ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 345-352
УДК 519.7
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ВЫДЕЛЕНИЯ РЕГУЛЯРНОЙ КОМПОНЕНТЫ
© 2015 г. В. В. Иванов*, С. Г. Климанов**, А. В. Крянев*, **, Г. В. Лукин**, Д. К. Удумян**
(*141980Дубна, ул. Жолио-Кюри, 6, Лаборатория информац. технологий ОИЯИ; **115449Москва, Каширское ш., 31, НИЯУМИФИ) e-mail: ivanov@jinr.ru, avkryanev@mephi.ru Поступила в редакцию 21.11.2013 г. Переработанный вариант 06.08.2014 г.
Рассматриваются задачи выделения компонент и прогнозирования динамических процессов. Исследованы схемы прогнозирования хаотических временных рядов с помощью предварительного выделения регулярной, аномальной и хаотической компонент и дальнейшего применения к регулярной компоненте одного из представленных методов прогнозирования. Для выделения регулярных компонент используются робастные линейные сплайны и сингулярно-спектральный анализ. Приведенные в работе примеры показывают, что применение представленных схем прогнозирования позволяет получать прогнозируемые значения исследуемых динамических процессов с приемлемой точностью. Библ. 9. Фиг. 4.
Ключевые слова: робастное выделение регулярных компонент, линейные робастные сплайны, сингулярно-спектральный анализ, прогнозирование динамических процессов, точность прогнозных значений.
Б01: 10.7868/80044466915020118
ВВЕДЕНИЕ
Задачи прогнозирования исследуемых динамических процессов ставятся во многих областях естественных и гуманитарных наук, особенно в их приложениях, включая технические направления, экономику и многие другие. В [1]—[3] представлены различные методы для решения задач прогнозирования динамических процессов. Ниже приведены схемы, использованные для прогнозирования значений функций одной переменной, основанные на выделении регулярных компонент с дальнейшим применением различных схем экстраполяции.
Прогнозирование хаотических временных процессов предусматривает наличие так называемых аномальных выбросов. Поэтому в настоящей работе представлены разработанные нами устойчивые к аномальным выбросам робастные схемы прогнозирования. Робастность этих схем обусловлена использованием робастного оценивания с целевой функцией Хьюбера (см. [4]—[6]).
1. ВЫДЕЛЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ КОМПОНЕНТ ИЗ ХАОТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Для решения задач устойчивого выделения из хаотического временного процесса регулярных и хаотических компонент рассматриваются методы, которые позволяют выделить часть хаотической компоненты, обусловленной большими выбросами. Это обеспечивает большую точность выделения регулярной компоненты. Представлены итерационные методы нахождения регулярных и хаотических компонент, которые сходятся к искомому решению за конечное число итераций.
Обычно при выделении регулярной угеЕ(?) и хаотической усЬ(0 компонент временного процесса рассматривают представление
у(0 = + Усь(0, (1.1)
которое является первым этапом исследования временного процесса, предшествующего, в частности, его прогнозированию (см. [1], [3].
Регулярная компонента уке^) отражает глобальное изменение временного процесса из-за влияния достаточно долговременных факторов или причин, определяющих трендовое направление изменений временного процесса. Последнее обстоятельство обеспечивает возможность прогноза временнЫх рядов, рассматривая вместо исходного временного процесса выделенную регулярную компоненту.
При выделении регулярной компоненты из исходных хаотических временнЫх процессов необходимо выделять аномальные компоненты, представляющие собой кратковременные выбросы большой амплитуды, что обеспечивает устойчивость (робастность) выделения регулярной компоненты.
Разделение исходного временного процесса на регулярную, аномальную и хаотическую компоненты облегчает выполнение задач исследования временного процесса и его прогноза. Традиционные методы выделения регулярной компоненты, обладающие свойством робастности, не являются устойчивыми по отношению к кратковременным выбросам большой амплитуды, что приводит к нежелательному искажению самой регулярной компоненты. Более того, при применении не робастных методов не выделяется аномальная компонента, представляющая часто самостоятельный интерес.
В силу вышесказанного вместо представления временного процесса у(0 (1.1) рассматривается представление
У(О = + Уап(0 + УЛ(0, (1.2)
где регулярная компонента угеЕ(0 определяет трендовое развитие временного процесса, усЬ(0 соответствует шумовой компоненте без аномальных выбросов, уап(0 определяет аномальные выбросы, которые при рассмотрении практических временных процессов в условиях неопределенности связаны с непредвиденными, как правило, кратковременными большими отклонениями от тренда, превышающими уровень отклонений от тренда постоянно действующей шумовой компоненты.
Ниже приведены некоторые из разработанных нами робастных схем выделения регулярных, шумовых и аномальных компонент на основе представления (1.2) (см. также [2], [3], [7]—[9]).
1.1. Робастное выделение детерминированной, хаотической и аномальной компонент с помощью сглаживающих линейных сплайнов
Одна из эффективных схем выделения регулярных компонент временных процессов основана на использовании робастных линейных сплайнов (см. [2], [3]).
