение должно иметь вытянутую прямоугольную форму (фиг. 1, а).
В дозвуковых соплах потери могут быть связаны в основном с отрывами потока от стенок сопла, поэтому в задачах такого рода необходимо учитывать вязкость непосред-
ственно в процессе оптимизации. В [6] была проведена прямая оптимизация сверхзвуковой части осесимметричного сопла Лаваля с учетом влияния вязкости. Аналогично, здесь для учета влияния вязкости вместо интегрирования уравнений Эйлера при вычислении значений критерия проводилось интегрирование уравнений Навье—Стокса, осредненных по Рейнольдсу, замкнутых моделью турбулентности vt-90 [14].
Заданными считаются: полная температура на входе Т0 (Т0 = 1), полное давление на входе р0 (р0 = 1), перепад полного давления к внешнему статическому П, радиус поперечного сечения камеры сгорания г1п (г1п = 1), длина сопла Ь, высота и ширина выходного сечения сопла а, Ь и число Рейнольдса Яе. Так как сопло имеет плоскость симметрии, то при оптимизации достаточно рассматривать только одну из его половинок. Результаты, приводимые ниже, получены для Т0 = 1, р0 = 1, П = 1.89 (критический перепад, соответствующий звуковому течению на выходе), а = 0.5, Ь = 4, Яе = 9.5 • 106. Рассмотрен диапазон длин Ь = 1, 2, 4 и 8; критерием оптимизации бы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.