рабочих частотах без переноса сигнала на промежуточную частоту; увеличение разрядности АЦП; калибровка радиочастотного тракта.
Л и т е р а т у р а
1. Werner Gurtner L. E., RINEX. The Receiver Independent xchange Format. Ver. 3.00, 2007.
2. Перова А. И., Харисова В. Н. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования. М.: Радиотехника, 2010.
3. Глобальная навигационная спутниковая система ГЛОНАСС. Интерфейсный контрольный документ. Навигационный сигнал в диапазонах L1, L2. Версия 5.1. [Электрон. версия] htpp: //aggf.ru/gnss/glon/ikd51ru.pdf (дата обращения 15.11.2014 г.)
4. Hofmann-Wellenhof B., Lichtenegger H., Wasle E. GNSS (GPS, GLONASS, Galileo, and more). Wien, N.-Y.: Springer, 2008.
Дата принятия 13.01.2015 г.
519.6+550.34
Прогнозирование состояния динамической системы по результатам измерений
О. Н. НОВОСЕЛОВ1, И. Л. ГУФЕЛЬД2
1Московский государственный университет леса, Москва, Россия,
e-mail: onn-aan@yandex.ru 2Институт физики Земли им. О. Ю. Шмидта, РАН, Москва, Россия,
e-mail: igufeld@korolev-net.ru
Представлен математический метод прогнозирования состояния динамической системы на основе поступающих результатов измерений. Метод основан на раннем обнаружении скрытой эволюции системы и перехода к экстремальному состоянию с помощью количественной оценки устойчивости и катастрофичности состояния системы при каждом новом измерении. Метод рассмотрен на примере прогноза землетрясения и периода его опасности в Камчатском регионе.
Ключевые слова: динамическая система, диагностирование, прогнозирование, катастрофическое состояние, разностное уравнение эволюции состояния, поле решений, мегасейсмическое событие, зона субдукции.
The mathematical method for predicting the state of a dynamical system at a pace of measurements is represented. The method is based on the early detection of latent evolution of the system to the extreme state by quantifying its stable and catastrophic states with each new measurement. Application considered by the example of Earthquake prediction
Key words: dynamical system, diagnosing, prediction catastrophic state, the difference equation of the state evolution, field of solutions, Earthquake, subduction zone.
Прогнозирование экстремальных событий, в первую очередь землетрясений, является актуальной и нерешенной задачей. Несмотря на большое количество работ, посвященных этой задаче [1-8], существенных успехов добиться не удалось. В настоящее время прогнозирование осуществляется на основе обнаружения локальных возмущений любых полей в поверхностном слое. Метрологически такая постановка исследования не имеет обоснования. Методы мониторинга оторваны от объекта контроля в толще литосферы. Поэтому краткосрочные прогнозы не объявлялись. Методология и метрология мониторинга геологической среды (или других объектов) должны быть адекватными, учитывающими строение литосферы и процессы в ней. Такой подход предлагается в данной работе.
Решение проблемы прогнозирования базируется на следующем принципе: так как экстремальное состояние возникает не мгновенно, а имеет предшествующий период скрытого развития, то прогноз заключается в как можно более раннем обнаружении начала этого периода. Дальнодействие
прогноза будет равно длительности этого периода. Длительность периода является индивидуальным свойством динамической системы и характеризует ее инерционность. Обнаружение начала скрытого периода основано на количественной оценке состояния системы по поступающим измерениям контролируемых параметров. Математический метод оценивания включает расчет эволюционного уравнения и построение поля его решений, позволяющего идентифицировать состояние системы.
Уравнение эволюции состояния объекта и его решения. Уравнение строится как феноменологическое, т. е. описывает объект как «черный ящик», по принципу лишь достаточной аппроксимации измеряемого параметра. Метод является оригинальной разработкой [9, 10] и реализован в компьютерной программе AnDynSys (Анализ динамических систем) [11]. Для построения уравнения эволюции используются только измерения и не требуются априорные сведения о внутренней структуре и (даже) о физической природе системы. Это делает метод универсальным для объектов из различных предметных отраслей.
Найдем уравнение состояния объекта:
xk = f(xk-v *k-2'-'xk-va) + ^ f е F
где xk = x(tk) — измеряемый параметр объекта (отношение скоростей продольных и поперечных сейсмических волн); tk, k = 1, 2, ..., N — дискретное время, N — объем выборки (количество измерений в группе, по которой рассчитывается уравнение); f — искомая функция, принадлежащая некоторому выбранному классу функций F; п — искомый порядок уравнения; %к — погрешность модели; а — параметр состояния (вектор параметров).
Запишем критерий оптимальности:
fПо} = arg min о2,
f eF,n
о2 = m [xk _ f(xk_i,Xk_2,...,Xk_n,a)]2, k > n, (1)
где m [■] — оператор математического ожидания.