Робастный линейный сплайн Sa(t) является решением экстремальной задачи на минимум целевой функции
n / \ n-1
Ja(Sa(t)) = X р| ^^ I + «Z (S+1 - St)2 ^ min, (1.3)
i=1 V ^ , ,=i
где
p(s) =
Г 2
—, N ^ k, 2 1 1
K 2
к ■ N-—, N > k, 2
есть робастная функция Хьюбера; K — параметр Хьюбера, числовое значение которого зависит от доли аномальной компоненты; 8 = ) = yIeg(tj) — искомые значения робастного линейного сплайна; а > 0 — параметр сглаживания (аналог параметра регуляризации при решении некорректно поставленных задач (см. [6]), управляющими переменными функционала (1.3) являются 81, I = 1,..., п.
При увеличении а степень сглаживания увеличивается так, что при а ^ да
п
Б, ^ - ■ Xх1, I = 1,..., п.
п 1=1
Заметим, что при использовании представления (1.1) без выделения аномальной компоненты решается экстремальная задача с квадратичной целевой функцией
п / \2 п-1
X(^ I + а£(Б+1 - Б,-)2.
Для нахождения искомого вектора 8 = Б,..., Бп)т используем итерационный процесс
А ■ 8+1) = Р(1), (1.4)
где А — трехдиагональная, положительно-определенная, симметричная матрица; 8(1) = (Б1(1),..., Б^У;
17(1) / (1) СКт (1) I о(0| ^ V (1) V о(') _ V (1)
^' = (у{ ,..., Уп ) ' у) = У1, если \у1 - < К , у] = Б}' + К ■ ст;-, если у - Б}' > К ■ , у)' =
= Б(1) - К • ст;-, если у 1 - Б(1) < -К ■ с 1.
Для численного решения системы (1.4) на каждом шаге итерационного процесса применяется метод прогонки.
Итерационный процесс (1.4) сходится за конечное число итераций к робастному линейному сплайну, который минимизирует целевую функцию (1.3).
После выделения регулярной компоненты можно найти аномальную компоненту согласно равенствам
УаЖ-) = 0,) е 10, УаЖ) = - УгеЕ&) - К ■ а 1,1 е 1+, Уап(^) = х(?;) - УгеЕ(?;) + К ■ а Ь1 е 1_, где /0,/+, /_ — множества индексов, определяемые соотношениями
/с = {): \у(!д - Угев(^)|< К -а,},
10 = {\У(^-) - Угев(^)\ > К -а,},
/0 = {\у&) - Угев(^) < -К - а,}, ) = 1,..., п.
Для определения числового значения параметра Хьюбера К обычно используется таблица зависимости К от доли аномальной компоненты (см. [2], [4]). При исследовании реальных временных процессов доля аномальной компоненты априори неизвестна, и это не позволяет априори определить подходящее значение параметра Хьюбера. Нами разработана и используется схема определения подходящего значения параметра Хьюбера без априорного задания доли аномальной компоненты (см. [2]). Практика применения схемы (1.3), (1.4) показала, что в качестве приемлемого значения параметра Хьюбера для широкого диапазона изменения доли аномальных выбросов от 0.01 до 0.2 можно брать К = 2.
После выделения регулярной и аномальной компонент хаотическая компонента находится согласно равенству
Усь(0 = У(0 - (Угев(0 + Уап(0).
Хаотическая компонента усЬ(0 представляет собой случайный стационарный процесс.
1.2. Схема выделения регулярных компонент и прогнозирования хаотических процессов, основанная наробастном сингулярно-спектральном анализе
В последние годы для прогнозирования стационарных хаотических временных процессов используется сингулярно-спектральный анализ (ССА) (см. [1]), а для нестационарных временных процессов — нестационарный сингулярно-спектральный анализ (НССА) (см. [3]).
Однако традиционная схема применения ССА не является устойчивой в присутствии аномальной компоненты, и поэтому прогноз, полученный с помощью традиционных не робастных схем ССА или НССА, часто не является приемлемым.
Ниже приводятся схемы ССА для прогнозирования временных процессов, базирующиеся на робастных схемах.
Как известно, ССА-модели соответствуют динамическим процессам, если описываются в непрерывном представлении однородными дифференциальными уравнениями вида
dpy dp-1y „
—- + а1-т + ••• + apy = 0, (1.5)
dtp dtp-1 p
где a1, ..., ap — константы (см. [1], [2]).
Конечномерный аналог однородного дифференциального уравнения (1.5) имеет вид однородной конечноразностной модели авторегрессии
У{ = X а кУ'-к,
к=1
где а1,..., ар — константы.
Предположим, что необходимо прогнозировать дискретный временной процесс (временной ряд) у11,..., у1п, а временные ряды уу1,..., у¡п, у = 2,..., т, являются факторами, значения которых у . влияют на реализацию у1;+1.
Введем обозначения /. = /Д) = у]+1.,.,у = 1,..., т -1,у, = уЦ,) = уЫеУд,1 = 1,..., п, где у^Д.) -регулярная компонента временного ряда у11,..., у1п.
Учет влияния динамических факторов /у1,..., /уп, у = 1,..., т - 1, на изменения регулярной
компоненты исследуемого временного ряда у11,..., у1п в условиях отсутствия хаотической компоненты можно представить в виде
р т-1
у, = X а ку,-к + X и/п-ъ
к=1 у=1
где и1,..., мт-1 — константы.
В непрерывном рассмотрении исследуемая регулярная компонента у (¿) исходного временного процесса является решением неоднородного дифференциального уравнения
ЛР АР-1 т-1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.