Метод разработан в классе степенных рекуррентных алгебраических полиномов
n n qi
xk = a0 + X aq1xk _q1 + X X aq1q2 Xk _9lXk _q 2 + "' + qi=1 q1=1 q2=1
n qi qv_i + X X ... Xaqi...qvxk_qixk_q2...xk_qv, qi =i q2 =i qv=1
и задача сводится к нахождению оптимальных значений степени v, порядка п и коэффициентов {а0,ад1,..| из условия
(1). Оптимальные степень и порядок зависят от отношения мощностей сигнала к шуму в измерениях. Учет погрешностей и других шумов в измерениях существенно уменьшает практические порядок и степень уравнения по сравнению с оптимальными, рассчитанными в отсутствие этих помех. При отношениях сигнал—шум порядка 100 (относительных погрешностях измерений порядка 0,1), обычных для натурных измерений, достаточно ограничиться уравнениями невысоких степеней (до четвертой) и порядков (до второго) для по-
Пример поля решений уравнения (2)
лучения достоверных результатов. С дальнейшим ростом степени и порядка уравнение может отображать неинформативный шум, и точность описания объекта не только перестанет расти, но и начнет снижаться. Выберем кубическое уравнение второго порядка, показавшее результативность:
Хк+2 = ао + ахк+1 + Ьхк + сх|+1 + йх\ + дхк+1 + hx¡к. (2)
Метод построения уравнения по последовательности измерений хк разработан и апробирован в [9, 10]. Умножив левую и правую части (2) поочередно на 1, хк +1, хк,
х2+1, х2, хк+1, х3 и применив почленно оператор математического ожидания т[-], получим систему алгебраических уравнений. Входящие в эту систему значения вероятностных моментов т[-] вычислим по группе N измерений как выборочные статистические средние. Затем решим систему относительно коэффициентов а0, а, Ь, с, d, д, h методом Гаусса с помощью программы AnDynSys.
Возможные состояния объекта. Анализ показал [9, 10], что параметры состояния объекта — коэффициенты при первых степенях уравнения (2). Эти коэффициенты определяют типы решений уравнения. Решением является последовательность хк. Она характеризует поведение объекта в том состоянии, которому соответствует полученное решение. Устойчивому состоянию объекта соответствует сходящаяся последовательность (на графике она выглядит как затухающее колебание), неустойчивому — незатухающие ограниченные по амплитуде собственные колебания (автоколебания), являющиеся результатом самовозбуждения (автогенерации): циклические, почти периодические и хаотические. Такие же колебания возможны и в устойчивом состоянии объекта, как вынужденные внешним колебательным (и даже шумовым) воздействиям. Экстремальному (катастрофическому) состоянию объекта соответствует расходящаяся последовательность — с бесконечно нарастающими по модулю значениями.
Расчет поля решений уравнения и оценка состояния объекта. Для анализа состояния объекта вычисляют пространство решений найденного уравнения. Пространство решений геометрически строят в координатах — параметрах состояния объекта. Для уравнения (2) такими параметрами являются коэффициенты а, Ь, поэтому пространство решений — двумерное поле решений (ПР), лежащее в плоскости (а, Ь). При вычисленных коэффициентах а0, с, d, д, h и зарегистрированных начальных значениях х0, х1 измеряемого параметра системы (объекта) вычисляются решения уравнения (2) при всех возможных (в том числе найденных) коэффициентах а, Ь. Каждое решение (последовательность хк) отображается на поле решений точкой, окрашенной соответственно типу, к которому оно принадлежит: сходящееся, колебательное не сходящееся, расходящееся. Однотипные решения образуют на поле решений одноцветные области, соответствующие трем состояниям объекта. Устойчивое состояние наблюдается в области сходящихся решений (ОСР), неустойчивое — в области ограниченных, не сходящихся решений (ОНР) колебательного типа, катастрофическому состоянию соответствует область расходящихся решений (ОРР).
Найденным коэффициентам а, Ь соответствует точка фактического состояния объекта (см. рисунок). В соот-
ветствии с областью, в которой она находится, можно сделать заключение о близости объекта к критическим границам. Критическими являются границы между ОСР и ОНР, но уже приближение точки фактического состояния к границам ОСР можно рассматривать как предкритическое.
На рисунке показан пример вычисленного поля решений уравнения (2) по одному из параметров, характеризующих среду зоны субдукции. Область сходящихся решений выделена серым цветом с различными оттенками. Каждый оттенок соответствует определенному уровню устойчивости (от нуля до единицы). Область несходящихся решений (циклических, почти периодических и хаотических) выделена черным. Область расходящихся решений — белая, каждой точке соответствует индекс катастрофичности от 0 до 1 (рассчитывается в программе). Согласно [9] в ОРР при определенных соотношениях коэффициентов и начальных значений могут возникать сходящиеся решения, но они неустойчивы к малейшим флуктуациям коэффициентов уравнения, начальных и текущих значений измеряемого параметра объекта. На рисунке состояние системы идентифицируется как неустойчивое, поскольку точка находится в черной зоне. Пример поля решений на рисунке показателен для понимания сложности процессов, происходящих в реальной сис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.